\input OBLIGmacro

\centerline{{\bf MAT1120 H23}}

\vskip.2cm

\centerline{{\bf Obligatorisk oppgavesett nr.~2 (av 2)}}

\vskip.3cm

\centerline{Innleveringsfrist:
Torsdag 2.~november 2023, klokken 14:30 i Canvas (canvas.uio.no).}

\vskip1cm

\centerline{{\bf Instruksjoner}}

\vskip.2cm

\noindent
Besvarelsen skal leveres som 
\vskip.3cm
\centerline{{\bf  \' en PDF-fil samt \'en kj\o rbar Python-fil (.py) eller Matlab-fil (.m)}}
\vskip.3cm
\noindent Du velger selv om PDF-en skal best\aa\ av scannede h\aa ndskrevne ark, eller om
du skriver besvarelsen direkte inn p\aa{} datamaskin med for eksempel \TeX{} eller LaTeX. Eventuelle scannede ark m\aa{} v\ae{}re godt lesbare. Besvarelsen skal innholde navn, emne og oblignummer. Det forventes at man har en klar og ryddig besvarelse med tydelige begrunnelser.

\vskip.3cm

\noindent Samarbeid og alle slags hjelpemidler er tillatt, men den innleverte
besvarelsen skal v\ae{}re skrevet av deg og reflektere din forst\aa{}else av stoffet. Er
vi i tvil om du virkelig har forst\aa{}tt det du har levert inn, kan vi be deg om en
muntlig redegj\o{}relse.

\vskip.3cm

\noindent Hvis du blir syk eller av andre grunner trenger \aa{} s\o{}ke om utsettelse
av innleveringsfristen, m\aa{} du ta kontakt med studieadministrasjonen ved
Matematisk institutt (e-post: studieinfo@math.uio.no) senest samme dag som innleveringsfristen.
Vitenskapelig ansatte kan ikke innvilge utsettelser.
For \aa{} f\aa{} adgang til avsluttende eksamen i dette emnet, m\aa{} man best\aa{} alle
obligatoriske oppgaver i ett og samme semester.

\vskip.3cm

\noindent For fullstendige retningslinjer for innlevering av obligatoriske
oppgaver, se her:

\vskip.3cm

\centerline{www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html}

\vskip.8cm

\centerline{LYKKE TIL!}

\vfill

\eject

\noindent {\bf Oppgave 1}

\vskip.3cm

\noindent La ${\bf P}_3$ v\ae re vektorrommet av polynomer $p$ med grad h\o yst 3, og betrakt 
de fem punktene
$$
\hbox{$(t_1,s_1)=(2,7)$, $(t_2,s_2)=(3,3)$, $(t_3,s_3)=(4,5)$, $(t_4,s_4)=(5,4)$ og $(t_5,s_5)=(6,3)$}
$$
i planet ${\bf R}^2$. 
\vskip.2cm

\item{a)}Vis at kravet for at polynomet $p\in{\bf P}_3$ gitt ved
$$
p(t)=c_0+c_1t+c_2t^2+c_3t^3
$$
skal oppfylle $p(t_i)=s_i$ for $i=1,\ldots,5$ kan skrives 
$A\x=\b$, der 
$$
A=\Matrix{1&2&4&8\cr 1&3&9&27\cr 1&4&16&64\cr 1&5&25&125\cr 1&6&36&216\cr}
\hskip.5cm 
\x=\Matrix{c_0\cr c_1\cr c_2\cr c_3\cr}
\hskip.3cm\hbox{og}\hskip.3cm
\b=\Matrix{7\cr 3\cr 5\cr 4\cr 3\cr}
$$

\item{b)}Vis at likningssystemet  $A\x=\b$ er selvmotsigende, gjerne ved hjelp av Python eller Matlab.

\vskip.3cm

\item{c)}Begrunn at koeffisientene $c_0,\ldots, c_3$ til polynomet $p\in{\bf P}_3$ som l\o ser approksimasjons\-problemet 
$$
A\x\approx\b
$$
best, alts\aa\ som minimaliserer summen 
$$
S=\sum_{i=1}^5(s_i-p(t_i))^2
$$
av kvadratavvikene, kan finnes ved \aa\ l\o se systemet
$$
 (A\transp A)\x=A\transp\b,\eqno(1)
$$
med hensyn p\aa\ $\x$, der $\x$ og $\b$ er som under a). Begrunn ogs\aa\ at (1) har en entydig l\o sning $\x$. 
\vskip0cm
\item{}(Merk: I oppgaver som dette kan du selvsagt alltid henvise til teoremer i pensum etter \o nske.)

