Del 4

For ? navigere i solsystemet v?rt trenger vi ? vite farten og posisjonen til raketten v?r. Da sp?r du kanskje om vi allerede vet disse st?rrelsene. Vi simulerer jo en oppskytning, s? ut i fra denne kan vi vel vite farten og posisjonen. Videre kommer vi jo til ? bruke lignende m?ter for ? bevege oss i solsystemet v?rt, alts? ved ? f? rakettmotoren til ? ut?ve en kraft p? romskipet som akselererer oss en spesifikk mengde i en spesifikk retning. S? vet vi ikke da farten og posisjonen ut i fra disse simuleringene? Disse er jo bare simuleringer. De kommer med en viss usikkerhet fra f.eks. avrundingsfeil, og det kan alltids skje uforutsette hendelser. Kanskje kommer vi i n?rheten av en asteroide vi ikke hadde forutsett, som endrer bevegelsesretningen v?r. Det kan ogs? fort skje andre uforutsette ting. Det er dermed viktig ? finne andre m?ter ? regne farten og posisjonen v?r, s? vi kan sikre oss s? mye kontroll som mulig, til n?r vi ikke bare skal simulere, men faktisk utf?re en oppskytning. 

Doppler-effekten

For ? finne farten til romskipet v?rt kan vi se p? hvordan stjerner beveger seg i forhold til romskipet. Vi ?nsker spesifikt ? se p? farten til stjernene vekk fra oss. For ? gj?re dette kan vi bruke Doppler-effekten. Denne sier kort fortalt at n?r stjerna (eller noe annet) beveger seg mot oss, blir b?lgelengden til str?lingen kortere, mens n?r den beveger seg vekk fra oss blir b?lgelengden lengre. Dette kan vi beskrive med en b?lgelengdeendring?\(\Delta \lambda\), som er negativ ved en forkortning av b?lgelengden, og positiv ved en forlenging. N?r stjerna er p? vei vekk fra oss vil b?lgelengden bli lengre, siden posisjonen til to p?f?lgende b?lgetopper ikke er den samme n?r de er p? stjernas overflate. Dette er avbildet i Figur 1.1. ?rsaken for forkortelsen ved bevegelse mot oss er tilsvarende, der posisjonen da de to p?f?lgende b?lgetopper er p? stjernas overflate har kommet n?rmere.

?

Spektrallinjer

N?r man ser etter slike endringer i b?lgelengder?\(\Delta \lambda \), m? vi vite en?\(\lambda_0\)?og en?\(\lambda\). Det vil si at vi m? vite en spesifikk b?lgelengde som stjerna sender ut eller "ikke" sender ut (n?r den er i ro)?\(\lambda_0\), og s? m? vi observere?\(\lambda\). Det vil si at vi m? vite en b?lgelengde som stjerna sender ut eller absorberer. Vi skal bruke sektrallinje som et fellesbegrep p? disse.?P? romskipet v?rt skal vi ha et system som klarer ? finne en?\(\Delta \lambda\)?fra m?lte b?lgelengder via?\(H_\alpha\)-spektrallinjen. For?\(H_\alpha\)?er hvileb?lgelengden?\(\lambda_0 = 656.3\)?nm. Vi har ikke tid til ? lage et slikt system, s? vi h?per ? finne en rakett med de n?dvendige systemene, fra f?r samfunnet p? pl. kollapset.

?

Den relative farten

N?r vi har denne?\(\Delta \lambda\)?kan vi bruke den til ? finne farten v?r relativt til stjerna det er snakk om. Dette gj?res ved ligningen?\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{v_r}{c}\), der \(v_r\)?er farten stjerna beveger seg med relativt til oss, og?\(c\)?er lysets hastighet. Hvorfor denne ligningen gjelder er egentlig ikke s? vanskelig ? forst?. La?\(t\)?v?re tiden mellom to b?lgetopper treffer overflaten av stjerna. Da m??\(\Delta \lambda = v_rt\), nemlig avstanden stjernen reiser p? tiden?\(t\). Dette kommer av, som vi s? i Figur 1.1, at?\(\Delta \lambda\)?er den ekstra avstanden i mellom b?lgetoppene, som kommer av at stjerna beveger seg vekk. Samtidig m? vi ha at?\(\lambda_0 = ct\)?siden lyset reiser lengden av ¨¨n b?lgelengde p? tiden?\(t\). Problemet med disse to ligningene er at de inneholder en?\(t\)?som vi ?nsker ? bli kvitt. Ved ? dele ligningene p? hverandre f?r vi?\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{v_rt}{ct} = \frac{v_r}{c}\). L?ser vi s? likningen for?\(v_r\)?f?r vi at den relative hastigheten mellom oss og stjerna er?\(v_r = \frac{c\Delta\lambda}{\lambda_0}\).?

?

