Del 3

Vi skal n? begynne ? planlegge oppskytningen v?r, og for det m? vi gj?re litt matte (yay!). Vi vil begynne ? finne ut av hvilken planet vi skal flytte til, og siden det er en stor avgj?relse vi vil p? forh?nd forsikre oss om at temperaturen er grei, og at vi har med nok solcellepaneler til alt utstyret som trenger str?m.?For ? regne ut begge disse tingene m? vi starte med ? finne ut hvor mye lys stjerna sender ut,??typisk blir dette kalt luminositet, og er symbolisert med?\(L_*\). Dette er et m?l p? hvor stor effekt stjerna har, og vi kan regne det ut ved hjelp av overflatetemperaturen til stjerna. Ved ? bruke Stefan-Boltzmanns lov kan vi finne stjernas effekt per overflateareal, ofte kalt utg?ende fluks?\(F_{u*}\), loven er gitt ved?\(F_{u*}=\sigma T_*^4\)?hvor?\(\sigma\)?er Stefan-Boltzmanns konstant og?\(T_*\)?er overflatetemperaturen til stjerna gitt i kelvin.

Dermed har vi et uttrykk for luminositet?\(L_*=A_{o*} F_{u*}=A_{a*} \sigma T_*^4= 4 \pi r_*^2 \sigma T_*^4\)?

Hvor \(r_*\)?Vi m? n? finne ut hvor mye av dette som n?r oss, hvis vi er langt unna stjerna. Dette vil avhenge av hvor mange fotoner som treffer oss, heldigvis trenger vi ikke regne ut det n?yaktige antallet. For vi vet jo at alle fotonene blir sendt ut fra stjerna, s? hvis vi hadde plassert et lukket kuleskal rundt stjerna, s? hadde alle fotonene truffet det skallet, slik det er skissert i bilde 1.1. Hvis vi videre antar at fotonene blir jevnt fordelt p? dette skallet, kan vi lett finne et uttrykk for hvor mye effekt per areal som treffer et kuleskall med radius r:?\(F_i(r)=\frac{L_*}{4\pi r^2}\), som vi kan sl? sammen med det forrige uttrkket:?\(\frac{L_*}{4 \pi r^2}= \frac{4 \pi r_*^2 \sigma T_*^4}{4 \pi r^2}= \sigma T_*^4 \frac{r_*^2}{r^2} \implies F_i(r) = \sigma T_*^4 \frac{r_*^2}{r^2}\) Denne st?rrelsen kalles inng?ende fluks, og kan brukes til ? finne ut hvor stor effekt man mottar fra en stjerne, n?r man har et visst areal.

Solceller

F?rst skal vi bruke dette til ? finne ut hvor store solcellepaneler vi trenger p? landingsenheten v?r. Den krever 40W effekt for ? kj?re vanlig, og vi ansl?r at med atmosf?ren og dag-natt-syklusen, konverterer solcellepanelene ca 12% av effekten den mottar til brukbar elektrisitet. Dermed har vi at effekten vi f?r fra solcellepanelene?\(P_s\)?er gitt ved?\(P_s=e F_i(r_s) A_s\)?hvor \(e\)?er effektiviteten til panelene,?\(A_s\)?er arealet p? panelene, og?\(r_s\)?er panelenes avstand fra stjerna, som vi tiln?rmer til planeten vi er p? sin avstand fra stjerna. Hvis vi l?ser dette for arealet og setter inn uttrykket for inng?ende fluks f?r vi:

?\(\begin{align} ? ? P_s&=e F_i(r_s) A_s\\ ? ? A_s&=\frac{P_s}{e F_i(r_s)}\\ ? ? A_s&=\frac{P_s r_s^2} {e \sigma T^4_* r_*^2}\end{align}\)

Vi vet overflatetemperatur og radius til stjerna, s? det eneste som gjenst?r for ? finne st?rrelsen p? solcellepanelene er ? finne hvor langt unna vi er stjerna. Med andre ord m? vi finne ut hvilken planet vi vil lande p?, s? la oss regne ut overflatetemperaturen til alle planetene i stjernesystemet v?rt, slik at vi kan ta et informert valg.

