Hvordan ser atmosf?ren til Armando ut??

I forrige innlegg konkluderte vi med at massetettheten til atmosf?ren f?lger dette uttrykket:

\(\rho(r)=\left( \frac{GM(\gamma-1)}{\gamma K} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right) + \rho_0^{\gamma-1} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\)

Hvor \(r\) er avstanden til sentrum av planeten, \(\gamma\) er en konstant i sammenhengen for adiabatiske gasser, \(G\) er gravitasjonskonstanten, \(R\) og \(M\) er henholdsvid radiusen og massen til planeten og \(K=C(\frac{k}{\mu m_H})^{\gamma-1}\frac{k}{\mu m_H}\).

Faktorene i \(K\) kjenner vi fra f?r: \(C\) er en konstant, \(k\) er Boltzmanns konstant, \(\mu\) er den gjennomsnittlige molekyl?re vekten til atmosf?ren og \(m_H\) er massen til et hydrogenatom.

Med hjelp fra uttrykket for tettheten kan vi finne sammenhengen for temperaturen:

\(T(r)=C(\frac{\rho(r)k}{\mu m_H})^{\gamma-1}\)

Da skriver vi ned st?rrelsene vi trenger!

• \(M \approx 1.875\times 10^{25}\) kg
• \(R\approx 1.050\times 10^{7}\) m
• \(\gamma = 1.4\)
• \(\mu = 30.5\)
• \(\rho_0 \approx 1.317 \mathrm{kg/m^3}\)
• \(C=P_0^{1-\gamma}T_0^\gamma\), hvor \(P_0 \approx 97.6\) kPa og \(T_0 = 274\) K.

Her er \(T_0\) temperaturen vi beregnet for overflaten til Armando i del 3!

Da er det bare ? teste ut modellen v?r! F?rst ser vi p? massetettheten. P? planeten deres jorda er mesteparten av atmosf?ren, omtrent 80 prosent, i troposf?ren. Denne strekker seg rundt 10 km opp fra overflaten. Vi plotter derfor tettheten opp til denne h?yden!

Ut fra dette noks? uskyldige plottet ser vi at massetettheten avtar med h?yden over bakken, og er st?rst ved overflaten. Dette forventet vi, ettersom tyngdekraften trekker p? gasspartiklene og dermed lager en st?rre opphopning ved overflaten. Ved en h?yde p? 10000 m over bakken begynner lufta ? bli veldig tynn!?

Vi sammenlikner atmosf?retettheten til Armando med tettheten til jorda for flere h?yder. Merk at tallene for jorda ogs? er basert p? en modell, s? disse er ikke helt realistiske heller... Det viktigste for oss er uansett ? f? en indikasjon p? st?rrelsesforholdene; dersom vi er i noenlunde liknende st?rrelsesforhold, tyder det p? at vi har gjort ting riktig!

Her ser vi at vi er i veldig liknende st?rrelsesforhold p? Armando som p? jorda! Det kan tyde p? at modellen v?r i hvert fall ikke er helt feil, og det er bra. Neste ting vi legger merke til er at tettheten avtar fortere p? Armando enn p? jorda. Det er kanskje derfor tettheten blir tiln?rmet null mye tidligere p? Armando enn p? jorda? Kanskje det kommer av forskjeller i gravitasjon? Vi sjekker:

Tyngdeakselerasjonen p? Armando er st?rre enn p? jorda. Kan det gj?re at atmosf?retettheten avtar fortere? Vi deriverer \(\rho(r)\)!

\(\rho(r)=\left( \frac{GM(\gamma-1)}{\gamma K} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right) + \rho_0^{\gamma-1} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\)

Skriver enklere. Setter

\(A=\frac{GM(\gamma-1)}{\gamma K}\), og \(C=\rho_0^{\gamma-1}\).

