Del 7

Vi har n? kommet i lavere og stabil bane rundt planeten v?r, n? gjenst?r det bare ? komme oss ned til overflaten. Til dette har vi en landingsmodul i raketten som vi kan skyte ut fra raketten med en av oss ombord, men siden vi har skj?r last (oss) m? vi passe p? at vi ikke blir skadet i nedfarten. Vi m? alts? s?rge for at akselerasjonen ikke blir for h?y. Landingsenheten er utstyrt med landingsraketter, som vi kunnne ha stilt inn til ? kompansere for tyngdekraften slik at vi faller med konstant fart, men siden dette bruker mye drivstoff vil vi heller bruke mer naturlige bremsemetoder. ?Vi kan nemlig bruke atmosf?ren og dens luftmotstand, til ? gi oss en relativt rolig nedbremsing, men hvordan gj?r vi dette p? best mulig m?te? Her m? vi inn med litt matte og simuleringer.

Dere er sikkert vant til ? se uttrykket for luftmotstand slik: \(F_l=L v^2\) hvor \(L\) er en konstant, men dette er egentlig et spesialtilfelle av det mer generelle uttrykket: \(F_l=\frac{1}{2} \rho C A v_a^2\) hvor \(\rho\) er massetettheten til atmosf?ren, C er en konstant gitt av formen til det som faller, A er tverrsnittarealet og \(v_a\) er farten relativt til atmosf?ren. For n?r man er ved overflaten av en planet kan man negllisjere endring i massetetthet, og hvis man ikke har endring av arealet i l?pet av bevegelsen blir ogs? \(A\) en konstant. Dermed kan vi samle alle konstantene i en konstant \(L=\frac{1}{2}\rho C A\). Og siden vi m?ler bevegelse relativt til overflaten, kan man ogs? neglisjere bevegelsen til atmosf?ren, slik at \(v_a=v\). Dermed ?pn?r vi spesialtilfellet v?rt, men n?r vi n? skal bevege oss gjennom hele atmosf?ren, og ha muligheten til ? utl?se en fallskjerm (som endrer tverrsnittarealet), m? vi bruke den generelle formen. Men da m? vi finne uttrykk for b?de massetettheten og bevegelsen til atmosf?ren.

Massetettheten til atmosf?ren som funksjon av h?yden, kan man finne hvis man vet tyngdekraften, temperaturen og hvilke gasser atmosf?ren best?r av. Heldigvis er raketten v?r utstyrt med sensorer som kan, sammen med litt matte, finne disse st?rrelsene. N?r det kommer til bevegelsen av atmosf?ren, neglisjerer vi alt av vind, siden den st?rste delen av bevegelsen kommer fra at planeten roterer. Dermed f?r vi et relativt greit uttrykk for farten til atmosf?ren, gitt ved: \(\vec{w}=\frac{2 \pi r}{T}\hat{\phi}\) hvor \(r\) er radiell avstand til sentrum, \(T\) er perioden, og \(\hat{\phi}\) er en enhetsvektor som peker i retning av rotasjonen. Dermed har vi et uttrykk for \(\vec{v_a} = \vec{v}-\vec{w}=\vec{v}-\frac{2 \pi r}{T} \hat{\phi} \)

N? som vi vet uttrykket for luftmotstanden kan vi si noe om hvordan atmosf?ren vil p?virke landingen v?r. Vi vet at tyngdekraften kun virker i radiell retning, dermed vil det kun v?re luftmotstand som p?virker bevegelsen i tangensiell retning, og siden den alltid virker mot fartsretningen (relativt til atmosf?ren) s? vil den tangensielle farten til landeren g? mot farten til lufta. Den vil bli nedbremset hvis den beveger seg fortere en lufta, og akkselerert hvis den beveger seg saktere enn lufta. Til slutt vil dermed landerens fart bli lik farten til lufta.

