Tvillingparadokset blir bare villere og villere, men n? skal vi introdusere noen nye hendelser som kan hjelpe oss med ? gj?re ting klarere!
F?rst introduserer vi hendelsen D, som er at Peter i Beyond hopper ombord heisen som skal ta ham til Homey. Dette skjer ved \(t_D=t''_D=0\) i b?de planetens og Peters referansesystem. Husk at Beyond befinner seg dobbelt s? langt unna Homey som Destiny, s? \(x_D=2L_0\). Her er \(L_0\) avstanden mellom Homey og Destiny i planetenes referansesystem. For Peter skjer D akkurat der han er, s? \(x''_D=0\).
Vi introduserer enda en hendelse, B'', og her m? vi holde tunga rett i munn! Vi er i Peters referansesystem og han har nettopp ankommet Destiny. Samtidig som dette, sett i Peters referansesystem, er det en astronaut som befinner seg ved Homey og sier ifra til Homeys beboere at Peter har ankommet Destiny. Denne astronauten sjekker s? hva ?ret p? Homey er.
Her kan vi bruke invarians av romtidsintervallet for ? komme frem til et tidspunkt for B i det dobbeltmerkede referansesystemet til Peter. Da finner vi at \(t''_B=\frac{L_0}{\gamma v}\), hvor \(L_0\) er avstanden mellom Homey og Destiny i planetenes referansesystem og \(v\) er farten til Peter relativt til planetene. Dette kom vi fram til ved ? definere:
- \(\Delta x_{BD}=L_0\), ? \(\Delta t_{BD}=\frac{L_0}{v}\)
Merk at \(\Delta t_{BD}=\frac{L_0}{v}\) kommer fra vei, fart, tid: \(t = \frac{s}{v}\). I planetenes referansesystem beveger Peter seg alts? en strekning \(L_0\) med en fart \(v\) fra Beyond til Destiny.
Videre kunne vi si at \(\Delta x''_{BD}=0\) fordi hendelse B og D skjer akkurat der hvor Peter er, og i det dobbeltmerkede systemet er jo Peter alltid i origo. Videre har vi at \(\Delta t''_{BD}=t''_B-t''_D=t''_B\). Dette f?r vi fordi vi har satt \(t''_D=0\). Vi setter opp at romtidsintervallet for de to referansesystemene er like og l?ser for \(t''_B\):
\(\Delta s^2_{BD} = \Delta s''^2_{BD}\)
\(\Delta t^2_{BD}-\Delta x^2_{BD}=\Delta t''^2_{BD}-\Delta x''^2_{BD}\)
Som gir at \(t''_B=\frac{L_0}{\gamma v}\). Da ser vi at \(t''_B=t'_B\)! Hva betyr det? Jo, det merkede referansesystemet er referansesystemet til Lisa, s? her ser vi at Peter og Lisa bruker like lang tid fra event A og D til event B sett fra deres egne referansesystemer. Dette kan vi intuitivt forst?: Det er like stor avstand fra Homey til Destiny, som fra Beyond til Destiny, og de reiser med like stor og konstant fart. Det er et viktig poeng her at de IKKE akselerer. Med én gang enten Lisa eller Peter akselerer, bytter de referansesystem og rare ting skjer...
Ok, s? vi har funnet ut at tiden i Peters referansesystem n?r han ankommer Destiny tilsvarer tiden i Lisas referansesystem n?r hun ankommer Destiny. De teller p? klokkene sine at det har g?tt 28.5 ?r. Hva med Homey n? da? Hvor lang tid vil en Homey-beboer si at Peter bruker p? ? n? Destiny?
For ? komme til bunns i dette, unders?ker vi hendelse B'' n?rmere. Hvis vi klarer ? finne \(t_{B''}\), har vi faktisk funnet hvilken tid Peter mener at klokka p? Homey viser i det ?yeblikket han ankommer Destiny. Skj?nner dere hvorfor? Husk hvordan vi har definert B''. B'' er at en astronaut ved Homey i Peters referansesystem sjekker hva datoen p? Homey er i det ?yeblikket Peter passerer Destiny. \(t_{B''}\) gir oss derfor tiden p? Homey i det ?yeblikket Peter mener at han har ankommet Destiny. For ? komme frem til denne tiden setter vi opp nok en gang at romtidsintervallet er invariant, alts? at avstanden i romtid mellom to hendelser sett fra to ulike referansesystemer er lik:
\(\Delta s^2_{DB''} = \Delta s''^2_{DB''}\)
\(\Delta t^2_{DB''}-\Delta x^2_{DB''}=\Delta t''^2_{DB''}-\Delta x''^2_{DB''}\)
Her er det noen ledd vi m? definere!?
- \(\Delta t_{DB''}=t_{B''}\)
Vi har at \(t_D=0\), s? \(\Delta t_{DB''}=t_{B''}-t_D=t_{B''}\)
- \(\Delta x_{DB''}=2L_0\)
Vi har at \(x_D=2L_0\), og at \(x_{B''}=0\). Husk at hendelse D, sett fra Homey, befinner seg ved Beyond i en avstand \(2L_0\) fra Homey! \(x_{B''}\) befinner seg ved Homey, s? her er avstanden bare null: \(\Delta x_{DB''}=x_D - x_{B''}=x_D=2L_0\)
- \(\Delta x''_{DB''}=\frac{L_0}{\gamma v}\)
Denne er kanskje den rareste! Her er vi i Peters referansesystem, s? \(x''_D=0\). N?r hendelse B'' skjer, befinner Peter seg ved Destiny. Da ligger Homey en avstand p? \(\frac{L_0}{\gamma}\) unna ham! Dette f?lger bare formelen for lengdekontraksjon; Peter ser ikke hvilelengden \(L_0\) mellom planetene, slik som planetene gj?r, men faktisk en forkortet avstand siden han beveger seg s? fort! I Peters referansesystem er origo i bevegelse, som betyr at avstander alltid skal m?les ut ifra hvor Peter befinner seg ved tidspunktet for hendelsen! Da f?r vi at ?\(\Delta x''_{DB''}= x''_{B''}-x''_D=\frac{L_0}{\gamma v}\).