\(\rho(r)=(A(\frac{1}{r}-\frac{1}{R})+C)^{\frac{1}{\gamma-1}}\)

Deriverer med hensyn p? \(r\):

\(\rho'(r)=\frac{1}{\gamma-1}(A(\frac{1}{r}-\frac{1}{R})+C)^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}}\times(-A\frac{1}{r^2})\)

\(\rho'(r)=-\frac{1}{\gamma K} \frac{GM}{r^2} (\frac{GM(\gamma -1)}{\gamma K} (\frac{1}{r}-\frac{1}{R}) + \rho_0^{\gamma-1})^{\frac{2-\gamma}{\gamma -1}}\).

Gjenkjenner \(\frac{GM}{r^2}\) som tyngdeakselerasjonen \(g(r)\):

\(\rho'(r)=-g(r) \frac{1}{\gamma K} (\frac{GM(\gamma -1)}{\gamma K} (\frac{1}{r}-\frac{1}{R}) + \rho_0^{\gamma-1})^{\frac{2-\gamma}{\gamma -1}}\).

Her ser vi alts? tydelig at den deriverte til \(\rho\) er proporsjonal med tyngdeakselerasjonen. Fra dette kan vi konkludere med at ja, det skal v?re slik at tettheten avtar fortere n?r tyngdeakselerasjonen er st?rre i absoluttverdi! Dette kan v?re enda et tegn p? at modellen v?r ikke er s? verst!!

I figur 1 kan vi dessuten se at kurven er brattest i starten, f?r den flater ut etter hvert. Dette kommer direkte fra uttrykket for \(\rho\):

\(\rho(r)=\left( \frac{GM(\gamma-1)}{\gamma K} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right) + \rho_0^{\gamma-1} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\)

N?r \(r\) etter hvert blir st?rre, g?r faktoren \(\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right)\) mot et gradvis st?rre negativt tall, siden leddet \(\frac{1}{r}\) blir mindre. Da vil vi ettert hvert komme til et punkt hvor hele uttrykket som opph?yes i \(\frac{1}{\gamma-1}\) blir null, alts?:?

\(\frac{GM(\gamma-1)}{\gamma K} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right)+ \rho_0^{\gamma-1} = 0\)

Etter dette punktet blir tettheten rett og slett bare null. Dette m? vi ta h?yde for i modellen! Hvis vi ikke gj?r det, skjer dette:

N?r vi er 23000 m over overflaten er grunntallet i potensen negativt og da gir programmet oss en feilmelding! N?r vi retter opp dette f?r vi at:

Hvor er denne h?yden da? Fra modellen v?r f?r vi at tettheten er omtrent lik null 23.02 km over havet. Gir dette mening? For jorda er tettheten \(0.040 \mathrm{kg/m^3}\) 25 km over havet. Det samsvarer jo ikke akkurat... Kanskje det er en logisk fysisk grunn til det?

Vent n? litt... Vi har oversett en viktig ting!!!! Da vi kom frem til uttrykket for tettheten, \(\rho(r)=\left( \frac{GM(\gamma-1)}{\gamma K} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right) + \rho_0^{\gamma-1} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\), fant vi jo dette ut fra formelen for adiabatiske gasser. Men vi sa jo at atmosf?ren kun er adiabatisk opp til h?yden hvor temperaturen er \(T=T_0/2\), hvor \(T_0\) er overflatetemperaturen. Etter denne h?yden skulle jo temperaturen v?re konstant!! Det at temperaturen forblir konstant etter denne h?yden endrer jo ogs? p? modellen for tettheten!!! Da kan vi ane at modellen ikke er gyldig for h?ydene gitt i modellen over. Det er kanskje derfor vi f?r s? sm? tall??

