Oppgave 5
Har du noen gang lurt p? hvordan det er ? falle mot et sort hull? Tenkt deg at motorene p? romskipet ditt slutter ? virke. Du er i n?rheten av et sort hull. Vil du bli slukt av hullet, eller vil du unnslippe det? La oss utforske hva som skal til for i unng? ? bli slukt.?
?
Situasjonen
Det sorte hullet har en masse \(M\). Vi har en rakett som er i en avstand \(20M\) fra det sorte hullet. Sett fra en skallobservat?r p? samme sted har raketten en fart p? \(v_{\text{skall}} = 0.993\). Trekker vi en linje fra sentrum av det sorte hullet, og ut til romskipet, har farten en vinkel \(167^\circ\) med denne linja. Romskipet sine motorer slutter her ? virke. Vil romskipet bli slukt eller ikke?
?
Metode
La oss se p? et litt enklere, men lignende eksempel. Ser vi p? en ball som befinner seg ved en grop, der bakken er h?yere p? den ene siden enn den andre. Vi kan tegnet dette terrenget, noe du ser i Bilde 1. Der er grafen bakken som ballen ruller p?. Tenkt deg at du har en ball som kommer rullende fra h?yre. La oss n? si at vi ?nsker ? finne ut om ballen vil havne nedi gropen, eller g? over den venstre toppen og falle ned p? venstre side. Dette problemet kan man l?se ved ? sette opp ligningen \(E/m = 1/2 v^2 + gh(r)\), der \(v\) er farten til ballen, og \(h(r)\) er h?yden til ballen ved posisjonen \(r\) langs bakken. Vi gjennkjenner \(gh\) som den potensielle energien (delt p? masse) til ballen. Dersom h?yden kan bli like h?y som toppen, vil ballen g? over toppen og falle ned p? venstre side. Dette svarer til at den totale energien til ballen er st?rre enn den potensielle energien p? toppen. Dette er det vi vil frem til, hvor stor energien er, relativt til potensialgrafen i Bilde 1, vil bestemme bevegelsen til ballen. Dersom ballen starter nedi gropen med mindre energi enn potensialet til omr?det utenfor gropen, vil ballen bare svinge frem og tilbake i gropen. Det viser seg at alle problemer p? formen \(A = Bv^2 + V(r)\), der \(V\) er et effektivt potensial, kan l?ses p? samme m?te. Vi ser at energiligningen over kan skrives p? denne formen. Det viser seg at bevegelsen til romskipet rundt et sort hull ogs? kan skrives p? denne formen.?
Svart hull
Sorte hull er et av de mest ekstreme objektene vi vet om, og de har veldig mange rare effekter, som man m? forklare gjennom generell relativitet. Man kan nemlig ikke forklare bevegelsen rundt et sort hull n?yaktig med Newtonsk gravitasjon, hvis man ser p? det effektive potensialet til et sort hull (i Bilde 1) ser man noe interesant.
Tenker vi n? p? romskipet som en ball som beveger seg p? denne grafen i Bilde 1, kan vi bruke metoden over til ? d?mme om romskipet vil falle inn i det sorte hullet eller unnslippe. Vi ser at vi har en slags grop i det effektive potensialet, og en topp. Til venstre for denne toppen g?r det bratt nedover, og en ball som faller over denne vil ikke kunne komme seg tilbake igjen. Tenk her at det bare er nedover til venstre for toppen, slik at en ball ikke vill stoppe ? falle. Dette svarer til at romskipet blir slukt av det sorte hullet. Dersom energien til romskipet er st?rre enn toppunktet til potensialet, vil romskipet bli slukt av det sorte hullet. Verdien til toppunktet kaller vi den kritiske energien. Har man en energi st?rre enn den kritiske energien, vil man falle inn i det svarte hullet. Avstanden \(r_{\crit}\) som svarer til toppunktet er den kritiske avstanden/radiusen. Ender man opp innenfor denne, vil man bli slukt av det sorte hullet.
