Avlange sirkler

For ? sammenlikne med simulasjonen vi vil kj?re senere, ?nsker vi f?rst ? finne en analytisk l?sning p? planetenes baner, som vi kan sammenlikne med. Men enda f?r det, vil vi bli bittelitt kjent med ellipsebaner:

Banene i solsystemet er ellipseformet, med stjernen i en brennpunktene i ellipsen (se gul sirkel i figur). N?r man snakker om en ellipsebane, refererer man ofte til ellipsens store halvakse (\(a\)), som gir oss en ide om hvor stor ellipsen er. Den motsatte aksen, den lille halvaksen (\(b\)), brukes mindre n?r vi snakker om ellipsebaner. Vi ?nsker ogs? ? bruke begrepene Aphel og Perihel, som er planetens posisjon n?r den er lengst borte (aphel) og n?rmest (perihel) solen.

Ofte ser man ogs? p? ellipsens eksentrisitet (\(e\)) (som ikke m? blandes med Euler's tall). Dette tallet er vanskelig ? gi en fysisk forklaring, men det er et tall mellom 0 og 1, som kan tenkes p? som et slags m?l p? hvor n?rme ellipsen er ? v?re en sirkel. Jo n?rmere?\(e\)?er 0, jo n?rmere er ellipsen en sirkel (og dersom?\(e = 0\), da?er?ellipsen en sirkel!).

N? som vi vet dette, kan vi endelig introdusere formelen for ellipsebaner:

\(r(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos{(\theta)}}\)

Der \(a\)?er den store halvaksen og \(e\)?er eksentrisiteten. Formelen gir oss distansen?\(r\)?til en planet (i forhold til stjernen) ved en gitt vinkel?\(\theta\), der?\(\theta = 0\)?gir oss distansen til banens perihel (og dermed gir?\(\theta = \pi\)? ?oss distansen til banens aphel). Vi ?nsker at?\(\theta = 0\)?skal svare til aphelen, s? vi legger til en?\(\pi\)?i cosinusen, slik at dette oppfylles, :

\(r(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos{(\theta + \pi)}}\)

Til slutt vil vi ogs? ha en posisjonsvektor, ikke bare en lengde (s? vi kan plotte det!), s? vi danner en funksjon som gir oss dette i stedet:

\(\vec r (\theta) = r(\theta) (\cos{\theta + \theta_{aph}},\sin {\theta+ \theta_{aph}}) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos{(\theta + \pi)}} (\cos{\theta + \theta_{aph}},\sin {\theta+ \theta_{aph}}) \)

Man kan tenke p? denne funksjonen som en sirkel (derav vektoren?\( (\cos{\theta + \theta_{aph}},\sin {\theta+ \theta_{aph}})\)) med en radius som endrer seg basert p??\(\theta\)! Merk ogs? at vi har med en?\(\theta_{aph}\)?her. Dette er aphelvinkelen, alts? vinkelen mellom x-aksen og aphelens posisjonsvektor. Ikke alle planetene har aphelen sin langs x-aksen, s? vi legger til denne vinkelen for ? korrigere (Alle disse tingene gj?r vi slik at \(\vec r (0) = Aphel\)).

Vi har en database med planetenes store halvakser, eksentrisiteter, og aphelvinkler, og kan da bruke disse, sammen med formelen, til ? tegne banene rundt stjernen:?

Merk at stjernen ikke er tegnet med faktisk st?rrelse (den er i virkeligheten mye mindre), og at vi jobber i AU (definert ved den store halvaksen i jordens planetbane!), og ikke i meter. Her kan vi se at banene er tiln?rmet sirkul?re. Dette er et viktig funn! Det lar oss gj?re nyttige tiln?rmelser senere, hvor vi kan se p? banene som sirkelbaner, siden disse er lettere ? regne p?.

Selv om disse banene ser fine ut, burde vi fortsatt kj?re noen tester for ? sjekke om de er riktige. I f?rste omgang ser vi p? planeten n?rmest stjernen. Tidligere antok vi at posisjonen ved?\(\theta = 0\)?burde v?re banenes aphel. P? tide ? sjekke dette! Vi ser om distansen fra stjernen ved?\(\theta = 0\)?er den h?yeste av alle de beregnede distansene:

Her bruker vi relativ differanse som et m?l p? hvor like de to verdiene er. Dette er et tall mellom 0 og 1, som man kan tenke p? som en prosentandel?(dersom det er relativ differanse 0.5 mellom to verdier, er de 50% like hverandre!).

Dette ser lovende ut!?P? samme m?te antok vi at vi kan finne perihelen ved?\(\theta = \pi\). La oss sjekke dette ogs?. Vi ser om distansen fra stjernen ved?\(\theta = \pi\)?er den laveste?av alle de?beregnede distansene:

N? er vi nesten helt forn?yd. Med disse testene kan vi se at Aphel og Perihel har kommet p? riktig sted i banen. Til slutt vil vi teste om banen er riktig st?rrelse. Som man vi kan se p? diagrammet om ellipser (figur 1), vil distansen til aphel + distansen til perihel v?re lik?\(2a\), der \(a\)?er den store halvaksen til ellipsen. Vi sjekker dette ogs?:

Med dette kan vi si oss ganske sikre p? at banene er riktige. Vi gjorde tester for alle planetene, og de relative feilene?er vist frem under, men jeg kan forsikre at de ogs? stemmer. Med dette er vi klare for ? simulere banene numerisk, som er litt annerledes...

?