La oss f?rst sjekke hva h?yden er n?r temperaturen har halvert seg:

\(T(r_{iso})=C(\frac{\rho(r_{iso})k}{\mu m_H})^{\gamma-1}=T_0/2\)

Skriver ut med uttrykket for tettheten:

\(T_0/2 = C(\frac{k}{\mu m_H})^{\gamma-1} \left(\frac{GM}{\gamma K} \left( \frac{1}{r_{iso}} - \frac{1}{R} \right) + \rho_0^{\gamma-1} \right) \)

L?ser denne for \(r_{iso}\):

\(r_{iso}=\frac{C_1GM(\gamma-1)}{\gamma K} \left( \frac{C_1GM(\gamma-1)}{\gamma KR} - C_1\rho_0^{\gamma -1}+T_0/2 \right) ^{-1}\)

Hvor \(C_1 = C \left( \frac{k}{\mu m_H} \right) ^{\gamma-1} \)

Uttrykket blir alts? bittelitt stygt! N?r vi setter inn tall for konstantene f?r vi:

• \(h_{iso}=r_{iso}-R = 11438 \mathrm{m} = 11.4 \mathrm{km}\)

Hvor \(R\) er radiusen til Armando. S? ved en h?yde p? 11.4 km over bakken er ikke lenger atmosf?ren adiabatisk!! Da er det kanskje derfor vi fikk veldig sm? tall i tabellen over?? Modellen er jo ikke gyldig ved s? store h?yder!

Oioioi... Vi m? alts? finne uttrykket for tettheten n?r temperaturen er konstant. Dette er heldigvis ikke superkomplisert, men det er matte som dere ikke har l?rt enda. Derfor anbefaler vi at dere hopper rett til resultatet!

Vi begynner med uttrykket for hydrostatisk likevekt:

\(\frac{dP}{dr}=-\rho(r)g(r)\) ? ?(1)

I forrige innlegg fant vi ut at trykket \(P\) i en ideell gass er gitt ved formelen:

\(P=\frac{\rho(r) kT}{\mu m_H}\). Setter dette inn i formel (1).

\(\frac{d}{dr}(\frac{\rho(r) kT}{\mu m_H})=-\rho(r)g(r)\)

N? er temperaturen konstant, s? hele faktoren \(\frac{kT}{\mu m_H}\) skriver vi som en konstant \(U\).

\(U\frac{d\rho(r)}{dr}=-\rho(r)g(r)\)

Gj?r formelmassasje: Flytter konstanten over, ganger med \(dr\) og deler med \(\rho\)

\(\frac{1}{\rho(r)}d\rho = -\frac{g(r)}{U} dr\).

Skriver ut \(g(r)\) som \(g(r)=\frac{GM}{r^2}\) og integrere p? begge sider.

\(\int \frac{1}{\rho(r)}d\rho = -\int \frac{GM}{Ur^2}dr\)

\(\mathrm{ln}|\rho| = \frac{GM}{Ur} + C\)

Vil fjerne logaritmen Skriver begge sider som eksponenten til \(e\)

\(e^{\mathrm{ln}|\rho|}=e^{\frac{GM}{Ur} + C}=e^{\frac{GM}{Ur}} e^{C}\).

Her er \(e^C\) bare en konstant. Skriver den som \(e^C=C_1\). Vi f?r alts? at tettheten til atmosf?ren n?r temperaturen er konstant, eller sagt p? en annen m?te, isoterm:

\(\rho_{iso}(r) = C_1e^{\frac{GM}{Ur}}\)

Vi vet at den f?rste verdien til dette uttrykket skal v?re den siste verdien til tettheten \(\rho_a\), alts? n?r atmosf?ren er adiabatisk, f?r atmosf?ren ikke er adiabatisk lenger. Dette skjer ved avstanden \(r_{iso}\) fra planetens sentrum.

