Koordinater i solsystemet

P? tide ? forberede oss til oppskytning! Om noen uker skal vi skyte opp, og da m? vi v?re forberedt.

I f?rste omgang har vi lyst til ? g? tilbake til simulasjonen vi lagde i del 1), og generalisere denne. Vi har lyst til ? kunne simulere oppskytningen v?r fra hvor som helst i planetens bane. I del 1) antok vi at planeten v?r var i ett bestemt punkt, men det vil den ikke v?re n?r vi faktisk skal skyte opp, s? vi m? endre p? simulasjonen slik at vi kan legge inn tid selv! Vi har ogs? lyst til ? kunne selv bestemme hvor p? planeten vi skyter fra, alts? ? kunne legge inn en vinkel. (Vi antar fortsatt at vi skyter opp fra ekvator, slik at vi befinner oss i xy-planet hele bevegelsen)

Vi begynner med posisjonen. Vi definerer vektoren fra sentrum av planeten til raketten etter oppskytning som?\(\vec{R_r}\), og vektoren fra sentrum av stjernen til sentrum av planeten som \(\vec{R_p}\). Vi finner posisjonen i solsystemet ved ? summere disse! I del 1) antok vi at?\(\vec{R_p}\)var i en bestemt posisjon, men n? vil vi ha posisjonen ved en gitt tid?\(t \),?tiden vi begynner oppskytningen. Heldigvis, har vi som nevnt tidligere en database med posisjoner, s? vi kan danne en funksjon?\(\vec{R_p}(t)\). Vi f?r da at posisjonen til raketten i solsytemet (se figur 1)) er gitt ved

\(\vec{R} = \vec{R_p}(t) + \vec{R_r}\)

Dette utrykket er en god start, men mangler enkelte ting. Den delen av posisjonen som tilf?res av at planeten roterer rundt egen akse, ligger i v?r simulasjon bygget inn i?\(\vec{R_r}\), s? vi trenger ikke ? gj?re noe med dette, men posisjonen vil ogs? bli p?virket av planetens hastighet i solsystemet, s? denne posisjonen m? vi legge til (se figur 2)). Vi f?r:

\(\vec{R} = \vec{R_p}(t) + \vec{R_r} + \vec{V_p}(t) \cdot \Delta t\)

Her er?\(\vec{V_p}(t)\)?hastigheten til planeten ved en gitt?\(t\)?(disse verdiene ligger ogs? i databasen), og?\(\Delta t\)?er tiden det tar ? gjennomf?re oppskytningen. N? n?rmer vi oss det vi vil ha, men forel?pig antar vi fortsatt at vi skyter opp langs x-aksen i solsystemet, siden?\(\vec{R_r}\)?alltid vil peke denne veien (dette er ikke helt?sant, les f?rste del?her om det irriterer deg), men vi ?nsker ? kunne skyte opp fra en gitt vinkel?\(\theta\). Vi m? alts? rotere?\(\vec{R_r}\)?med?\(\theta\)?for ? finne den riktige vektoren fra planeten til raketten. For ? gj?re dette, vil vi multiplisere?\(\vec{R_r}\)?med matrisen?\(A_{\theta}\), som vi definerer slik:

\(A_\theta = \left[\begin{matrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{matrix}\right]\)

Akkurat hva en matrise er, og hvordan den roterer?\(\vec{R_r}\)?vil vi ikke g? inn p? (men vi har skrevet litt om det i 2. del her?for de som er interesserte). Dette gir oss det siste utrykket for?\(\vec{R}\):

\(\vec{R} = \vec{R_p}(t) + A_\theta\vec{R_r} + \vec{V_p}(t) \cdot \Delta t\)

For hastigheten er utrykket litt enklere. Vi definerer?\(\vec{V_p}\)?som hastigheten til planeten,?\(\vec{V_r}\)?som hastigheten til raketten i planetsystemet, og?\(\vec{V}\)?som hastigheten til raketten i solsystemet.?\(\vec{V_p} \)?ligger allerede i solsystemet, men vi m? fortsatt rotere?\(\vec{V_r}\)?med?\(\theta\), for samme grunner som tidligere. Vi summerer disse og f?r

\(\vec{V} = \vec{V_p} + A_\theta\vec{V_r}\)

Vi kan kj?re en liten test for ? sjekke at disse prosessene gj?r det de skal. Dersom vi kj?rer simulasjonen med?\(\theta = 0\)?og?\(t = 0Y\), burde vi f? akkurat samme tall som det vi fikk i del 1). Vi kj?rer simulasjonen, og f?r f?lgende:

Ser man det! Simulasjonen gj?r det vi vil at den skal, vi ser jo at den rellative feilen er under 1%. Dette kunne vi forvente, siden utrykket v?rt for?\(\vec{R}\)?forkortes til det vi brukte i del 1) dersom?\(\theta = 0 \)?og?\(t = 0Y\). For ? f? en ide om hvordan simulasjonen fungerer ved andre parametere, kan vi se p? tilfellet der?\(\theta = \frac \pi 2\)?og?\(t = 1Y \):

P? figur 4) kan vi se at vinkelen fungerer akkurat som den skal; Raketten skytes opp langs y-aksen, alts? der?\(\theta = \frac \pi 2\). Vi kan se at Raketten ogs? arver hastigheten til planeten riktig, siden den har flyttet seg med planeten i l?pet av oppskytningen. Vi kan ogs? se at raketten er lenger unda planeten etter oppskytningen, som er akkurat det vi ?nsker (det hadde ikke v?rt en oppskytning hvis raketten ble st?ende p? bakken!). Merk at simulasjonen regner oppskytningen som ferdig n?r raketten n?r unnslippningshastighet, ikke n?r den faktisk slipper unna planeten. Dette er grunnen til at raketten er s? n?rme planeten selv etter oppskytningen.

Med rakettsimulasjonen i boks, kan vi begynne ? se p? andre forberedelser.