AST2000 - Innf?ring i astrofysikk

Romfotografi

N?r vi skal navigere og lande p? en ny planet er det nyttig ? kunne ta bilder av denne planeten. Ved ? se p? hvor p? bildet planeten er kan vi finne ut om vi er p? riktig kurs. Men for at planeten skal vises p? bilder, m? romskipet v?re n?r nok planeten. Vi ?nsker da ? finne et utrykk for den lengden?\(L\) fra planeten der den begynner ? vises i bilder.

Litt om bilder

Vi skal ta utgangspunkt i at bildene er kvadratiske, og tilsvarer en vinkel?\(F\), m?lt i radianer, i b?de horisontal og vertikal retning p? bildet. Vi kan beskrive dette som at bildet dekker et "synsfelt" (field of view)?\(F \times F\). Denne vinkelen?\(F\)?er illustrert i Figur 2. Bildet best?r av?\(P\)?pixler i b?de horisontal og vertikal bilderetning, som gir antallet?\(P \times P\)?pixler. Vi kan tenke p? dette som et rutenett av pixler, der hver rute er en pixel. Dette er illustrert i Figur 1.?

Figur 1: En illustrasjon av et bilde der en rute er en pixel. Bildet best?r da av?\(P=10\) pixler i horisontal og vertikal retning, som gir et bilde med tilsammen?\(P\times P = 10\times 10 = 100\)?pixler.

Bildet kan inneholde: hvit, diagram, triangel, linjetegninger, skr?ning. — Figur 2: Illustrasjon av vinkelen?\(F\) som definerer synsfeltet til kameraet. Vinkelen gjelder b?de for horisontal og vertikal bilderetning.?

N?r synes planeten p? bildet?

For ? garantere at planeten vil v?re med p? bildet, kan vi bruke kravet om at planeten m? ta opp mer plass enn en pixel p? bildet. Siden vi kun kan ha et heltall pixler, m? dette bety at planeten tar opp 4 pixler. Dette illustreres i Figur 3. Siden planeten er en sirkel sett fra kameraet, vil den ikke kunne ta opp kun 2 eller 3 pixler, siden den er like lang i begge retninger, s? da m? den ta opp like mange pixler i begge retning. Som vi ser i Figur 3 vil planeten ta opp?\(2\times 2=4\)?pixler. Merk at bildet som kameraet skal ta ikke er?\(2\times 2\)?pixler, men?\(P\times P\)?pixler, der de?\(2\times 2\)?pixlene planeten tar opp bare er en liten del av bildet.

Figur 3: Illustrasjon av en planet som tar opp?\(2\times 2\)?pixler, der radien?\(R\) i planeten er lik sidelengden?\(l\)?til pixlene. Denne lengden?\(l\)?er lengden en pixel svarer til i samme avstand som planeten er unna romskipet.?

I Figur 4 er oppsettet vi skal bruke for ? beregne?lengden?\(L\)?fra planeten, der den begynner ? vises p? bilder. I figuren er lengden?\(l\) til en pixel lik radien?\(R\) til planeten. Dette tar vi som minstekravet for at planeten skal vises p? bilder. Det generelle kravet blir da at?\(R \geq l\), siden planeten m? ta opp minst fire pixler. Dette svarer alts? til at radien?\(R\)?er minst like stor som pixel-lengden?\(l\).

Bildet kan inneholde: hvit, diagram, triangel, linjetegninger, skisse. — Figur 4: Illustrasjon av romskipet og planeten, og st?rrelsene som trengs for ? finne et uttrykk for lengden mellom dem?\(L\). Til venstre er romskipet, og til h?yre er planeten. Lengden?\(L\)?er den mellom romskipet og planeten.?\(l\)?er lengden en pixel svarer til i avstanden?\(L\)?fra romskipet (den samme avstanden som romskipet).?\(R\)?er radien til planeten.?\(F\) er vinkelen til synsfeltet til kameraet og vinkelen?\(\Delta F\)?er vinkelen en pixel tar opp p? bildet.?

Fra Figur 4 ser vi at?\(\tan{\Delta F} = \frac{l}{L}\). Vi kan s? bruke at?\(\tan{\Delta F} \approx \Delta F\), n?r \(\Delta F\)?er liten (n?rme 0), som er illustert i Figur 5. Ved dette f?r vi at?\(\Delta F \approx \frac{l}{L}\), som gir?\(l \approx L\Delta F\). Bruker vi n? kravet om at?\(R \geq l\)?f?r vi?\(R \gtrsim L\Delta F\). Men hva er?\(\Delta F\)?lik??\(\Delta F\)?var jo vinkelen en pixel opptar i enten horisontal eller vertikal bilderetning. Da m? jo?\(\Delta F\)?v?re den totale vinkelen?\(F\)?delt p? antall pixler i horisontal eller vertikal bilderetning?\(P\). Vi har alts??\(\Delta F = \frac{F}{P}\), som gir?\(R \gtrsim L\frac{F}{P}\). Vi f?r da?\(L \lesssim \frac{RP}{F}\), som avstanden der planeten synes p? bildet.?