AST2000 - Innf?ring i astrofysikk

Del 8

Det er vist empirisk at lysfarten er den samme for alle observat?rer (i treghetssystemer). Men hvilke implikasjoner har dette? Det ?nsker vi ? finne ut. Da gj?r vi en antagelse, nemlig den at lysfarten er lik i alle referansesystemer. Med denne antagelsen skal vi utforske en situasjon, med to romskip som skyter lasere p? hverandre. Disse to romskipene beveger seg relativt til planeten vi er p?. Vi skal snart se at hendelser (eventer) kan v?re samtidige i et referansesystem, og ikke i andre.

?

Situasjonen

Som nevnt har vi to romskip som beveger seg med en fart \(v\) (langs samme linje) mot h?yre sett fra planeten vi har landet p?. Da har vi to referansesystemer, systemet der romskipene er i ro, og systemet der planeten er i ro. Romskipsystemet beveger seg da med farten \(v\) relativt til planetsystemet. Disse romskipene skal s? skyte en laser p? hverandre. Laserne fra de to romskipene skytes samtidig, sett fra romskipsystemet.

Vi har alts? to hendelser, at det ene romskipet skyter en laser, og at det andre skyter en laser. Disse skjer samtidig i romskipsystemet. Men hva vil det si? Hva er en hendelse? Fra og med n? av skal vi ikke lengre bruke ordet hendelse, men event istedenfor.

  • Et event er et punkt i tid og rom.

Men hva er et slikt punkt? Et punkt i rom skriver vi \((x, y, z)\). Et punkt i tid da? Det er vel bare et tidspunkt. S? dette er vel bare \(t\). Da kan vi vel skrive et punkt i tid og rom som \((t, x, y, z)\). For ? gj?re dette konseptet mer h?ndfast, er et slikt punkt, et event, som oftest tiden og posisjonen til noe som skjer. Dette kan v?re tiden da og posisjonen der romskipet til venstre skyter en laser mot det andre romskipet.

At laseren fra romskipet til venstre skytes kaller vi event A og at laseren fra romskipet til h?yre kaller vi event B. N?r disse laserne n?r frem til det andre romskipet vil dette romskipet eksplodere. At det venstre romskipet eksploderer kaller vi event C, og event D for det h?yre romskipets eksplosjon. Legg merke til at akkurat som vanlige punkter navngir vi ofte eventer med store bokstaver.

I planetsystemet skal vi bruke umerkede posisjons- og tidskoordinater \(x\) og \(t\). Vi trenger kun èn posisjonskoordinat siden de to romskipene beveger seg langs samme linje. Her definerer vi denne linja som x-aksen. I situasjonene vi skal ta for oss, trenger vi kun èn posisjonsakse. I romskipsystemet bruker vi merkede koordinater \(x'\) og \(t'\). I romskipsystemet er romskipet til venstre alltid i \(x' = 0\). Videre bestemmer vi at A skal v?re et s?kalt origo-event. Dvs. at i event A har vi at \(x = x' = 0\) og \(t = t' = 0\). Vi kan se hvorfor dette kalles et orgio-event: Det er eventet der origo i de to referansesystemene er p? "m?tes". Her er origo punktet \((0, 0)\) i tidrommet best?ende av punkter p? formen \((t, x))\. Enklere sagt er dette at event A skjer posisjonen 0 ved tiden 0 i begge referansesystemene.?

Videre legger vi til en observat?r M i Midten av de to romskipene som er i ro i romskipsystemet. M beveger seg alts? ogs? med farten \(v\) relativt til planeten.

?

Metode

Som nevnt skal vi anta invarians av lysfarten, og anta at den spesielle relativitetsteorien er ukjent. At lysfarten er invariant, vil si at den er den samme for alle observat?rer. Kun ved bruk av antagelsen om lysfarten skal vi komme frem til at samtidighet er relativt (avhenger av referansesystemet). Vi trenger ogs? p?peke at laserne beveger seg med lysfarten. Dette er viktig, siden laserne da beveger seg like raskt sett fra begge referansesystemene. At laserne beveger seg med lysfarten er viktig slik at vi f?r brukt antagelsen v?r om at lysfarten er invariant. Det er jo denne antagelsen vi skal bruke til ? utforske samtidighet.?

F?rst kan vi konkludere med at M observerer A og B samtidig. Merk at dette ikke er det samme som at A og B er samtidige for M. Det skal sies at A og B er samtidige for M, siden M er i romskipsystemet. At M observerer event A og B g?r ut p? at lyset fra laserskytingen treffer (?ynene til) M. Dette skjer n?r laserne n?r frem til M siden laserne og lyset fra skuddet begge reiser med lysets hastighet. Siden M er midt mellom de to romskipene, m? lyset fra at de skyter laserne treffe M samtidig. Dette kommer av at lyset reiser samme avstand \(\Delta x'\), med den samme farten \(c\). Da bruker lyset fra event A og B like lang tid p? ? n? M. M observerer dermed event A og B samtidig. Merk at her bruker vi \(\Delta x'\) siden avstanden m?les i romskipsystemet, som har merkede koordinater. I Figur 1 er situasjonen illustrert, laserne kommer til M samtidig siden de reiser med samme fart \(c\), over den samme avstanden \(\Delta x'\).