Overflatetemperaturer

For ? gj?re dette skal vi anta at planetene absorberer alt lys som treffer dem, og at de har en utg?ende fluks gitt av Stefan-Boltzmanns lov, vi skal alts? anta at planetene er s?kalte svarte legemer. Videre skal vi anta at overflatetemperaturen og dermed energien til planeten som helhet er konstant. Det vil si at tilf?rt effekt fra stjerna, m? v?re lik avgitt effekt fra utg?ende fluks, alts? m??\(P_{inn}=P_{ut}\). Dette kan omskrives med fluks:?\(F_i(r_p)A_{tp}=F_{pu} A_{op}\)?hvor?\(r_p\)?er avstanden fra stjerna til planeten,?\(A_{tp}\)?er tverrsnittarealet til planeten,?\(F_{pu}\)?er utg?ende fluks til planeten gitt av Stefan-Boltzmanns lov, og?\(A_{op}\)?er overflatearealet til planeten, vi kan se av skissen ibilde 1.2, at vi skal bruke hendholdsvis tverrsnitsareal, og overflateareal. Videre kan vi sette inn for?\(F_i(r_p)\)?med uttrykket vi fant tidligere, samt Stefan-Boltzmanns lov og uttrykk for tverrsnitt- og overflateareal, og s? gj?re litt algebra:

\(\begin{align*} F_i(r_p) A_{tp}&=F_{pu} A_{op}\\ \sigma T_*^4 \frac{r_*^2}{r_p^2} \pi R_p^2&=\sigma T_p^4 4\pi R_p^2\\ T_*^4 \frac{r_*^2}{4r_p^2}&=T_p^4\\ T_p&=\sqrt{\frac{r_*}{2r_p}} T_* \end{align*}\)

hvor?\(R_p\)?er radiusen til planeten, og?\(T_p\)?er overflatetemperaturen til planeten

Dermed har vi et uttrykk for overflatetemperaturen, s? la oss n? sette inn:

Dermed ser vi at det mest?realistiske valget er planet 1, b?de fordi den er den eneste med plussgrader, men ogs? fordi den er n?rmest.?N? tar ikke dette noe hensyn til atmosf?ren til planeten, s? vi f?r for eksempel ingen drivhuseffekt. Noe som kan ha en sv?rt stor effekt, hvis vi setter inn st?rrelsen til jorda og sola inn i formelen f?r vi en temeratur?\(T_j= \sqrt{\frac{995700km}{2 \cdot 149 597 870 km}} \cdot 5 772K=278K=5^\circ C\)?men drivhuseffekten ?ker gjennomsnittet til?\(15^\circ C\)?(if?lge Store Norske Leksikon), s? temperaturene er nok h?yere i realiteten. Og s?rlig planet 1, som har?atmosf?riske tettheten som er?omtrent ti ganger s? h?y?som jorda, men som dere ser av tabellen, er vi vant til litt h?yere temperaturer enn dere.

N? som vi vet hvilken planet vi skal til, kan vi finne ut hvor store solcellepaneler vi trenger. Fra uttrykket vi fant tidligere har vi:?\( A_s=\frac{P_s r_s^2}{e \sigma T^4_* r_*^2} =\frac{40W \cdot (10.35 \cdot 1.50 \cdot10^{11}m)^2}{0.12 \cdot 5.67 \cdot 10^{?8} W?m^{?2}?K^{?4} \cdot (11124K)^4 \cdot (2.00\cdot 10^{9}m)^2}=0.23m^2\)?, alts? litt mindre en et kvadrat med sider p??\(0.5m\). Noe som absolutt er overkommelig (heldigvis).

?

N?r vi simulerer raketten v?r regner vi hvor h?yt over bakken den er og med hvor stor fart, men vi m? jo vite hvor langt unna dette er fra den andre planeten, hvis vi skal ha noe som helst h?p om ? lande der. Dere husker kanskje vi gjorde dette i del 1, men det var kun ved et spesifikt tidspunkt. N? skal vi generalisere slik at vi kan bestemme n?r vi skal ta av. Dette introduserer noen problemer i og med at planetene beveger seg b?de rundt stjerna og rundt seg selv. Vi vet hvor planeten er til hvilket tidspunkt, via simuleringene vi gjorde i del 2. eller mer spesifikt vet vi hvor planetens sentrum er relativt til stjernas sentrum. Vi vet ogs? rakettens posisjon relativt til utskytningsposisjonen, s? alt som gjenst?r vi trenger er ? finne et generelt uttrykk for utskytningsposisjonen relativt til planetens sentrum til en vilk?rlig tid, og ? s?rge for at alle disse st?rrelsene har de samme enhetene.?

Vektorer

Prinsippet vi f?lger for ? finne posisjonen til raketten relativt til stjerna er at den vektoren som peker fra stjernas sentrum til raketten kan skrives som summen av vektoren fra stjerna til planetens, vektoren fra planeten til utskytningsposisjonen, og vektoren fra utskytningsposisjonen til raketten. Slik vi ser i bilde 2.1. Men for at dette skal g? m? vektorene v?re i samme referansesystem, men det er bare akkurat n?r de summeres, vi kan starte med ? beskrive dem i hvilket som helst referansesystem, bare vi transformerer f?r vi summerer. S? n?r vi skal finne den relative posisjonen mellom planeten og utskytningsposisjonen velger vi det systemet som er lettest for oss.

