AST2000 - Innf?ring i astrofysikk

Del 5

N? som vi kan finne farten og posisjonen til romskipet v?rt relativt til sola, er det p? tide ? planlegge, og etter hvert utf?re, reisen v?r. Vi skal starte med ? planlegge hvordan vi kommer oss til planet 1, og i en stabil bane rundt denne. Ideelt sett ?nsker vi en sirkelbane rundt planeten siden denne er mer stabil og enklere ? jobbe med matematisk. Denne banen er mer stabil siden den har en lavere energi enn ellipsebaner som har lignende perihelion-avstand som radien i sirkelen. Dette kan vi forst? ved at i en ellipse vil romskipet komme lengre unna planeten enn for en sirkel, som svarer til en st?rre totalenergi. Husk her at totalenergi lik 0 svarer til unnslipningsfart, mens alle lavere energier er negative. 

Vi skal starte med ? planlegge veien frem til planeten, og da er det nyttig ? kunne simulere bevegelsen, slik at vi kan finne en bane som, med de antagelsene vi gj?r, f?rer oss til planeten. For ? komme p? riktig sted skal vi utf?re "farts-booster", alts? endringer \(\Delta\vec{v}\) i fartsvektoren, s? vi kommer p? en gunstig kurs. Det er mange kombinasjoner av slike boost som vil f?re frem til planeten, s? man m? bare velge en kombo som virker rimelig, og jobbe med denne som grunnlag. ? komme til planeten kan v?re tricky, siden den beveger seg, slik at vi ikke bare m? komme oss til samme sted som den, men ogs? v?re der til samme tid. Dermed er det nyttig ? bruke simuleringer til ? finjustere p? boostene. Etter ? ha funnet frem til en bane, med gitte boost-er, som f?r oss frem til planeten, med pr?ving og feiling fra simuleringer, kan vi bruke denne banen som en mal i den faktiske reisen v?r. Men i den faktiske reisen vil uforutsette ting skje, som simuleringene ikke tar hensyn til. I simuleringen skal vi anta at solsystemet kun best?r av sola og planetene. Dermed kan andre ting som en asteroide, p?virke romskipet og endre banen v?r, slik at vi havner utenfor den planlagte banen. Midt i reisen m? vi da utf?re boost-er for ? pr?ve ? komme oss tilbake p? den planlagte banen.

? teste integreringen

For ? sjekke at integrasjonsl?kken v?r fungerer har vi testen den ved ? sette raketten i sirkelbane rundt sola. I en sirkelbane er jo avstanden \(r\) fra sola alltid den samme, og farten er gitt ved \(v = \sqrt{\frac{GM_s}{r}}\), der \(G\) er Newtons gravitasjonskonstant og \(M_s\) stjernas masse. Ved ? gi raketten en avstand \(r\) og en til h?rende fart \(v\) (gitt over) i tangentiell retning, kan vi sammenligne farten og avstanden vi f?r fra integrasjonen, med \(r\) og \(v\) (som skal v?re konstante). I Figur 1 har vi plottet denne banen og relativt avvik i avstand og fart.

Figur 1: ?verst er plottet av sirkelbanen. B?de den simulerte og den teoretiske (analytiske) banen er sirkler (s? vidt det blotte ?yet kan se), og ligger opp? hverandre. Nederst er det relative avviket i fart og posisjon plottet. Her ser vi at etter 1 yr blir det relative avviket i avstanden \(r\) ca. 3 ‰, og ca. 1.5‰ for farten. Avviket for farten blir negativt, som svarer til at den numeriske (simulerte) farten blir mindre enn den teoretiske. P? tilsvarende vis blir den numeriske avstanden blir st?rre, enn den teoretiske.

Fra figur 1 ser vi at de relative avvikene for avstand og fart i integrasjonen av sirkelbanen blir sv?rt sm? (bare noen promille). Dette tyder godt for integreringen v?r.?

?