Hvilken fart er det egentlig som inng?r?

Til n? har vi bare snakket om en fart, men ikke helt forklart detaljene om den. Det er viktig ? spesifisere at farten er den radielle farten til stjerna. Det vil si at?\(v_r\)?er farten mot eller vekk fra oss, der vi ekskluderer den delen av farten til stjerna som er sidelengs i forhold til oss (ogs? kalt tangentiell fart). Dette er illustrert i Figur 1.2.

Grunnen til at vi bruker den radielle farten, og ikke hele farten til stjerna, er at det kun er denne som ?ker b?lgelengden til str?lingen. Siden den tangentielle farten ikke f?rer til at punktet der lyset (to b?lgetopper) kommer ut av stjerna beveger seg vekk, trenger vi ikke regne med denne. Vi finner alts? den radielle farten ved bruk av doppler-effekten. Siden dette er farten til stjerna p? vei mot eller vekk fra oss, m? vi ha samme fart p? vei (henholdsvis) mot eller vekk fra stjerna, hvis vi bytter referansesystem. Spesifikt vil farten v?r mot stjerna v?re?\(-v_r\)?siden retningen har skiftet. Dette er illustrert i Figur 1.3.?

?

Bytte til solas referansesystem

Vi har enn? ikke farten vi er ute etter. Vi ?nsker jo ? navigere til en planet i solsystemet v?rt. Og vi har jo planetposisjonene gitt med sola v?r i origo. Vi trenger da farten v?r i forhold til sola v?r (i origo), alts? i solas referansesystem, og ikke stjernas referansesystem.

Stjernene vi skal bruke beveger seg sannsynligvis i forhold til sola, alts? i solas referansesystem. Alts? vil ikke hele farten vi m?ler med dopplereffekten v?re den farten vi har i forhold til sola. Heldigvis har vi funnet data p? stjernene sitt dopplerskift sett fra sola v?r, s? vi kan bruke disse til ? regne hva dette doppler-skiftet svarer til i hvis vi "tar bort" stjernas fart i forhold til sola. Med dette mener jeg at vi skal fjerne den delen av b?lgelengdeendringen som kommer fra farten mellom sola og stjernen slik at vi f?r en ny?\(\Delta \lambda\)?som svarer til at sola og stjerna st?r stille i forhold til hverandre. Denne?\(\Delta \lambda\) vil da gi oss farten v?r (i stjernas retning) sett fra sola. Med denne nye?\(\Delta \lambda\)?kan vi bruke?\(v_r = \frac{c\Delta\lambda}{\lambda_0}\)?til ? finne farten v?r mot den gitte stjernen sett fra sola (i solas referansesystem).

?

Vi trenger to stjerner

Som nevnt finner vi bare den radielle hastigheten ved doppler-effekten. Har vi da kun ¨¨n stjerne kan romskipet v?rt ha en fart i en annen retning enn mot denne stjernen, uten at vi oppdager dette ved ? bruke doppler-effekten p? denne stjernen. Dette er vist i Figur 1.4, der vi ser at farten har en komponent i en annen retning enn den radielle farten fra doppler-effekten.

Det viser seg at vi kun trenger ¨¨n stjerne til, for ? finne den totale farten. Det vi da skal gj?re, er ? finne to hastigheter fra de to stjernene gjennom doppler-effekten, og bruke disse til ? "rekonstruere" farten til romskipet. Vi skal ikke g? gjennom detaljene for dette her, men vi viser til en forklaring her av hvordan man kan "oversette" en vektor beskrevet av to retninger (her retningen til stjernene), til en vektor gitt ved?\(x\)?og?\(y\). Fra denne kilden henter vi formelen for hvordan vi skriver en vektor som kan beskrives ved to andre,?\(\vec{u} = u_1\vec{e_1} + u_2\vec{e_2}\), til en vektor gitt i??\(x\)?og?\(y\)??koordinater. Her er?\(\vec{e_1}\)?og?\(\vec{e_2}\)?enhetsvektorer i retningen til henholdsvis stjerne 1 og 2. Formelen for denne omskrivningen er da

\(x = u_1 \cos{\phi_1} + u_2 \cos{\phi_2} \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (1.1)\\ y = u_1 \sin{\phi_1} + u_2 \sin{\phi_2}\)

der?\(\phi_1\)?og?\(\phi_2\)?henholdsvis er vinklene mellom?\(\vec{e_1}\)?og x-aksen, og?\(\vec{e_2}\)?og x-aksen. Disse vinklene er alts? retningen ut til stjernene fra romskipet, der en stjerne i x-retning vil ha vinkelen 0.?

?

