Grinchen best?r nemlig av anti-nissematriale, s? n?r de kolliderer kommer all materiale til ? forsvinne, og all energien g?r til fotoner som beveger seg i alle retninger. (Selvf?lgelig er nissen ud?delig, s? selv om all matriale han er forsvinner kommer han alltid tilbake med julemagi!) \(\)
For ? studere denne situasjonen ser vi p? to referansepunkter:F?rst, Bastian som st?r nede p? planetoverflaten og er i ro i forhold til den. Dette er labratoriesystemet v?r i denne situasjonen. Vi har ogs? Bendik som har tatt p? seg oppdraget av ? ri Rudolf rett bak nissen i samme fart som nissen har. Dette er det merkede systemet. M?let v?rt er ? kunne si noe om hvilken farge jule-eksplosjonen er basert p? hvilket referansesystem vi er i.?
Derfor fokuserer vi p? lyset etter kollisjonen. F?rst m? vi tenke oss p? hvordan en firevektor ser ut for en partikkel som ikke har masse?? Men vi vet at fotoner faktisk har energi selv om de er massel?se, og siden firevektoren til relativistisk driv har energi i tidsleddet kan vi fylle det in der. N? antar vi at bevegelsen bare skjer i en positiv retning langs x aksen. Dermed blir drivet en-dimensjonelt. Vi kan da ta skalarproduktet av det relativiske drivet med seg selv, og vi f?r:
\( P_\mu P^\mu = E^2 - p^2 = m^2 V_\mu V^\mu = m^2 \implies E^2 = m^2 + p^2\)?
Hvor \(P_mu\) er relativistisk driv 4-vektor, E er energi (alts? tidskomponeten), p er de tre romkomponentene (som i v?rt tilfelle bare er \(p_x\) siden vi har null fart i andre retninger) og m er massen til objektet. Merk her har vi brukt skalar produkt i lorentzgeometri hvor vi da f?r p? samme m?te som n?r vi brukte tidsromintervall tidskomponent - romkomponentene. (\( P_\mu P^\mu \) er notasjon for dette produktet)
Da har vi at \(E = \sqrt{m^2 -p^2}\). Siden fotonet er massel?st f?r vi at \(|p| = ?E\). Siden partikkelen bare beveger seg i postiv x-retning vil all dette drivet ligge langs x aksen, og v?re rettet i postiv retning. Vi f?r da firevektoren:
\(P_\mu = (E,E,0,0) \), hvor E er energien.
N? skal vi anta at det bare kommer to fotoner ut av kollisjonen, en som beveger seg mot Bendik langs x aksen og en som beveger seg bort fra Bendik langs x aksen. N? er det en veldig viktig lov vi ikke m? glemme. Det er bevaring av relativistisk driv! N?r Bastian st?r p? planeten og ser p? nissen og grinchen beveger de seg med samme hastighet mot hverandre. De har da samme st?rrelse p? romdimensjonene av drivet men i motsatt retning. Dermed blir total romkomponent av drivet i systemet 0. N?r vi da bare har to partikler vil da disse to partiklene m?tte ha samme st?rrelse p? romkomponentene men i motsatt rettning. Alts? beveger de seg unna hverandre med samme driv motsatt rettet. Dette er veldig godt ? vite, fordi vi vet jo at for et foton er \(E = |p|\) s? siden de har samme st?relse p? romkomponenten av drivet m? de ogs? ha samme st?rrelse energi. Dermed har begge fotonene samme energi og firevektorene deres er (antatt at de beveger seg p? x aksen) er:
\( P_\mu ^+ = (E,E,0,0), P_\mu^- = (E,-E,0,0) ?\)
N? siden energi ogs? er bevart vet vi da at hver partikkel m? ha energi lik halvparten av den totale energien i systemet. Igjen har nissen og grinchen samme masse og fart s? de vil ha samme energi. Men denne gangen blir ikke energien p?virket av retningen p? farten. Siden det er to protoner vil hver av dem ha like mye energi som ett av skipene.?
Hva hvis partiklene ikke beveger seg langs x aksen men med en vinkel \(\theta\) fra x aksen? Vi tenker oss da at y aksen g?r slik at fotonet holdes i xy planet, (man kan jo velge retningen p? aksen selv s? lenge man passer p? ? v?re konsekvent). Da kan man raskt se p? figur 1 at en vinkelen til en partikkel som g?r i motsatt rettning vil v?re \(\theta + \pi\) av x aksen. Vi vet at den andre partiklen m? g? i motsatt retning fordi drivet er bevart s?, drivkomponetnene m? sumere til 0.?
?
Vi f?r da firevektorene?
\((E_1, Pcos(\theta), Psin(\theta),0)\) og \((E_2, Pcos(\theta+\pi), Psin(\theta+ \pi),0)\) ??