Simuleringen

N?r vi simulerer diverse baner mellom hjemplaneten v?r og planet 1 bruker vi integrasjonsl?kka vi har laget for ? finne ut hvor raketten g?r. For ? ogs? inkludere farts-boostene bruker vi integrasjonen frem til tiden der boosten skal skje, utf?rer boosten, og bruker integrasjonsl?kken for ? regne p? den videre bevegelsen. I simuleringsfasen ?nsker vi ? finne noen booster som f?r oss frem til planeten, og n?rme nok, gitt ved?\(l \leq r\sqrt{\frac{M_p}{10M_s}}\)). Her er \(l\) rakettens avstand fra planeten og \(r\) avstanden fra sola, \(M_p\) planetens masse og \(M_s\) solas masse. For ? gj?re dette endte vi opp med ? gj?re 3 hovedsakelige booster. Der vi startet med den f?rste av dem som utgangspunkt, og fant ut at vi trengte de to andre og hvordan de burde se ut.?

?

Den f?rste boosten (aka rakettens morgenkaffe)

I denne f?rste boosten legger vi til det vi mangler for at farten v?r skal svare til en stabil sirkelbane rundt sola i planet 1 sin avstand fra sola. Denne boosten gj?r vi kort etter oppskytningen (kort etter raketten st?r opp fra senga). I Figur 2 ser vi hvordan denne banen ser ut og hvordan noen tilh?rende st?rrelser utvikler seg. Fra plottet med banene, ser vi at (hvis vi hadde simulert lengre uten en boost) ville raketten krysset planet 1 sin bane.

Figur 2: Simulering med den f?rste boosten som gir romskipet farten som svarer til en sirkelbane i planet 1 sin bane. P? plottet ?verst til venstre rakettbanen i solsystemet, plottet med hjemplanetens og planet 1 sin bane. Den stiplede banen er rakettbanen, som g?r fra det ene r?de punktet (hjemplaneten), og treffer planet 1 sin bane. Den bl? kurven er planet 1 sin bane, der det bl? punktet lengst til venstre er posisjonen dens ved slutten av simuleringen. Vi ser at raketten kommer til planetbanen etter planetens har v?rt p? samme sted, siden sluttposisjonen til planet 1 er lengre til venstre enn enden av rakettbanen. Nederst til venstre er er rakettens avstand til planet 1 (i bl?tt) plottet sammen en kurve (i oransje) som svarer den ?nskede avstanden \(l \leq r\sqrt{\frac{M_p}{10M_s}}\). Vi ser ogs? her at vi n?rmer oss planet 1, men er langt i fra n?r nok. Til h?yre er rakettens fart i x- og y-retning plottet. Her ser vi boosten som en br? ?kning helt i starten (grafen er vertikal).

?

En til kopp kaffe m? til

I den neste boosten vi la til gj?r vi farten rent tangtiell. Utgangspunktet for dette er at vi ser at vi krysser banen til planeten, men kommer dit etter planeten. Men siden vi er i ca. riktig avstand fra solen i denne banen ?nsker vi en tangentiell fart (s? avstanden til sola holder seg ganske konstant). Man kan tenke seg at den tangentielle farten til en sirkelbane rundt sola i denne avstanden kan v?re gunstig, siden man da holder seg i ca. samme bane som planeten. Dessverre vil ikke en slik fart fungere for ? f? oss frem til planeten. Vi ligger jo "bak" planeten i banen, og m? derfor "ta den igjen". Ved ? gj?re farten st?rre enn den for en stabil sirkelbane, men fortsatt tangentiell, h?pet vi ta igjen planeten, uten ? ?ke avstanden v?r til sola for mye. Hvis avstanden til sola ikke ?kte for mye, ville vi ikke v?re for langt unna planeten n?r vi "tar den igjen". I Figur 3 er en slik boost implementert omtrent idet vi n?r planetens bane (etter at planeten har v?rt der). St?rrelsen p? boosten (og da st?rrelsen p? farten etter boosten) i Figur 3 er en vi kom frem til ved ? pr?ve oss litt frem, og se hva som funket. Gir man for stor fart vil raketten komme for "h?yt" (for langt fra sola, og da planeten) for eksempel. Man m? alts? pr?ve seg fram og feile, men grunnprinsippet er at vi ?nsker en tangetiell fart.