\(\rho_{iso}(r_{iso})=C_1e^{\frac{GM}{Ur_{iso}}}=\rho_{a}(r_{iso})\)

Dette gir at \(C_1=\rho_{a}(r_{iso}) e^{-\frac{GM}{Ur_{iso}}}\)

Hvor \(\rho_a(r_{iso})=\left( \frac{GM(\gamma-1)}{\gamma K} \left( \frac{1}{r_{iso}}-\frac{1}{R} \right) + \rho_0^{\gamma-1} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\)

Vi finner alts? \(C_1\) fra det f?rste uttrykket for tettheten. Da f?r vi totalt:

\(\rho_{iso}(r)=\rho_{a}(r_{iso}) \mathrm{exp} \left( \frac{GM}{U} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{r_{iso}} \right) \right) \)

Etter litt utregning finner vi alts? at tettheten til atmosf?ren n?r temperaturen blir konstant, eller sagt p? en annen m?te, n?r atmosf?ren er isoterm, f?lger uttrykket:

\(\rho_{iso}(r)=\rho_{a}(r_{iso}) \mathrm{exp} \left( \frac{GM}{U} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{r_{iso}} \right) \right) \)

Hvor \(\rho_{a}(r_{iso})\) er verdien til tettheten akkurat i grensa mellom adiabatisk og isoterm atmosf?re. \(U\) er en konstant, gitt som \(U=\frac{kT_0/2}{\mu m_H}\). Minner dessuten om at \(M\) og \(G\) er henholdsvis massen til planeten og gravitasjonskonstanten.

Ok, da skal vel alt v?re i orden?? Vi legger uttrykkene sammen og skriver ned den komplette modellen for tettheten:

For \(r\leq r_{iso}\) er atmosf?ren adiabatisk:

\(\rho_a(r)=\left( \frac{GM(\gamma-1)}{\gamma K} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right) + \rho_0^{\gamma-1} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\)

For \(r > r_{iso}\) er atmosf?ren isoterm:

\(\rho_{iso}(r)=\rho_{a}(r_{iso}) \mathrm{exp} \left( \frac{GM}{U} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{r_{iso}} \right) \right) \)

Vi f?r en nedgang i grenseomr?det! Det tyder p? at tettheten avtar raskere n?r temperaturen forblir konstant. Hva er den fysiske tolkningen av det? Dere har kanskje opplevd at kald luft er tyngre enn varm luft? Kanskje dere har sovet i en hems, byttet p? ? sitte ?verst eller nederst i en badstue, eller ?pnet verandad?ren p? en kald vinterdag? Da opplever dere i hvert fall at den kalde luften samler seg p? bunn, mens den varme luften stiger til v?rs. Det kommer av at kald luft er tyngre enn varm luft! I det abiabatiske laget er det luft med ulike temperaturer, hvorav noe vil bevege seg oppover og noe beveger seg nedover. Lufta som g?r oppover kj?les ned igjen og blir tyngre. Husk: kald luft er tyngre enn varm luft. Det at lufta kj?les ned, gj?r at tettheten i det adiabatiske laget ikke avtar fullt s? raskt! I det isoterme laget vil lufta som stiger oppover derimot ikke kj?les ned, og da avtar tettheten fortere! N?r vi fjerner denne nedkj?lende prosessen gj?r vi alts? at tettheten til atmosf?ren avtar raskere.

Da kan vi sammenlikne tetthetsverdier for Armando med tetthetsverdier for jorda, ved store h?yder over havet:

Her ser vi alts? fortsatt at tettheten til Armandos atmosf?re avtar raskere enn for jorda. Det kan for eksempel komme av det ovennevnte, nemlig at vi antar atmosf?ren til ? v?re isoterm etter en viss h?yde. Dette gj?r at tettheten avtar fortere enn i det adiabatiske laget. I virkeligheten vil jo ikke atmosf?ren v?re konstant isoterm etter en viss h?yde, s? dette kan v?re med p? ? utgj?re forskjellen mellom tallene for jorda og tallene for Armando. Her m? vi dessuten huske p? alle antakelsene vi har gjort! Det er for eksempel ikke helt realistisk at atmosf?ren er uniform. P? grunn av str?mmer, store v?rstystemer, temperaturforskjeller og tyngdekraft vil jo gassene fordele seg ulikt i atmosf?ren. Det er i tillegg ikke helt virkelighetsn?rt at atmosf?ren oppf?rer seg som en ideell gass for alle h?yder over havet. Ved lave temperaturer vil en gass faktisk oppf?re seg ganske annerledes enn en ideell gass!?