Men hva s? med den radielle bevegelsen, hvor det b?de er tyngdekraft og luftmotstand. Ogs? her vil farten g? mot en konstant fart, ofte kalt terminalfart, men av litt andre grunner. Det skjer fordi terminalfarten er den farten hvor luftmotstanden er lik tyngdekraften, s? hvis vi starter med en lavere fart vil tyngdekraften v?re st?rre enn luftmotstanden, og ?ke farten helt til den n?r terminalfart. Og hvis vi starter med h?yere fart, blir luftmotstanden st?rre enn tyngdekraften, og farten vil synke helt til vi n?r terminalfart.

Teknisk sett vil terminalfarten ?ke ettersom vi kommer n?rmere overflaten og tyngdekraften ?ker, men dette er neglisjerbart, siden atmosf?ren er mye smalere enn planetradiusen. En st?rre og viktigere endring i terminalfart kommer ved utl?sningen av fallskjermen, dette vil drastisk ?ke tverrsnittarealet til landeren v?r, og dermed luftmotstanden, noe som senker terminalfarten. Dette er veldig viktig, fordi for ? ha en komfortabel landing vil vi helst treffe bakken med mindre en 3m/s radiell fart. Terminalfarten v?r burde dermed v?re mindre enn dette, siden luftmotstanden ikke kan bremse farten noe mer enn til terminalfarten. S? hvor stor fallskjerm trenger vi? Ved terminalfart har vi at tyngdekraften er lik luftmotstanden: \(G\frac{M_1 m}{r^2}=\frac{1}{2} \rho (r) C A v_t^2\) som vi kan l?se for arealet: \( A=\frac{2 G M_1 m}{r^2 v_t^2 \rho (r) C} \) Hvor \(G\) er Newtons gravitasjonskonstant, \(M_1\) og \(m\) er massen til planeten og landeren, og \(v_t\) er terminalfarten, vi har ogs? antatt null tangensiell fart (relativt til atmosf?ren)

Hvis vi setter terminalfarten lik 3m/s og setter inn radiusen til planeten i \(r\) f?r vi \(A=17.4 m^2\). Noe som er overkommelig, dette er i samme st?rrelsesorden som det fallskjermhoppere bruker p? jorden. Men har vi regnet riktig? Hvis vi sammenligner planeten vi skal lande p?, med jorda ser vi at planeten v?r har noe lavere tyngdekraft, og nesten ti ganger h?yere massetetthet. Noe som gj?r at vi kan forvente lavere terminalfart med like stor fallskjerm, men siden landeren v?r t?ler en hardere landing enn en fallskjermhopper, s? vi kan ha litt h?yere margin p? terminalfarten, som kan motvirke den tykkere atmosf?ren. Og det at vi har satt \(r\) lik planetradiusen betyr jo ogs? at den vil ha en h?yere terminalfart f?r den treffer bakken. Alt i alt blir landingen v?r lettere enn den hadde v?rt p? jorda, men for sikkerhets skyld runder vi opp, og bruker en fallskjerm p? \(20m^2\).?

Basert p? uttrykket for luftmotstand har vi lagd en simulering av landingen, dermed kan vi teste landingen f?r vi faktisk utf?rer den. Metoden vi skal bruke for ? lande er en som gir oss en mykest mulig landing, tanken er ? fortsette ? bevege seg rundt planeten, men slik at vi faller n?rmere og n?rmere planeten. Dermed vil vi bevege oss langs toppen av atmosf?ren, og dermed bruke mer tid p? et sted med lav massetetthet. Noe som gir oss lavere akselerasjon over lengre tid, som gj?r for en mer komfortabel og tryggere landing. For det er ikke farten som er farlig, men br? akselerasjon.

Den letteste m?ten ? bevege seg n?rmere planeten p? ville v?rt ? skyte den nedover med negativ radiell fart, men dette vil ?ke den totale energien, som vil gj?re det vanskeligere ? lande mykt, siden luftmotstanden m? gj?re mer arbeid. I steden skal vi redusere den tangensielle farten slik at vi f?r mindre sentripetalakselerasjon og vi vil naturlig akselerere nedover. Vi vil ogs? legge til bare litt negativ radiell fart, slik at prossesen g?r litt fortere, uten ? ?delegge mulighetene for en myk landing.