De to Doppler-hastighetene

Bruker vi formelen for ? finne den radielle hastigheten fra doppler-effekten, og kaller hastighetene til romskipet?\(v_1\)?og?\(v_2\)?relativt til henholdsvis stjerne 1 og 2 (husk ? bytte fortegnet etter ? bruke formelen for doppler-effekten). Ved ? skrive hastigheten til raketten som?\(\vec{v} = v_1\vec{e_1} + v_2\vec{e_2}\), kan vi bruke formel?\((1.1)\)?til ? finne??\(x\)?og?\(y\)??koordinatene til hastigheten. Disse to doppler-hastighetene og den totale rakett-farten er illustrert i Figur 1.5.

?

Trilaterasjon

Nei, vi skal ikke konkurrere i triatlon. Det er bare dysleksien din som forstyrrer. Vi skal finne posisjonen til romskipet v?rt ved ? gj?re noe som heter trilaterasjon. Det vil si at vi bruker avstanden v?r til kjente posisjoner til ? regne ut romskipets posisjon. For ? v?re spesifikk bruker vi avstandene til sola v?r og planetene i solsystemet til ? regne ut posisjonen. Vi m? faktisk bruke flere av disse om gangen. Da lurer du kanskje p? hvorfor. Jo, la meg fortelle deg. Det eneste vi vet er posisjonen til planetene og sola v?r, og avstanden v?r til dem. Vi vet ikke hvilken retning denne avstanden er i, i solsystemets koordinatsystem (\(xy\)-planet). Posisjonen til romskipet kan alts? v?re i hvilken som helst retning fra det gitte himmellegemet, men i en spesifikk avstand. Vi kan alts? v?re i et hvilket som helst punkt i en bestemt avstand fra et himmellegeme. Det vil faktisk si at vi er hvor som helst p? en sirkel rundt sola eller en planet, med radius lik avstanden til sola eller planeten. I Figur 2.1 er en slik sirkel rundt sola eller en planet avbildet. N?r vi kun vet avstanden til det gitte himmellegemet kan vi kun vite at vi er p? et eller annet sted p? denne sirkelen.

?

Men hvordan i huleste hjelper det ? bruke flere himmellegemer?

Jo, med flere himmellegemer har vi flere sirkler og disse vil skj?re hverandre. I Figur 2.2 er to himmellegemer avbildet med sirkler rundt, som skj?rer hverandre. Siden romskipets posisjon m? ligge p? begge sirklene, vet vi at posisjonen m? v?re i et av skj?ringspunktene. Vi har n? redusert antall mulige posisjoner til 2. Men hvordan velger vi en av dem? Det viser seg at ved ? bruke en sirkel rundt et tredje himmellegeme kan vi finne hvilket av skj?ringspunktene som er den rette posisjonen. Posisjonen vi er ute etter vil v?re den som alle tre sirklene g?r gjennom. Dette er illustrert i Figur 2.3, der det er 3 himmellegemer med tilh?rende sirkler.?

?

Likningen til en sirkel

Du kjenner kanskje igjen likningen?\((x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\)?som likningen til en sirkel. I denne likningen er radien i sirkelen?\(r\), og sentrum?\((x_s, y_s)\). Alle punktene?\((x,y)\)?som oppfyller likningen, dvs. ? gj?re at h?yre og venstre side blir like, er punkter p? sirkelen. Rakettposisjonen v?r kan da v?re alle punktene?\((x,y)\)?som oppfyller de sirkellikningene vi setter opp. I solsystemets koordinatsystem er sola i origo, som betyr at en sirkel rundt sola har sentrum?\((0,0)\). Kaller vi s? avstanden til sola, alts? radien i sirkelen,?\(R_*\), f?r vi likningen?

\(\quad x^2 +y^2 = R_*^2 \quad\quad (2.1)\)

Bruker vi?\((x_0,y_0)\)?som posisjonen til planet 0, hjemplaneten v?r pl., og?\(R_0\)?som avstanden mellom hjemplaneten og romskipet, f?r vi likningen?

\(\quad (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R_0^2 \quad\quad (2.2)\)

Bruker vi tilsvarende?\((x_1,y_1)\)?og?\(R_1\)?for planet 1 f?r vi?

\(\quad (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = R_1^2 \quad\quad (2.3)\)

?

? forenkle ligningssystemet

Vi har n? tre ligninger (\((2.1)\),?\((2.2)\)?og?\((2.3)\)), og to ukjente?\(x\)?og?\(y\). Dessverre er ikke disse likningene s? fine siden begge de ukjente opptrer i annen. Som du straks f?r se kan vi bruke ligning?\((2.1)\)?til ? gj?re ligning?\((2.2)\)?og?\((2.3)\)??line?re.?Ganger vi ut?\((2.2)\), f?r vi??\(x^2- 2xx_0 + x_0^2 + y^2-2yy_0+y_0^2=R_0^2\), som ved?\((2.1)\)?gir

\(\quad R_*^2 + x_0^2 + y_0^2 - 2xx_0 -2yy_0=R_0^2 \quad\quad (2.4)\)

Gj?r vi tilsvarende med?\((2.3)\)?f?r vi?