Apropos temperatur, la oss se p? temperaturmodellen! Ettersom denne beregnes ut ifra tetthetsmodellen, kan vi vel p? forh?nd ha en magef?lelse om at modellene kommer til ? likne litt? La oss se p? hva vi f?r!

Ogs? her f?r vi en noks? uskyldig kurve... Hva kan vi si om denne? Som forventet er temperaturen st?rst ved overflaten, f?r den avtar med avstanden fra overflaten. N? ser imidlertid kurven mye mer line?r ut, hvordan kan det ha seg? Vi fant jo at temperaturen f?lger formelen:

\(T(r)=C(\frac{\rho(r)k}{\mu m_H})^{\gamma-1}\)

Men vi s? jo nettopp at \(\rho(r)\) ikke avtar line?rt...?

?H, n? kom det et eureka-?yeblikk her!! Det kommer jo selvf?lgelig fra uttrykket for \(T\)!! For ? vise dette m? vi bruke litt matte dere ikke har l?rt dere fra f?r, s? vi oppfordrer dere til ? hoppe over denne biten. Se riktignok gjerne p? hva resultatet blir!!

\(T(r)=C(\frac{\rho(r)k}{\mu m_H})^{\gamma-1}\)

Faktoriserer ut \(\rho(r)\):

\(T(r)=C(\frac{k}{\mu m_H})^{\gamma-1} \rho(r)^{\gamma-1}\)

Skriver om hele leddet med konstanter som ¨¦n konstant \(A\). Eksponenten forsvinner fordi: \(\rho(r)^{\gamma-1}=\left( \frac{GM(\gamma-1)}{\gamma K} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right) + \rho_0^{\gamma-1} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}(\gamma-1)}\)

Da f?r vi

\( T(r)=A\left( \frac{GM(\gamma-1)}{\gamma K} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right) + \rho_0^{\gamma-1} \right)\)

N? ser vi kun p? leddet hvor vi har en \(r\). Det er dette som bestemmer avtakingen. Vi har at \(r\) i uttrykket egentlig er gitt som \(r=R+h\) hvor \(R\) er radiusen til planeten og \(h\) er h?yden over havet. Vi har alts?

\( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} = ?\frac{1}{R+h}-\frac{1}{R}\)

Hvor \(h\) er veldig liten i forhold til \(R\). Da f?r vi funksjonen

\(f(h)=\frac{1}{R+h}=\frac{1}{R}\frac{1}{1+\frac{h}{R}}\)

Denne vil vi Taylor-utvikle! Vi kjenner Taylor-utviklingen til \(f(x)=\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3...\). Vi setter \(x=\frac{h}{R}\).

\(f(h)=\frac{1}{R}(1-\frac{h}{R}+(\frac{h}{R})^2-(\frac{h}{R})^3....)\).

Siden \(h<<R\) holder det ? gj?re en f?rsteordens approksimasjon:

\(f(h)\approx \frac{1}{R} - \frac{h}{R^2}\)

Her ser vi tydelig at \(f(h) \propto h\), som betyr at temperaturgrafen v?r avtar line?rt!

Vi skj?nner til slutt at temperaturgrafen avtar line?rt fordi det \(r\)-avhengige leddet er proporsjonalt med h?yden over havet. Det ser vi etter at vi gj?r en Taylor-approksimasjon for leddet \(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\). Vi finner ut at dette er tiln?rmet proporsjonalt med h?yden over havet:

\(f(h)\approx \frac{1}{R} - \frac{h}{R^2}\), hvor \(h\) er h?yden over havet.?

Siden \(h\) er veldig liten i forhold til \(R\) blir dette en noks? god tiln?rming! Det er alts? ikke feil at temperaturen avtar line?rt her, vi finner jo ut at den er line?r med h?yden over havet! Det var godt ? se. Gir temperaturene vi finner her mening da? Igjen sammenlikner vi med tall for hjemplaneten deres, jorda.?