Figur 1: Illustrasjon av situasjonen sett fra romskipsystemet. ?verst ser vi event A og B skje samtidig: To lasere som skytes med lydeffekt "Pew". De to rektanglene er romskipene, mens personen i midten er observat?ren M. Under ser vi at laserne kommer til M samtidig, slik at M m? observere event A og B samtidig. Avstanden \(\Delta x'\) er avstanden mellom hver av romskipene og M. Det er denne avstanden laserne reiser (med samme fart).

Ser vi s? p? situasjonen fra planetsystemet, finner vi at laserne m?tes i posisjonen til M. Sett fra romskipsystemet reiser laserne like langt og med samme fart, til de kommer til M, og dermed m?tes de ved M. Siden laserne m?tes ved M er de p? samme sted til samme tid, og at hver av laserne er ved M er dermed samme event. Husk at et event er bare en tid og et sted, s? n?r disse er like for to eventer er det samme event. Akkurat som at to punkter med samme koordinater er samme punkt. Siden det at laserne m?tes ved M er et event i romskipsystemet m? det ogs? v?re et event i planetsystemet. Dermed vet vi at laserne m?tes ved M ogs? i planetsystemet. Men siden romskipene og M beveger seg (mot h?yre) vil ikke de to laserne ha reist like langt (i planetsystemet), se Figur 2. Romskipet til h?yre vil bevege seg vekk fra laseren som er skutt mot seg, sett fra planetsystemet. Skipet til venstre reiser mot laseren som er p? vei mot det. Dermed ser planetsystemet at laseren fra event A beveger seg en lengre avstand \(\Delta x_{AM}\) enn lengden \(\Delta x_{BM}\) laseren skutt i event B beveger seg, for ? komme frem til M. Dette er illustrert i Figur 2. Siden laserne beveger seg med samme fart (lysfarten), vil laser A bruke lengre tid til M, enn laser B. Men siden de m?tes ved M, m? laser B da ha blitt skutt ut etter laser A, for ? kunne ha reist over en kortere tidsperiode f?r den n?r M. Ergo skjer event B etter event A sett fra planetsystemet, se Figur 2.?

Figur 2: Situasjonen sett fra planetsystemet. Vi ser at for hvert tidshopp, n?r man beveger blikket nedover, flytter romskipene seg mot h?yre, som svarer til farten v som romskipsystemet har. ?verst ser vi at f?rst skjer event A, at laseren fra det venstre romskipet skytes. Deretter i midten ser vi at event B skjer. Nederst ser vi at til slutt n?r begge laserne M og m?tes der. P? dette tidspunktet har laseren fra event A reist lengden \(\Delta x_{AM}\) og laseren fra event B lengden \(\Delta x_{BM}\). Vi ser at \(\Delta x_{AM}\) er lengre enn \(\Delta x_{BM}\), som forklarer at event B skjer etter event A.?

La oss ta en liten oppsummering av det vi gjort frem til n?. Vi vet at det at laserne kommer til M er ett event. Dette gjelder b?de for romskip- og planetsystemet. Dermed vet vi at sett fra planetsystemet m? laserne m?tes ved M. Siden romskipene beveger seg sett fra planetsystemet, vil laserne reise ulike lengder. Men siden laserne har samme fart, vil de dermed bruke ulik tid p? reisen. Dermed kan de ikke v?re skutt samtidig sett fra planetsystemet.?

Men hvor kommer antagelsen om invariant lysfart inn? Den kommer inn n?r vi argumenterer med at de to laserne har samme fart. Vi argumenterer jo med at de to laserne har samme fart sett fra planetsystemet. Men hvorfor skulle de ha det? Har vi noen god grunn for at laseren i den ene retningen ikke beveger seg med en annen fart enn den andre? I klassisk mekanikk har vi ikke det. Hadde det v?rt baller romskipene skj?t ut, ville ball A hatt en st?rre fart enn ball B, sett fra planeten. Dette kommer av at ball A f?r en "tilleggsfart" fra romskipets fart, mens ball B f?r en redusert fart pga. romskipets fart, se Figur 3. Siden ball A reiser raskere enn ball B, er det mulig at de bruker den samme tiden p? ? n? M, og det er akkurat det som ville skjedd, noe som illustreres i Figur 3. Uten antagelsen om at laserne har samme fart, ville vi ikke hatt at event A og B ikke er samtidige sett fra planetsystemet. S? hvorfor reiser ikke lyset med forskjellig fart sett fra planeten, n?r rakettene har en fart?