Figur 3: Simulering med de to f?rste boostene. De tre plottene har de samme st?rrelsene som i Figur 2. Nederst i bane-plottet (som n? er zoomet inn) ser vi en knekk i den stiplede rakettbanen. Dette er der boost nr. 2 blir implementert. Vi ser at dette er litt f?r raketten n?r banen til planet 1, og raketten er derfor n?rmere sola enn planet 1 er. Denne boosten som gj?r at farten blir i tangentiell retning, og er st?rre en farten for en stabil sirkelbane, gj?r at avstanden til sola ?ker, som f?r oss i en mer lignende avstand fra sola som planet 1. Vi ser at denne boosten f?r oss litt forbi planeten. Dette kan vi ogs? se i grafen for avstand der raketten mot slutten kommer sv?rt n?r planeten, og s? ?ker avstanden litt helt til sist. I grafen for rakettens fart ser vi den nye boosten, n? ca. ved tiden 1.35 yr.

?

En bremsende kopp kaffe

I den tredje boosten, stopper vi raketten tiln?rmet opp (relativt til sola). Hvis det h?res litt rart ut ? da kalle det en boost, kan du tenke p? det som at raketten bremser. Dette gj?r vi siden via de to forrige boostene kom vi i en posisjon, der vi med null fart ville falle mot solen, og p? veien treffe omtrent der planeten "suser" forbi (vi ligger litt foran planeten etter forrige boost). I den forrige boosten ?kte vi jo avstanden v?r til solen, som "betaling" for ? ta igjen planeten. Vi ?nsker dermed n? ? redusere avstanden til solen, ved ? falle mot den. Justerer vi s? denne boosten riktig vil vi krysse planetens bane idet den er i n?rheten og forh?pentligvis kunne oppn? en stabil bane i dens tyngdefelt. N?r vi kommer n?rme planeten vil vi da legge til enda en boost der vi gir oss selv en fart som svarer til en stabil bane rundt planeten. I Figur 4 vises den totale simulerte reisen v?r, etter de tre boostene.

Figur 4: Simulering med de tre f?rste boostene. Her er plottene av de samme st?rrelsene som Figur 2. Midt p? baneplottet ser vi en knekk i rakettbanen, som er der boosten (bremsingen) skjer. Vi ser at raketten starter ? "falle" ned mot venstre hj?rne, som er omtrent den retningen sola er i. Vi ser at vi krysser planetbanen og ender opp litt under den, mens planeten har g?tt forbi. Dette ser kanskje ikke bedre ut enn etter den andre boosten, men her er det viktig ? se p? skalaen p? aksene. Dette plottet er mer zoomet inn enn det i Figur 3, s? vi er faktisk n?rmere planeten enn vi var etter boost nr. 2. Dette kan vi se p? plottet over avstanden. Sammenligner man med den fra Figur 3, ser man at vi n? har duppet ned igjen, og er n?rme planeten. Vi er faktisk n?rme nok (gitt ved \(l \leq r\sqrt{\frac{M_p}{10M_s}}\)) til ? gj?re boost for ? komme i bane rundt planeten. Ser vi p? fartsplottet ser vi at de to fartskomponentene settes sv?rt n?r null, men ikke lik 0. N?yaktig hva farten skulle v?re m?tte vi justere oss frem til ved pr?ving og feiling.?

?

Enda mer? Har du ikke snart f?tt nok kaffe!?

Det eneste som mangler da er ? legge til denne siste boosten jeg nevnte over, som gj?r at vi kommer i bane rundt planeten, n?r vi n? har kommet n?rme nok. Farten vi ?nsker for en stabil sirkelbane rundt planeten er \(v = \sqrt{\frac{GM_p}{r}}\), i planetens tangentielle retning (tidligere har vi referert til solas tangentielle retning). Her er \(G\) Newtons gravitasjonskonstant, \(M_p\) planetens masse og \(r\) rakettens avstand til planeten. Ved ? gi en boost som omgj?r farten v?r til den for en sirkelbane rundt planeten kommer vi forh?pentligvis i bane rundt planeten. I Figur 5 er denne boosten implementert.