I tilegg til utskytningsfarten m? vi bestemme n?r vi l?ser ut fallskjermen slik at akkselerasjonen verken blir for stor eller for liten. For n?r vi l?ser ut fallskjermen f?r vi en velding br? ?kning i tverrsnittarealet til landeren, som risikerer en veldig br? akselerasjon. Hvis vi derimot l?ser den ut for sent, risikerer vi at luftmotstanden ikke har tid til ? bremse oss ned nok, og vi krasjlander.

I bilde 1.1 har vi et plott av den simulerte landingen, hvor landeren hadde en fartsendring relativt til raketten p? -0.1m/s i radiell retning og -5m/s i tangensiell retning. Raketten g?r i en stabil sirkelbane, som tilsvarer null radiell fart og en tangensiell fart lik \(5836m/s\) Deretter faller den i 10250s f?r vi l?ser ut fallskjermen, og lar den falle videre i 8300s. Vi fant disse tallene gjennom pr?ving og feiling, men siden vi hadde et utgangspunkt, og f? parametere ? justere, gikk dette ganske greit. Vi gjentok bare simuleringen mange ganger, og justerte parameterne til vi fikk noe vi var forn?yd med.

Vi ser av bilde 1.1 at vi egentlig ikke opplever noe luftmotstand f?r litt etter 190000s, hvor vi har en plutselig, men kortvarig puls i luftmotstand. Eller trykket fra luftmotstanden, som er det som vises, men siden kraften bare er trykk ganger areal, er det ganske rett frem ? finne luftmotstanden fra denne grafen. Og siden vi har et areal som endrer seg, s? kan det v?re nyttig ? vise en st?rrelse som er uavhengig av arealet.

Den kraftige pulsen er antagelig n?r vi treffer toppen av atmosf?ren, eller der den f?rst bli tykk nok til ? faktisk ut?ve noe luftmotstand. N?r dette skjer har vi en veldig h?y fart, p? grunn av startfarten, og farts?kningen fra ? falle lavere i tyngdefeltet. Dette er etter vi har sl?tt ut fallskjermen s? dette gir en stor kraft p? landeren, men det burde v?re innenfor hva den, og vi, t?ler. Hadde trykket fra luftmotstanden oversteget \(10^7 Pa\) kunne vi ha risikert at landeren hadde brent opp, og fallskjermen t?ler maks en kraft p? \(250 kN\). Vi som pasasjerer er nok skj?rere enn dette, men siden den er s?pass kortvarig, og all polstringen og sikkerhetsutstyret i landeren satser vi p? at det g?r bra.

Man kan antagelig redusere st?rrelsen p? denne pulsen ved ? finjustere parameterne, slik at vi treffer atmosf?ren med mindre fart. Og ? vente med ? sl? ut fallskjermen til etter vi har truffet atmosf?ren, slik at tverrsnittarealet og dermed akselerasjonen er lavere i det ?yeblikket, og kan bli spredt over lengre tid.?

I bilde 1.2 ser vi litt n?rmere p? simuleringen etter vi har n?dd atmosf?ren. Vi ser vi f?r en rask nedbremsing, hvor den radielle farten rasket g?r mot terminalfarten, og fra bilde 1.1 igjen g?r den tangensielle farten til farten til atmosf?ren. Vi ser ogs? at vi havner under \(3m/s\) innen vi treffer bakken, s? vi f?r en relativt myk landing med untak av den h?ye pulsen med luftmotstand n?r vi traff toppen av atmosf?ren.

Desverre havner vi i simuleringen ganske langt unna landingslokasjonen vi valgte, hvor utregninger viser at vi egentlig havnet p? motstatt side av planeten med ca \(180^\circ\) avvik. M?let er rett under raketten idet vi skyter ut landeren, som vi tilsynelatene i bilde 1.1 kommer ganske n?r, men vi ser i bilde 1.2 at vi beveger oss en del langs overflaten etter vi traff atmosf?ren, og n?r man tar med planetens rotasjon, kan man havne p? feil sted, men vi pr?ver uansett.