\vskip.2cm

\item{d)}Finn polynomet $p\in{\bf P}_3$ som tilsvarer l\o sningen av (1), og lag en figur som viser
de fem punktene $(t_i,s_i)$ sammen med grafen til $p(t)$. Du kan her gjerne bruke Python eller Matlab.

\vskip.2cm

\item{e)}Vi skal n\aa\ unders\o ke hva som skjer n\aa r vi \o ker graden til polynomet et hakk. Sett opp likningssystemet $A\x=\b$ som uttrykker at polynomet $q\in{\bf P}_4$
gitt ved 
$$
q(t)=d_0+d_1t+d_2t^2+d_3t^3+d_4t^4
$$ 
oppfyller $p(t_i)=s_i$ for $i=1,\ldots,5$, der vi n\aa\ har 
$$
\x=\Matrix{d_0\cr d_1\cr d_2\cr d_3\cr d_4\cr}
$$
og $A$ er en $(5\times 5)$-matrise. 

\vskip.2cm

\item{f)}Finn polynomet $q\in{\bf P}_4$ som tilsvarer l\o sningen av  $A\x=\b$ fra punkt e), og lag en figur som viser
de fem punktene $(t_i,s_i)$ sammen med grafen til $q(t)$. Du kan her gjerne bruke Python eller Matlab.

\vskip.5cm\vfill

\line{\hfill {\it (Oppgaven fortsetter p\aa\ neste side)}}

\eject

\item{g)}I resten av denne oppgaven skal vi se litt mer generelt p\aa\ situasjonen fra punkt e). La ${\bf P}_n$
v\ae re vektorrommet av polynomer $p$ med grad h\o yst $n$, og la $t_0,\ldots,t_n$ v\ae re $n+1$ ulike reelle tall. Definer
avbildningen $T:{\bf P}_n\to{\bf R}^{n+1}$ ved 
$$
T(p)=(p(t_0),p(t_1),\ldots,p(t_n))\hskip.5cm\hbox{for alle $p\in{\bf P}_n$.}
$$
Vis at $T$ er en line\ae rtransformasjon.
\vskip.2cm
\item{h)}Vis at $\hbox{Ker}\hskip.1cm T=\lbrace \0\rbrace$. (Hint: Hvis $T(p)=\0$, er $p$ et polynom med grad h\o yst $n$ og minst $(n+1)$ 
nullpunkter. Er det mulig hvis ikke $p$ er nullpolynomet?)
\vskip.2cm
\item{i)}Vis at $T$ er en isomorfi.
\vskip.2cm
\item{j)}Vis at hvis $s_0,\ldots,s_n$ er $n+1$ vilk\aa rlige reelle tall, s\aa\ fins det et entydig polynom $p\in{\bf P}_n$ slik at $p$ {\it interpolerer\/} de $(n+1)$ punktene $(t_i,s_i)$ i planet, dvs.~slik at vi har 
$$
p(t_i)=s_i\hskip.6cm\hbox{for $i=0,\ldots,n$.}
$$

\vskip.5cm

\noindent {\bf Oppgave 2}

\vskip.3cm

\noindent La $L>0$ v\ae re et reelt tall, og la $V$ v\ae re vektorrommet av kontinuerlige funksjoner 
$f:[-L,L] \to{\bf R}$ med de vanlige vektorromsoperasjonene for funksjonsrom. Vi definerer 
$$
\langle f,g\rangle={1\over L}\int_{-L}^L f(x)g(x)\hskip.1cm dx
$$
\item{a)}Vis at $\langle f,g\rangle$ er et indreprodukt p\aa\ $V$. 

\vskip.2cm

\noindent I resten av oppgaven betrakter vi $V$ som et indreproduktrom med indreproduktet fra punkt a).

\vskip.2cm

\item{b)} La $n\geq 1$ v\ae re et heltall. Vis at 
$$
\Big\langle \sin{n\pi x\over L}\hskip.1cm,\hskip.1cm \sin{n\pi x\over L}\Big\rangle
=\Big\langle \cos{n\pi x\over L}\hskip.1cm,\hskip.1cm \cos{n\pi x\over L}\Big\rangle=1.
$$
Hint: Substituer $u={n\pi x\over L}$ og bruk $\sin^2 u={1\over 2}(1-\cos 2u)$ samt en vri.

\vskip.2cm

\item{c)} La $n,m\geq 1$ v\ae re {\it ulike\/} heltall. Vis at 
$$
\Big\langle \sin{n\pi x\over L}\hskip.1cm,\hskip.1cm \sin{m\pi x\over L}\Big\rangle
=\Big\langle \cos{n\pi x\over L}\hskip.1cm,\hskip.1cm \cos{m\pi x\over L}\Big\rangle=0.
$$
Hint: Du kan bruke $\cos u\cos v={1\over 2}[\cos(u+v)+\cos(u-v)]$ p\aa\ det ene indreproduktet. Pr\o v \aa\
finne et tilsvarende triks for det andre.