Figur 5: Simulering med de fire boostene, og videre simulering i 1 yr etter den siste boosten. I bane-plottet ser vi at raketten f?lger stjerna ganske tett etter vi kommer i bane. Sammenligner vi med figur 4 ser vi at vi g?r inn i banen n?r planeten omtrent er ved \(x=7\) AU. Ved slutten av denne simuleringen er vi og planetens omtrent ved \(x=3.5\) AU. Ser vi p? plottet av avstanden ?ker denne, som tyder p? at vi ikke har kommet i den ideelle sirkelbanen vi ?nsker, men sannsynligvis en elliptisk bane istedenfor. Dette ser vi siden avstanden v?r til planeten ?ker. Fra fartsgrafene ser vi at boost 4 er implementert ved at kort etter fartene settes til omtrent 0, blir de endret igjen.?

I Figur 5 ser vi at vi ikke kommer i en sirkelbane rundt planeten, men sannsynligvis en ellipse. Dette kan komme av en un?yaktighet boost 4, der den kan ha gitt en fart som ikke er helt tangentiell. Vi brukte nemlig verdier fra tidligere simuleringer til ? konstruere retningen p? denne boosten, og for ? korrigere st?rrelsen p? fartskomponentene. Da kan det hende at disse verdiene ikke var helt riktige for ? gi oss den tangentielle farten vi ?nsker.?

?

Ikke no mer kaffe igjen :(

M?ten vi kommer til planeten p? er ikke veldig drivstoff-effektivt. Ved ? f?rst ?ke farten for ? ta igjen planeten, s? bremse opp omtrent helt, og deretter ?ke farten igjen til den vi trenger i sirkelbanen, bruker vi mye drivstoff. Hadde vi hatt noen andre boosts som ikke krevde like store endringer i farten, men fortsatt fikk oss frem, hadde vi brukt mye mindre drivstoff. I Figur 6 ser vi drivstoffmengden plottet over tid, der den n?r omtrent 0, n?r vi kommer frem (omtrent ved tiden 1.6 yr).?

Figur 6: Drivstoff/kaffe (kg) plottet over tid (yr). Vi ser at den f?rste boosten (omtrent ved tiden 0 yr) bruker store mengder drivstoff. Rundt 1.5 yr ser det ut som at vi bruker drivstoff jevnt, men dette er ikke sant. Her er det s?nn at boost 2 skjer ved omtrent 1.35 yr (se Figur 3), og boost 3 skjer ved omtrent 1.6 yr (se Figur 4). Vi ser at boost 2 ikke bruker noe s?rlig drivstoff siden grafen ikke g?r bratt nedover ved den. Mens ved boost 3 har vi nesten ingen drivstoff igjen. Det som skjer her er at boost 3 bruker veldig mye drivstoff, men i plottet er det kun tegnet en rett linje mellom punktet for boost 2 og 3. Grafen hadde v?rt mer informativ med en kraftig nedgang ved 1.6 yr. Etter omtrent 1.6 yr g?r vi kun i bane rundt planeten og bruker ikke drivstoff.

Man kan tenke seg fra Figur 6 at boost 1 er veldig ueffektiv, siden den bruker s? mye drivstoff. Hvis boost 1 er ueffektiv vil det bety at farten v?r etter oppskytning ikke var i riktig retning i det hele tatt for ? komme til planet 1. Fra Figur 2 ser vi at hjemplaneten v?r (nederste r?de punktet) starter p? x-aksen. V?r oppskytning gj?res ogs? i x-retning. Da tenker du kanskje at farten v?r ikke peker i riktig retning for ? komme til planet 1. Men etter oppskytning har vi ikke bare en fart langs x-aksen. Fra planetens fart og rotasjon f?r vi ogs? en fart langs y-aksen. S? farten v?r etter oppskytning er ikke s? d?rlig, selv om den nok ikke er optimal. Hvorfor brukes s? mye drivstoff i den f?rste boosten da? Drivstoff bruken kommer mest av at vi har s? mye drivstoff ombord. Siden alt drivstoffet i starten gj?r raketten mye mer massiv (har stor masse) kreves det en st?rre kraft, og dermed mer drivstoff, ? akselerere raketten, enn n?r vi har mistet mye av drivstoffet etter boost 1. Det kan derfor hende at boost 3 krevde en mye st?rre fartsendring, men da var raketten mye mindre massiv, og trengte dermed mindre drivstoff for ? endre farten. Til syvende og sist gjelder fortsatt de nevnte problemene over med at de andre boostene enn boost 1 var ineffektive.