Hvor P er st?rrelsen p? drivet til fotonet og \(E_1\), og \(E_1\) er energien til hvert sitt foton. N? siden drivet er bevart har vi at P er det samme for begge fotonene akkurat som f?r. Siden i et foton er \(E^2 = |p|^2\) kan vi sette opp ett utrykk for energien:
\(E_1^2 = P^2 (cos^2(\theta) + (sin^2(\theta)) = P^2 = P^2 (cos^2(\theta + \pi) + (sin^2(\theta + \pi)) = E_2^2\)
Vi f?r alts? \(E_1 = E_2 = P\) Akkurat som n?r partiklene bevegde seg i x-retning. Vi kan ogs? sette in at \(sin(x + \phi) = - sin(x) ; cos(x + \phi) = - cos(x) \) og f?r endelige firervektorer som:
\((E, Ecos(\theta), Esin(\theta),0)\) og \((E, -Ecos(\theta), -Esin(\theta),0)\) ??
N? siden theta kan v?re hva som helst og rettet i hvilken som helst retning f?r vi at uansett hvor et foton sendes ut vil det alltid v?re med ett foton i motsatt retning. Utledningen over bygger egentlig heller ikke p? at det bare er to fotoner, uansett hvor mange fotoner det er kan vi velge og se p? dem to om gangen og se at hvert foton vil ha et foton som har like mye energi og motsatt rettet bevegelse. N? siden hvert foton ogs? har samme energi, en antagelse vi gj?r, vil da den totale energien v?re lik \(E\cdot N\) hvor E er energien til ett foton og N er antall fotoner. Vi vet at den totale energien er lik summen av energien til nissen og grinchen. Siden de har samme energi f?r vi da at \(E_{tot} = 2M\gamma\) hvor M er massen til en av dem og \(\gamma\) er Lorentz-faktoren til dem (samme faktor fordi de beveger seg med samme fart i motsatt retning, lorentsfaktoren har \(v^2\)). Vi f?r da at \(E = E_{tot}/N\) som energien til hvert foton.?
N?r vi s? skal se videre p? to av fotonene som beveger seg langs x-aksen, de vil da begge ha energien gitt over og samme driv men motsatt rettet. Alt dette er fra hva Bastian har sett fra planetoverflaten, men som vi introduserte helt i starten er Bendik her ogs?. Han rir p? rudolf med en hastighet v, samme hastighet nissen hadde. Vi definerer at positiv x akse er bort fra Bendik og negativ er mot Bendik. Vi n? bruke lorentz matrisen \(c_{\mu\nu}\) til ? transformere mellom referansesystemene. Lorentz matrisen er en matrise som n?r referansesystemet bare beveger seg i x retning er p? formen:
\begin{pmatrix} ?\gamma_{rel} & -v_{rel}\gamma_{rel} ?&0&0 ?\\ -v_{rel}\gamma_{rel} ?& ?\gamma_{rel} &0&0 \\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
Hvor \(v_{rel}\) og \(\gamma_{rel}\) er farten og lorentsfaktoren til forskjellen mellom referansesystemene. Den relative farten er da farten til Rudolf og Bendik (v). Fra dette finner vi ogs? lorentsfaktoren. N?r vi da lar matrisen akte p? firevektoren i Bastian sitt referansesystem vil vi f? ut firevektoren i Bendik sitt. Merk her at siden dette er en matrise multiplikasjon f?r vi at elementene blandes litt hvor st?rrelsen p? energien p?virker drivet og motsatt. Denne matrisen gir de vanlige lorentstransformasjonene n?r den virker p? posisjons firevektoren.?
N?r vi tar produktet av lorentzmatrisen fra Bastian til Bendik og firevektoren som Bastian ser vil vi f? ut blant annent energien som Bendik opplever fra fotonet. Da f?r vi faktisk forskjellig energi basert p? hvilket foton fordi drivet ogs? p?virker energien og er forskjellige mellom de to fotonene (Motsatt rettet). Vi f?r da ligningen for energi som er:
\(E' = E\gamma(1 \pm v\) hvor vi f?r at fotonet som g?r mot Bendik har energi +v og det som g?r bort har -v, grunnen til dette er at man ganger med \(-v_{rel}\), og \(v_{rel}\) er positiv. Dermed blir \(-v_{rel}\cdot(-E) = +v_{rel}E ; ?-v_{rel}\cdotE = -v_{rel}E\).
Vi velger da og se p? fotonet som g?r mot Bendik. Fordi Bendik kommer aldri til ? se fotonet som g?r fra han. (Tenk p? verdenslinjene hvor lys har \(45^o\)
Da kan man bruke dette til ? finne forskjellene i frekvensen m?lt mellom Bendik og Bastian fordi frekvensen avhenger av Energien (frekvens = E/h hvor h er planks konstant). Dette gir da ogs? en forskjell i b?lgelegndene og det er den effekten vi m?ler n?r vi m?ler dopplereffekten, noe vi har brukt b?de for analyse av atmosf?re og orientasjon i rommet!! Endelig har vi en ordentlig forklaring p? denne effekten, det er alt p?grunn av at lyshastigheten er konstant! ?
Logg inn for ? kommentere