Figur 3: Den alternative situasjonen sett fra planetsystemet der event A og B er at baller blir skutt. Her f?r ball A en st?rre fart enn ball B, siden ball A sin fart ?kes av at romskipet har en fart i samme retning. Ball B sin fart reduseres siden romskipet har en fart i motsatt retning av farten fra at ballen skytes. Siden de to ballene ikke har samme fart, kan de n? skytes samtidig og m?tes ved M. Dette var ikke mulig n?r de to laserne hadde samme fart.

Antagelsen om invariansen til lysfarten, at den er lik for alle observat?rer, kan brukes for ? fastsette at de to laserne m? ha samme fart sett fra planetsystemet. Ser vi f?rst p? farten til laserne i romskipsystemet, er det klart at de to laserne m? reise med samme fart. Her er jo romskipene i ro. Men pga. invariansen i lysfarten m? laserne ha samme fart sett fra planetsystemet som de gj?r i romskipsystemet. Dermed m? laserne ogs? ha samme fart i planetsystemet.

I romskipsystemet skjer C og D (eksplosjonene) samtidig. Dette er ikke vanskelig ? forst?. Siden laserne blir skutt samtidig og de reiser den samme avstanden (romskipene er i ro i dette systemet), vil laserne ogs? treffe romskipene samtidig. Men siden C og D er samtidige i romskipsystemet, kan vi vel n? forvente at de ikke er samtidige i planetsystemet. Vi vet at laserne m?tes ved M (sett fra begge systemene). Sett fra planetsystemet vil romskipet til venstre reise mot laseren som er p? vei mot seg, mens det til h?yre vil reise vekk fra laseren, slik at laser B m? reise kortere enn laser A, se Figur 4. Siden de reiser med samme fart m? laser A treffe romskipet til h?yre etter at laser B treffer romskipet til venstre. Alts? vil event D skje etter event C i planetsystemet (romskipet til venstre eksploderer f?r det til h?yre).

Figur 4: Figur 2, med to ekstra tidshopp under. De tre ?verste tidspunktene er de samme som i Figur 2. Nest nederst ser vi at romskipet til venstre eksploderer, som er event C. Nederst ser vi at romskipet til h?yre eksploderer som er event D. Her skjer alts? event C f?r event D.

Til slutt kan vi bestemme rekkef?lgen p? de fire eventene A, B, C og D i planetsystemet. Siden begge laserne blir skutt kan ikke et av romskipene eksplodere f?r det har skutt ut laseren. Dermed m? event A skje f?rst, siden denne skjedde f?r C, og f?r B, og B m? skje f?r D. Videre m? event B skje f?r event C siden laseren som eksploderer det venstre romskipet i event C, skytes i event B. Til slutt kom vi ogs? fram til at event C skjer f?r event D, s? rekkef?lgen p? eventene er alfabetisk: A, B, C, D. Denne rekkef?lgen er ogs? illustrert i Figur 4.

Fra planetsystemet ser vi alts? f?rst det venstre romskipet skyte ut en laser, etter en liten stund skyter det h?yre romskipet ut en laser. Laseren fra det h?yre romskipet treffer s? det venstre romskipet kort tid etter, slik at det eksploderer. Til slutt n?r laseren fra det venstre romskipet frem, som n? har reist i en (muligens mye) lengre tid enn laseren fra det h?yre romskipet. Dermed eksploderer det h?yre romskipet, og vi st?r igjen og funderer over om dette bare var et eksperiment, eller en tragedie med gjensidig massemord.

?

Konklusjon

Ved ? anta at lysfarten er den samme for alle observat?rer har vi kommet frem til at samtidighet er relativt. Denne antagelsen brukte vi for ? argumentere for at de to laserne som skytes har samme fart b?de i romskipsystemet, og i planetsystemet. Uten antagelsen hadde vi ikke kunnet gjort denne samme argumentasjonen, og vi kunne ikke konkludert p? samme m?te. Konklusjonen ble jo blant annet at de to laserne som skytes samtidig i romskipsystemet, ikke er samtidige sett fra planetsystemet. Det er alts? viktig ? sp?rre en selv hvilket referansesystem to eventer er samtidige i.?

Antagelsen vi gjorde om lysfarten kalles for Einsteins 2. postulat. Da lurer du kanskje p? hva det f?rste postulatet var. Det 1. postulatet sier at naturlovene er de samme i alle treghetssystemer. Hva er et treghetssystem? Enkelt forklart er det systemer der summen av kreftene er null. Eller da systemer med konstant fart. Dette f?rste postulatet har vi brukt implisitt i argumentasjonen v?r over. Ved ? bruke dette postulatet utelukker man at de effektene vi ser kommer av at fysikkens lover oppf?rer seg forskjellig i forskjellige treghetssystemer.?

?

?

?