?

Selve reisen

Etter ? ha simulert oss frem til en reise som (ved simuleringens forenklinger) f?r oss frem til planet 1, er det p? tide ? utf?re reisen. Som nevnt kan uforutsette ting skje, som at andre himmellegemer enn planetene og sola trekker p? planeten v?r og endrer kursen v?r. Det betyr at vi m? rette opp i rakettens bane for ? passe p? at den holder seg s? n?r den planlagte reisen v?r som mulig. For ? gj?re dette skal vi jevnlig sjekke farten til planeten og se om vi m? gi en liten ekstra boost, for ? farten dens skal bli lik den vi har i simuleringen ved den samme tiden. Dette inneb?rer ogs? ? endre p? boostene, slik at farten etter boosten blir den samme i det faktiske og det simulerte tilfellet. Hvis vi korrigerer farten jevnlig, vil ikke raketten kunne komme noe s?rlig ut av kurs. Det eneste som skjer er at den faktiske reise blir en tiln?rmet parallell kurve lit ved siden av den simulerte reisen (med mindre noen mer ekstreme hendelser skjer).

?

N?r vi gj?r dette f?r vi en reise som ikke er alt for langt unna den simulerte, og vi f?r ogs? en bundet bane rundt planeten. I Figur 7 er den simulerte og faktiske reisen plottet, og i figur 8 er ett av disse plottene zoomet inn.

Figur 7: Simulert og faktisk reise. St?rrelsene er som i Figur 2. De kurvene merket med "ast" er den faktiske reisen, mens de uten er den simulerte reisen. Kurvene merket med ast er linjer mellom punkter, s? de eneste dataene vi har er i knekkene p? kurvene. I bane plottet ser vi (hvis man ser n?ye) at den de to rakettbanene er s? og si opp? hverandre. Dette tyder p? at de to reisene er sv?rt like. Det ser vi ogs? i avstand-plottet, der de to kurvene f?lger hverandre tett. Linja for den faktiske raketten mellom omtrent 0.8 yr og 1.3 yr avviker, men selve raketten gj?r ikke det i samme grad, siden denne linja bare er en rett strek mellom to datapunkter. N?r vi kommer til planeten ser vi at den simulerte rakettens avstand fra planeten ?ker (som tyder p? en ellipse). Kurven for den faktiske raketten ser vi ikke siden den er under den gr?nne linja, som viser at denne faktiske endte opp mye n?rmere planeten enn i det simulerte tilfellet. Fra fartsgrafen ser vi ogs? at det faktiske tilfellet og det simulerte er lignende.?

?

Figur 8: Plot av banene for det simulerte og faktiske tilfellet. Som i Figur 7 ser vi her at den faktiske raketten er n?rmere planetbanen enn den simulerte. Der kurven til den faktiske har mest avstand fra planeten, har ikke raketten denne avstanden. Den faktiske avstanden er den i knekkene, som forklart i Figur 7. Ett av disse ser vi ca. ved \(x = 5.2\) AU. Vi ser der at raketten er s? n?r at banen dens omtrent sammenfaller med planetbanen. Ett annet knekk er ved ca. \(x = 6.8\) AU.

?