\(\quad R_*^2 + x_1^2 + y_1^2 - 2xx_1 -2yy_1=R_1^2 \quad\quad (2.5)\)

Rokerer vi om p??\((2.4)\)?og?\((2.5)\), ser vi at de henholdsvis kan skrives

\(\quad xx_0 + yy_0 = \frac{R_*^2-R_0^2 + x_0^2 + y_0^2}{2} \quad\quad (2.6)\)

\(\quad xx_1 + yy_1 = \frac{R_*^2-R_1^2 + x_1^2 + y_1^2}{2} \quad\quad (2.7)\)

For ? gj?re disse likningene litt enklere ? se p? kan vi sette?\(a = x_0\),?\(b = y_0\),?\(c = \frac{R_*^2-R_0^2 + x_0^2 + y_0^2}{2}\),??\(d = x_1\),?\(e = y_1\)?og??\(f = \frac{R_*^2-R_1^2 + x_1^2 + y_1^2}{2}\), slik at vi kan skrive??\((2.6)\)?og?\((2.7)\)?som

?\(\quad ax + by = c \quad\quad (2.6)\)

\(\quad dx+ ey= f \quad\quad (2.7)\)

Dette kan vi gj?re siden \(a\),...,\(f\)?ikke inneholder variablene?\(x\)?og?\(y\). Da er de kun "tall" i likningen, og vi kan behandle dem som det. Disse ligningene er n? mye enklere ? l?se enn de vi startet med.

?

Hvorfor kan vi forenkle

Dette er litt teoretisk om ligninger, som ikke trengs for ? skj?nne fysikken, s? ikke heng deg opp i det om du ikke er interessert.

Grunnen til at vi kunne g? fra et annengrads ligningssystem, til et line?rt et er at vi hadde tre ligninger. For ? v?re spesifikk er det faktisk akkurat samme grunn som at vi trenger tre sirkler, som diskutert over (tre sirkler betyr tre ligninger). N?r vi kun hadde to sirkler var det to mulige punkter romskipet v?rt kunne v?re i. Dette svarer til at annengrads-ligningssystemet, n?r man bare har 2 ligninger (2 sirkler), har to sett med l?sninger. Alts? 2 mulige punkter for romskipets posisjon. N?r vi legger til den tredje ligningen/sirkelen blir ligningssettet line?rt, som svarer til at vi har ¨¨n l?sning (ett punkt). Dette siste var litt teoretisk om ligninger, som ikke trengs for ? skj?nne fysikken, s? ikke heng deg opp i det om du ikke er interessert.

?

Innsetting er Innmari kjedelig

Av denne grunn velger vi ? bruke addisjonsmetoden. For ? l?se for?\(x\)?kan vi legge?\(-\frac{b}{e} (2.7)\)?til?\((2.6)\). Det vil si ? ta?\((2.6)-\frac{b}{e} (2.7)\). P? venstre side f?r vi da?\(ax+by -\frac{b}{e}(dx+ey) = (a-\frac{bd}{e})x + by - by = (a-\frac{bd}{e})x\). Til h?yre f?r vi?\(c-\frac{b}{e}f\). Disse to sidene til sammen gir?

\(\quad (a-\frac{bd}{e})x = c-\frac{b}{e}f \quad\quad (2.8)\)

L?ser vi?\((2.8)\)?for?\(x\)?f?r vi?

\(\quad x = \frac{c-\frac{b}{e}f}{ae-\frac{bd}{e}} = \frac{ce-bf}{ae-bd} \quad\quad (2.9)\)

For ? finne?\(y\)?kan vi p? tilsvarende vis sette opp ligningen?\((2.6)-\frac{a}{d} (2.7)\)?som gir

\(\quad (b-\frac{ae}{d})y = c-\frac{a}{d}f \quad\quad (2.10)\)

L?sningen til?\((2.10)\)?er?

\(\quad y = \frac{cd-af}{bd-ae} \quad\quad (2.11)\)

?

Den mindre kjedelige?Innsettingen

Vi kan n? enten beholde uttrykkene?\((2.9)\)?og?\((2.11)\)?som de er, eller sette inn for bokstavene vi brukte. Siden?\(c\)?og?\(f\)?sine uttrykk er s? stygge, velger vi ? beholde bokstavene, mens vi setter inn for?\(a\),?\(b\),?\(d\)?og?\(e\). Gj?r vi dette i??\((2.9)\)?og?\((2.11)\)? f?r vi?

\(\quad x = \frac{cy_1 - fy_0}{x_0y_1-x_1y_0} \quad\quad (2.12)\)

\(\quad y = \frac{cx_1-fx_0}{y_0x_1-y_1x_0} \quad\quad (2.13)\)

?