\vskip.2cm

\item{d)} La $n,m\geq 1$ v\ae re et heltall, ikke n\o dvendigvis ulike. Vis at 
$$
\Big\langle \sin{n\pi x\over L}\hskip.1cm,\hskip.1cm \cos{m\pi x\over L}\Big\rangle=0.
$$
Hint: Her kan formler for $\sin(u+v)$ og $\sin(u-v)$ v\ae re aktuelle, jamf\o r hintet til c). 

\vskip.2cm

\item{e)}La $N\geq 1$ v\ae re et heltall. La $B\subseteq V$ v\ae re mengden best\aa ende av den konstante 
funksjonen $f_0(t)=1/\sqrt{2}$ samt alle funksjoner $f\in V$ p\aa\ formen
$$
f(x)=\cos{n\pi x\over L} \hskip.3cm\hbox{eller p\aa\ formen}\hskip.3cm  f(x)=\sin{n\pi x\over L}
\hskip.5cm \hbox{der $1\leq n\leq N$.} 
$$
La $U\subseteq V$ v\ae re underrommet utspent av $B$.  Vis at $B$ er en
ortonormal basis for $U$. 

\vskip.2cm

\item{f)}Begrunn at 
projeksjonen $\proj{U}{f}$ av en gitt funksjon $f\in V$ p\aa\ underrommet $U$ er den funksjonen i 
$U$ som tiln\ae rmer $f$ best, i den forstand at 
$$
\int_{-L}^L (f(x)-\proj{U}{f}(x))^2dx< \int_{-L}^L(f(x)-g(x))^2dx\hskip.5cm\hbox{for alle \ $g\neq \proj{U}{f}$ \ i underrommet $U$.}
$$
\item{g)}Vis at hvis vi definerer 
$$
a_0={1\over 2L}\int_{-L}^L f(x)\hskip.1cm dx,\hskip.7cm
a_n={1\over L}\int_{-L}^L f(x)\cos {n\pi x\over L}\hskip.1cm dx
\hskip.5cm\hbox{og}\hskip.5cm
b_n={1\over L}\int_{-L}^L f(x)\sin {n\pi x\over L}\hskip.1cm dx,
$$
for $k=0,\ldots,n$, s\aa\ har vi
$$
\proj{U}{f}=a_0+\sum_{n=1}^N a_n\cos{n\pi x\over L}+\sum_{n=1}^N b_n\sin{n\pi x\over L}\eqno(1)
$$
Uttrykket til h\o yre i (1)  kalles {\it Fourier-tiln\ae rmingen\/} av grad $N$ til $f$ p\aa{} intervallet $[-L,L]$. I grensen
$N\to\infty$ f\aa r vi det som kalles {\it Fourier-rekken\/} til $f$ p\aa\ intervallet. 

\vskip.2cm

\item{h)}Finn Fourier-tiln\ae rmingene $\proj{U}{f}$ av grad $N=4$ og $N=6$ til funksjonen $f:[-1,1]\to{\bf R}$ gitt ved 
$$
f(x)=x
$$
p\aa\ intervallet $[-1,1]$. (Her er alts\aa\ $L=1$.)
Bruk Python eller Matlab til \aa\ lage en figur som viser grafen til
$f$ og grafen til Fourier-tiln\ae rmingen for $N=4$ i et felles koordinatsystem, der grafen til uttrykket p\aa\ h\o yre i (1) er tegnet for $x\in[-2,2]$. Lag ogs\aa\ en tilsvarende figur for grafen til $f$ sammen med Fourier-tiln\ae rmingen for $N=6$. 

\vskip1cm

\noindent {\bf Oppgave 3}

\noindent Skriv et program i Python eller Matlab som estimerer sannsynligheten for at
klokkekabalen g\aa r opp, jamf\o r beskjed med lenke til video p\aa\ semestersiden. Programmet skal sp\o rre brukeren 
hvor mange ganger kabalen skal legges, og returnere (a) antall ganger kabalen gikk opp, 
(b) antall ganger den ikke gikk opp og br\o ken a/(a+b). Hvilket anslag for sannsynligheten f\aa r du ved \aa\ bruke programmet ditt? Lever programmet som en kj\o rbar kodefil (.m eller .py). Det er ikke n\o dvendig \aa\ legge ved 
kj\o reeksempler.

\vskip 1cm

\centerline{SLUTT}

\bye