Sf?riske koordinater

pl., og fors?vidt de fleste planeter, er omtrent sf?riske, s? n?r vi skal beskrive posisjonen til noe relativt til en planet, er det ofte lettest ? jobbe med sf?riske koordinater. Som vil si at vi beskriver posisjonen til noe ved hjelp av tingens avstand fra sentrum av planeten, vinkelen den danner med aksen som g?r gjennom polene, og vinkelen den danner langs ekvator, slik som det er skissert i bilde 2.2. Disse vinklene er veldig likt deres bredde-, og lengdegrader, bare at man m?ler breddegrader med vinkelen over og under ekvator, i steden for vinkelen fra nordpolen, slik man gj?r for sf?riske koordinater. N? er fors?vidt hva som er norpolen og hva som er s?rpolen, litt det samme n?r man snakker om andre planeter, men vi skal si at nordpolen er slik at planeten roterer mot klokka n?r man st?r der.?

Utskytningsposisjonen

N? som vi har valgt referansesystem kan vi se at, n?r planeten roterer om sin egen akse, s? er det kun er ekvatorvinkelen som endrer seg med tiden. Dette er styrken ved sf?riske koordinater, vi har kun ¨¦n tidsavhengig koordinat, og vi trenger ikke ? tenke p? en masse sinuser og cosinuser, noe man m?tte gjort med vanlige kartesiske kordinater. Dermed vil utskytningsposisjonen relativt til planeten ved vilk?rlig tid v?re gitt ved planetradiusen, som alltid vil v?re avstanden fra sentrum, startvinkelen til posisjonen relativt til nordpolen, som ikke endrer seg n?r planeten roterer, og startvinkelen langs ekvator pluss vinkelhastigheten til planeten ganger tiden. Alt som gjenst?r da er ? transformere dem til et felles referansesystem.

?

Transformering

Den vanskeligste transformeringen er nok den til vektoren mellom oppskytningsposisjonen og raketten. For selv om den er kartesisk danner den en vinkel med referansesystemet til stjerna, som vi m? finne. Origo i rakettens referansesystem er utskytningsposisjonen, og z-aksen er parallell vektoren fra planeten til oppskytningsposisjonen. Men utskytningsposisjonen beveger seg jo, vil ikke det bety at z-aksen roterer? Nei, for n?r vi sier oppskytningposisjonen mener vi rakettens posisjon i ?yeblikket man begynner oppskytningen, ikke platformen som roterer med planeten.?Dette gj?r ting enklere for oss fordi z-posisjonen til raketten da alltid vil v?re parellell med vektoren fra planeten til utskytningsposisjonen, og vi kan velge x- og y-posisjonen til raketten til ? v?re paralelle med henholdsvis retningen til ?kende polar- og ekvatorvinkel. Dermed er rakettposisjonen relativ til utskytningsposisjonen og utskytningsposisjonen relativ til planeten beskrevet i samme referansesystem, som gj?r at vi kan summe dem sammen og f? rakettens posisjon relativt til planeten, gitt i sf?riske koordinater. Transformasjon fra sf?riske til kartesiske koordinater involverer en del sinuser og cosinuser, men det er en kjent transformasjon, s? det er ganske greit ? sette inn. Dermed f?r vi alle vektorene i samme referansesystem, og kan summere dem opp ? f?r posisjonen til raketten relativt til stjerna.

?

Tester

Vi m? n? vurdere om endringen i referansesystem er korrekt eller ikke. Vi skal starte med ? se p? hvor raketten er relativt til stjerna, hvis vi setter den ¨¦n planetradius under oppskytningsposisjonen. Hvis vi har gjort transformeringen riktig, burde dette v?re i planetens sentrum. Alts? burde posisjonen til planeten v?re det samme som raketten, relativt til stjerna, n?r man setter h?yden til dette tilfellet.

I Figur 2.1 ser vi tydelig at det relative avviket er null hele tiden, ved ? lese av verdien til grafen. Andre-aksen har sitt maksimum p? 1 promille, s? i forhold til 1 promille er det relative avviket s? godt som 0. Dette er en god indikasjon p? at vi har gjort utregningen riktig, siden planeten og raketten skulle v?re p? samme sted. Men siden det ikke er noe avvik i det hele tatt kan det hende det er noe galt med testen, siden det realistisk sett alltid vil v?re noe st?y. S? vi gj?r noen ytterligere tester:

I Figur 2.2 har vi plottet planeten og rakettens posisjon ved forskjellige tidspunkter, og vi ser ogs? her at de stemmer overens. Dette var det vi skulle forvente siden planeten og raketten skulle v?re p? samme sted.

I Figur 2.3 har vi flyttet raketten godt over overflaten, og plottet rakett- og planetposisjonen p? samme m?te som i stad, her ser vi at planeten roterer ettersom at raketten er p? forskellige steder i frohold til planeten, selv om den har samme posisjon i sitt eget referansesystem. Dette stemmer ogs? overens med det vi skulle forvente, siden oppover for raketten vil rotere relativt til stjerna, ettersom planeten roterer.