For Newtonsk tyngdekraft vil potensialet se annerledes ut. Istedenfor ? g? nedover n?r avstanden \(r\) til det sorte hullet n?rmer seg 0, vil det g? mot uendelig. Denne forskjellen har den effekt at man vil falle inn i det sorte hullet hvis man har for mye energi, noe som er litt kontraintuitivt. Vanligvis ville man tenkt at man trenger mer energi for ? unnslippe et sort hull.?
Dersom man har et romskip i gropen, med lavere energi enn det som trengs for ? komme seg opp av gropen, vil avstanden til det sorte hullet svinge frem og tilbake. Det vil si at man beveger seg i noe som ligner en ellipsebane rundt det sorte hullet, der avstanden til det sorte hullet varierer. Vi kan tenke p? dette som en ball som beveger seg frem og tilbake inni gropen. Dersom romskipet har energi akkurat lik h?yden til den horisontale asymptoten til potensialet, vil dette svare til unnslipningsenergi, slik at romskipet klarer ? r?mme totalt fra tyngdefeltet.
?
Rakett
Vi skal n? ta et eksempel med en rakett i en avstand \(R=20M\) (positivt langs x-aksen) fra et sort hull med masse \(M\). Raketten har en fart p? \(v_r=0.993\) rettet i en vinkel \(\theta=167^\circ\) p? x-aksen. Man kan si mye om bevegelsen basert p? st?rrelsene \(\frac{E_r}{m}=8.03\) og \(\frac{L_r}{m}=37.82\). Hvis vi plotter potensialet med disse tallene f?r vi Bilde 2.
Vi ser av bilde 2 at raketten har h?yere totalengergi en den s?kalte kritiske energien, som er lik toppunktet av potensialet, dette vil si at raketten vil falle inn i det sorte hullet.?
Tenker vi n? p? tankem?ten om ballen som triller (friksjonsfritt) p? grafen. Energien er da den maksimale h?yden ballen kan n?. Hvis vi ser for oss en ball som kommer inn fra h?yre, som kan n? en h?yde lik den r?d stipla linja, ser vi at den vil komme over toppen og trille ned p? andre sida. Hadde den r?de stipla linja v?rt lavere enn toppen, ville ballen ha stoppet i den h?yden og trillet tilbake.?
Inni det sorte hullet
S? hva skjer med v?r stakkars astronaut n?r han n? faller inn i det sorte hullet. Det er nok ikke en komfortabel tur, fordi n?r man er s? n?rme singulariteten endrer styrken p? tyngdefeltet seg s?pass fort at beina til astronauten opplever mye sterkere "tyngdekraft" enn hodet (hvis han faller med bena f?rst). Dette f?rer til at man blir strekt ut i en prosess kalt 'spaghettifisering'. Grunnen er at tyngdekraften n? er s? sterk at den kan trekker molekyler fra hverandre. N?r bena da opplever sterkere tyngdekraft vil molekylene i bena trekkes mer fra hverandre. Dermed blir bena forlenget mer enn hodet. Etter hvert vil alt som er igjen v?re en stimmel med partikler, som er hvor navnet 'spaghettifisering' kommer fra. Det kan se ut noe som i Bilde 3.
?
Konklusjon
Ser vi p? en rakett som beveger seg rundt et svart hull vil den enten bli slukt, g? i en bane eller unnslippe totalt. Vi kan analysere dette ved ? se det effektive potensialet. Her kan vi tenke p? raketten som en ball som beveger seg p? grafen som til potensialet. Da kan vi se at dersom raketten har stor nok energi blir den slukt av det sorte hullet. For raketten vi hadde med ? gj?re var dette resultatet. Dersom raketten hadde mindre energi kunne to ting skje. Den ene er at raketten har mer energi enn potensialet inni gropen, som da svarer til at den vil snu p? vei opp toppen til venstre, og deretter unnslippe til uendeligheten. Det andre er at raketten har energien som svarer til ? bevege seg i en bane rundt det sorte hullet. Dette svarer til at ballen beveger seg frem og tilbake nedi gropen. Til slutt s? vi at n?r raketten kommer innenfor hendelseshorisonten p? det sorte hullet, ville astronauten spaggetifiseres. Dette kom av at tyngdekraften var sv?rt stor, og den var mye st?rre p? bena enn p? hodet.