Vi er omtrent i samme st?rrelsesorden her, hvilket kan indikere at vi gj?r ting riktig. Ogs? her ser vi at temperaturen avtar raskere p? Armando enn p? jorda. Dette kommer igjen av at tyngdeakselerasjonen p? Armando er st?rre enn p? jorda. Hvis vi deriverer \(T\) finner vi at temperaturendringe er proporsjonal med tyngdeakselerasjonen.?

Men se da, Armandos atmosf?re virker jo superkald.... Gidder vi ? bo p? en s? kald planet da?

Her b?r vi ikke fortvile for tidlig! Vi bruker at overflatetemperaturen er den temperaturen vi beregnet oss frem til i del 3. Da snakket vi ogs? om at denne kanskje faktisk er lavere enn den virkelige overflatetemperaturen! Med kjikvadratminimeringen av fluksdataen fant vi jo ut at atmosf?ren best?r av gasser som er viktige for drivhuseffekten, som metan, \(CH_4\), vann, \(H_2O\) og dinitrogenoksid, \(N_2O\). Kanskje det da er h?p for at temperaturen faktisk er litt h?yere i virkeligheten?

For ? ytterligere vurdere temperaturene, kan vi sammenlikne med hvilke temperaturer vi fant at gassene hadde med kjikvadratminimeringen i et tidligere blogginnlegg:

Temperaturene samsvarer faktisk ganske bra! Vi sa jo tidligere i dette innlegget at omtrent 80 prosent av atmosf?ren ligger i troposf?ren, som vi sier at befinner seg opp til rundt 10 km over havet. Siden vi fra kjikvadratminimaliseringen finner at gasstemperaturene ligger omtrent innenfor temperaturintervallet for troposf?ren, kan vi med st?rre selvsikkerhet si at vi har en realistisk modell. Temperaturene er riktignok ikke noe s?rlig h?yere da... Kanskje vi har en kald fremtid i vente???!!

Til slutt kan vi sammenlikne temperaturprofilen til Armandos atmosf?re med profilen til jordas atmosf?re over st?rre h?yder, ikke bare innenfor atmosf?ren.

Temperaturen synker mer og mer, helt til den forblir konstant etter ? ha n?dd \(T=T_0/2 = 137 K \). Hvordan ser et slikt plott ut for hjemplaneten deres, jorda da?

Oi, se her da! I jordas atmosf?re ?ker plutselig temperaturen i stratosf?ren, f?r den svinger b?de nedover og oppover i de neste atmosf?relagene! Fokuserer vi kun p? de minste h?ydene fra 0 km til 20 km, ser vi imidlertid at modellene v?re samsvarer ganske godt p? formen: Temperaturen avtar line?rt og forblir konstant ved et visst punkt. Fra dette kan vi si at modellen v?r best beskriver virkeligheten for noks? sm? h?yder over havet, opp til rundt 20-30km. Deretter skjer det tilsynelatende ting som modellen v?r ikke klarer ? beskrive.

Ja, da har vi blitt bedre kjent med atmosf?ren til Armando! Det virker som at vi har laget modeller som gir realistiske tall for h?yder opp til 20-30 km over havet, f?r antakelsene v?re blir for grove til ? beskrive virkeligheten... N? har vi uansett bedre forutsetninger for ? planlegge selve landingen. Vi kan i st?rre grad vite hvordan luftmotstanden p?virker ferden nedover, samt hvordan landingssonden varmes opp etter hvert som vi suser inn i atmosf?ren. N? er det ikke lenge igjen til landing alts?!! Men hvor skal vi lande????

Kilde for jordas atmosf?retetthet og -temperatur:

Matmake (u.?.) Standard Atmosphere vs Altitude. Tilgjengelig fra: https://matmake.com/properties/standard-atmosphere.html

?