Figur 9: Viser avviket i posisjon og fart for den simulerte og faktiske reisen. Vi ser at frem til vi n?r planeten ved omtrent 1.6 yr, er avvikene sm?. For avstanden er avviket i y ca. 0 og i x ca. 0.015 AU. Sammenligner vi med avstandene til planeten i Figur 7, ser vi at denne avstanden er mye mindre. Dette tyder p? at avstanden (avviket) frem til 1.6 yr er liten. Vi kan argumentere likt for at avviket i farten er lav frem til 1.6 yr. Etter dette kommer de to rakettene inn i ganske forskjellige baner (den faktiske mye n?rmere planeten), og da ?ker avviket i posisjon og fart.

I Figur 9 er avviket mellom posisjonen og farten til den simulerte og faktiske reisen. Disse plottene tyder ogs? p? at den faktiske reisen ble ganske lik som den simulerte. Vi var nok faktisk ganske heldige med den faktiske reisen, siden vi kom n?rmere planeten enn planlagt. Vi kunne kanskje like s? gjerne kommet lengre unna planeten, og da kanskje ikke komme i en bundet bane. N?r vi simulerte den faktiske banen i to ?r etter at vi n?r planeten, viser det seg at vi krasjer inn i planeten. Vi havnet alts? ikke i en stabil bane, men en som g?r inn mot planeten. Dette er allikevel ikke et veldig stort problem siden vi ikke skal g? i bane rundt planeten s? lenge. I tillegg kan vi justere banen v?r videre og gj?re den mer stabil.

?

Banen rundt planeten

Under er to tabeller (1 og 2) som viser noen verdier som beskriver banen rundt planeten. Tabell 1 viser avstand til planeten \(r\) og den radielle (\(v_r\) og tangentielle (\(v_\phi\)) farten. Med disse kan vi regne ut verdiene i Tabell 2 som beskriver ellipsebaner.?

Tabell 1: Avstand og fart til planeten rett etter raketten starter ? g? i bane
Rakett\(r\)\(v_r\)\(v_\phi\)
Simulert\( 1.18 \cdot 10^{-3} \) AU\( 8.18 \cdot 10^{-2} \) AU/yr\( 9.25 \cdot 10^{-2} \) AU/yr
Faktisk\( 4.75 \cdot 10^{-3} \) AU\( -7.48 \cdot 10^{-2} \) AU/yr\( 9.82 \cdot 10^{-2} \) AU/yr
Tabell 2: St?rrelser i banen rundt planeten for den simulerte og faktiske reisen
Rakett\(a\)\(b\)\(\epsilon\)\(P\)ApoapsisPeriapsis
Simulert\( 2.02 \cdot 10^{-2} \) AU\( 1.37 \cdot 10^{-2} \) AU\( 0.73 \)\( 1.60 \) yr\( 3.49 \cdot 10^{-2} \) AU\( 0.54 \cdot 10^{-2} \) AU
Faktisk\( 3.33 \cdot 10^{-3} \) AU\( 2.39 \cdot 10^{-3} \) AU\( 0.70 \)\( 0.11 \) yr\( 5.64 \cdot 10^{-3} \) AU\( 1.01 \cdot 10^{-3} \) AU

I Tabell 2 er \(a\) store halvakse, \(b\) lille halvakse, \(\epsilon\) eksentrisiteten og \(P\) perioden, for ellipsebaner.

Ser vi p? Tabell 2 ser vi at ellipsen er mindre for den faktiske banen. Dette ser vi ved at b?de store og lille halvakse, og apo- og periapsis, er mindre for den faktiske banen. Vi ser ogs? at perioden er mye mindre. Eksentrisitetene derimot er lignende og ganske stor. Dette tyder p? at banene ikke er s? stabile, noe vi ser etter hvert som tiden g?r. To ?r etter vi kommer til planeten krasjer den faktiske raketten inn i planeten. Den har alts? en ustabil bane. For det simulerte tilfellet har vi den omvendte varianten av ustabil bane. Denne stopper nemlig etter hvert ? v?re bundet til planeten. Verken av disse to er krise siden det tar s? lang tid f?r banene g?r ad undas, og vi skal ikke g? i bane s? lenge. Vi kan videre gj?re banen v?r mer stabil, som er nyttig n?r man skal gj?re m?linger p? atmosf?ren til planeten. Men det tar vi n?r det kommer ;)