Tiltrekningstyngde

Hva er mest tiltrekkende?

N?r vi etter hvert skal lande p? en planet er det nyttig ? vite hvor sterke de forskjellige tyngdekreftene som virker p? romskipet v?rt er. Det er alts? snakk om ? sammenligne de tiltrekkende tyngdekreftene. Mer spesifikt er det nyttig ? vite hvor sterke de er i forhold til hverandre. De to tyngdekreftene som er viktigst ? se p? er tyngdekraften fra stjerna v?r, og tyngdekraften fra den planeten vi skal lande p?. Jo st?rre tyngden fra planeten er i forhold til den fra stjerna, desto enklere vil det v?re ? lande. Her ?nsker vi ? bruke tyngden fra stjerna som et m?l p? hvor stor tyngden fra planeten er. Hvis tyngden fra planeten er stor, vil sm? feilberegninger og lignende p?virke banen vi ender opp i rundt planeten v?re lite. For ? gi et eksempel, kan man tenke at hvis man er langt fra planeten der tyngdefeltet dens er lite, vil unnslippningshastigheten v?re lav, og en liten fartsendring kan f?re til at man n?r denne, og ikke havner i bane rundt planeten. Hvis tyngdefeltet fra planeten er st?rre, vil man trenge en mye st?rre farts?kning for ? n? unnslippsningsfarten, og dermed er sm? endringer mindre farlig.

Et forhold oppst?r

For ? v?re n?yaktig ?nsker vi ? finne lengden \(l\) fra planeten vi skal lande p?, der tyngdekraften fra planeten er \(k\) ganger sterkere enn den fra stjerna v?r. \(k\) er alts? forholdet mellom tyngdekraften fra planeten og stjerna. Vi lar \(r\) v?re avstanden fra stjerna til romskipet, og tyngdekreftene fra planeten og stjerna v?re henholdsvis \(F_p\) og \(F_*\). Her bruker vi ikke vektor-varianten av tyngdekraften siden vi kun er ute etter st?rrelsen, og ikke retningen. Disse tyngdekreftene har formen fra Newtons gravitasjonslov, som er \(F_p = G\frac{mM_p}{l^2}\) for planeten, der \(G\) er Newtons gravitasjonskonstant, \(M_p\) er planetens masse og \(m\) er romskipets masse. For tyngdekraften fra stjerna v?r blir dette \(F_* = G\frac{mM_*}{r^2}\), der \(M_*\) er stjernas masse. Siden planetens tyngdekraft \(F_p\) skal v?re \(k\) ganger s? stor som den fra stjerna \(F_*\), kan vi sette opp ligningen \(F_p = kF_*\), som blir \(G\frac{mM_p}{l^2} = k G\frac{mM_*}{r^2}\), og l?se for \(l\). Husk at \(l\) er lengden fra planeten vi ville finne. Her kan vi forkorte \(G\) og \(m\) fra begge sider av likningen, som gir oss \(\frac{M_p}{l^2} = k \frac{M_*}{r^2}\), som gir \( l^2 = r^2\frac{M_p}{kM_*}\). Tar vi s? roten p? begge sider, finner vi at \( l = r\sqrt{\frac{M_p}{kM_*}}\). 

Store forventninger (eller rettere sagt sm??)

Vi kan n? vurdere om dette utrykket gir mening. Vi kan f?rst se p? \(k = 1\), som gir \( l = r\sqrt{\frac{M_p}{M_*}}\). Det vil si at tyngden fra planeten og stjernen skal v?re like store. Siden stjernas masse er mye st?rre enn planetens, forventer vi at romskipet m? v?re mye n?rmere planeten. Siden planetmassen er mye mindre enn stjernemassen er br?ken \(\frac{M_p}{M_*}\) mye mindre enn \(1\), og det samme vil da gjelde roten. Dermed vil \(l\) v?re mye mindre enn \(r\), som var det vi forventet. Hvis vi n? ?ker \(k\) til \(2\) ser vi at lengden \(l\) vil synke, siden vi deler p? \(2\) inni rottegnet. Dette er ogs? ? forvente, siden vi m? n?rmere planeten for at tyngdekraften fra den i forhold til stjerna skal ?ke. Vi kan ogs? se at generelt vil en st?rre \(k\) f?re til en lavere \(l\), som vi forventer av samme grunn som n?r vi ?kte \(k\) til \(2\).

Er det en god match?

Videre kan vi ogs? vurdere om enhetene i utrykket gir mening. Siden er en et forholdstall har det ingen enhet. Videre ser vi at br?ken inni rottegnet (ekskludert \(k\)) er en masse delt p? en annen. Dette gir \(\frac{kg}{kg} = 1\), som vil si at br?ken ikke har en enhet. Vi kan ogs? tenke p? dette som at br?ken er et forholdstall mellom to masser, og dermed er enhetsl?s. Det inni br?ken har da ingen enhet, s? br?ken har heller ingen enhet. Da f?r vi at enheten p? h?yre side i likningen er meter, siden \(r\) er det eneste som bidrar til enheten, mens vi p? venstre side har en lengde med enhet meter. Enhetene p? hver side i likningen er alts? en god match, s? enhetene tyder ikke p? at likningen er gal. Disse argumentene holder ogs? for astronomiske enheter, der man ville f?tt AU p? begge sider av likningen. Les mer om astronomiske enheter her.