Bilde 1.3 gir oss den faktiske posisjonen til landeren sammenlignet med den samme simuleringen som i bilde 1.1 og 1.2, men her ser vi at noe har g?tt galt. Vi kommer aldri n?r nok til ? bli bremset noe av atmosf?ren, vi fortsetter bare i en bane. Heldigvis klarte vi ? hente inn landeren igjen, slik at vi kan pr?ve igjen, men hva gikk galt? Det er ikke godt ? vite, men det kan ha noe med hvordan vi fant massetettheten til atmosf?ren. N?r vi regnet den ut antok vi konstant tyngdekraft, men det burde om noe gj?re atmosf?ren tynnere h?yere opp. Noe som ville stemt mer med at det faktiske fors?ket ville blitt mer nedbremset en i simuleringe ikke motsatt. Det kan ogs? bare v?re at vi hadde for store tidssteg i simuleringen, eller at det er noe feil med koden.

Ettersom det f?rste fors?ket ikke fungerte pr?ver vi en annen, enklere tiln?rming. Vi bare slipper landeren rett ned. Dette gj?r forh?pentligvis simuleringen v?r mer realistisk, eller rettere sagt stiller det mindre krav til n?yaktighet. For n?r man har med sirkelbaner ? gj?re, kan sm? endringer i banen f?re til relativt store endringer i posisjon. Hvis man derimot beveger seg i ¨¦n retning, har jo sm?feil noe ? si, men man de blir ikke forsterket p? samme m?te som med sirkelbaner. Det er ihvertfall tanken, s? la oss pr?ve:?

For ? simulere at landeren slippes rett ned m? vi skyte den ut fra raketten med like stor fart som raketten har, men i motsatt retning. Dermed vil landeren starter med null fart relativt til planetens sentrum, ogs? slipper vi den i 1750s f?r vi l?ser ut fallskjermen og lar den falle i videre 6800s. Ogs? disse tallene kom vi til med ? kj?re simuleringen flere ganger, med ulike parametere, men her er det egentlig bare ett parameter. Siden utskytningsfarten er bestemt, er det bare n?r vi l?ser ut fallskjermen vi m? bestemme, dermed var dette enda greiere enn med det f?rste fors?ket

Vi ser av bilde 1.4 og 1.5 at det er mye likt som den tidligere metoden med en kjapp endring i fart, og en kraftig puls i luftmotstand, n?r man treffer toppen av atmosf?ren. Forskjellen er at n? skjer det kjappere, vi kommer raskere til overflaten, men vi f?r ogs? en betydelig kraftigere puls luftmotstand. B?de fallskjermen og landeren burde t?le denne mengde krefter, men vi n?rmer oss grensen for hva s?rlig fallskjermen t?ler. Og det blir nok en enda mindre komfortabel tur for oss, men farten kommen under \(3m/s\), s? selv om det er p? grensen er det innenfor grensene vi satt. Vi kommer ogs? n?rmere landingslokasjonen med denne metoden, men det er fortsatt et avvik p? \(90^\circ\) s? det er uansett langt unna. Alt i alt kunne nok ogs? dette fors?ket ha godt av ? finjustere parameterene enda mer, men siden det her bare er et parameter er det begrenset hvor mye vi kan forbedre resultatet.?

Til sammen er dette en mer risikabel og mindre komfortabel landing, og det krever en del drivstoff ? slippe den rett ned, fordi man m? kompensere for all farten til raketten. Allikevel pr?ver vi oss p? denne metoden, siden den andre ikke fungerte.

Som dere ser av bilde 1.6 var vi heldige og landingen var en suksess tross det mislykkede f?rste fors?ket. Vi ser at n? er simuleringen mer realistisk, slik som vi hadde h?pet. Vi kunne antagelig ha justert parameterne mer, for ? f? en mer komfortabel landing, men vi har n? klart ? lande p? planeten!