- \(\Delta t''_{DB''}=\frac{L_0}{\gamma v}\)
Dette kommer fra det vi konkluderte med i stad, nemlig at \(t''_B=t'_B\). Her m? vi igjen huske p? hvordan hendelse B'' er definert: I Peters referansesystem skjer det samtidig som at han ankommer Destiny. Alts?: \(t''_B=t''_B=\frac{L_0}{\gamma v}\). Dette fant vi i stad!
Vi l?ser dette for den eneste ukjente, nemlig \(t_{B''}\), og f?r at \(t_{B''}=400\) ?r!! Astronauten ved Homey i Peters referansesystem ser alts? at klokka p? Homey viser 400 ?r i det ?yeblikket Peter mener han har ankommet Destiny!!! HVAAAAA??
Her m? vi ta et skritt tilbake og se hva p? vi faktisk har gjort. Hvordan var hendelse B definert igjen? Jo, den er definert som at Lisa ankommer Destiny, og hopper fra sitt eget romskip over til Peters romskip for ? komme seg hjem til Homey igjen. Og det er her det skjer noe ordentlig rart... Husk at vi i spesiell relativitet alltid ser p? objekter som beveger seg med konstant fart. Det gjelder ikke for akselerte systemer! Lisa kan derimot ikke ha beveget seg med konstant fart hele tiden! Hun har f?rst en fart p? 0.99 p? vei vekk fra Homey, og plutselig har hun en fart p? -0.99 p? vei mot Homey igjen! Hun har dermed akselerert enormt og byttet referansesystem! Da skjer det ordentlig rare ting med tiden. F?rst sa jo Lisa at det hadde g?tt 4 ?r p? Homey da hun ankom Destiny. N?r hun hopper over til Peters romskip skrus imidlertid tiden p? Homey fra 4 ?r til 400 ?r! Hun bruker alts? 394 ?r sett fra Homey p? ? bytte referansesystem til Peters referansesystem. Det er med andre ord en asymmetri her: Planeten akselerer ikke, men Lisa akselererer! Da kan vi faktisk ikke bare bytte referansesystemer og f? konsistene resultater. Vi bryter med premissene for spesiell relativitet! ?
I tvillingparadokset har vi alts? sett p? en astronaut Lisa som reiser fra hjemplaneten Homey til Destiny med stor fart, 99 prosent av lysfarten faktisk! Det er 200 lys?r mellom planetene, s? p? Homey sier de at hun brukt 202 ?r p? ferden sin. Lisa sier derimot at hun kun har brukt 28.5 ?r p? ferden bort til Destiny! N?r Lisa ankommer Destiny hopper hun over til et romskip som g?r med like stor og motsatt rettet fart som romskipet hennes og reiser tilbake til Homey igjen. Da konkluderte vi med at Lisa teller at rundturen tar 57 ?r, mens det p? Homey har g?tt 404 ?r.
Hvis vi bytter referansesystem, og heller sier at Lisa er i ro og planetene beveger seg, ser Lisa fortsatt at planetene bruker 28.5 ?r p? ? forflytte seg mellom henne, men n? sier hun at turen én retning kun tar 4 ?r p? Homey! Ved ? bytte referansesystemer har vi alts? f?tt helt vidt forskjellige tall for hvor lang tid reisen tar i de to referansesystemene.
For ? n?ste opp i alt dette introduserer vi en tredje observat?r; Peter. Han starter i Beyond som ligger 400 lys?r unna Homey, og reiser med konstant fart fra Beyond til Destiny. Han har like stor fart som Lisa. Derfor ankommer Peter og Lisa Destiny samtidig sett fra hverandres referansesystemer, og Lisa hopper over til Peters romskip for ? reise hjem igjen. Samtidig som at Lisa hopper over, er det en astronaut i deres referansesystem som befinner seg ved Homey og sjekker hva tiden er. Hun ser da at det har g?tt 400 ?r p? Homey fra da Lisa dro! Det betyr at Homey-klokkene hopper fra 4 ?r til 400 ?r i Lisas nye referansesystem! Det er her l?sningen p? tvillingparadokset ?penbarer seg. Lisa m?tte akselerere for ? bytte referansesystem, og da kan vi ikke lenger beskrive henne med et enkelt inertialsystem som vi er vant med i spesiell relativitet. Vi f?r en asymmetri mellom referansesystemet til Homey, som ikke p?virkes av krefter, og referansesystemet til Lisa, som n? p?virkes av krefter. Da g?r det ikke lenger an ? bytte referansesystem uten at det f?r konsekvenser!?
Sett fra Lisas perspektiv har det g?tt 28.5 ?r n?r hun hopper over til Peters romskip, og ved symmetri tar det 28.5 ?r ? fly tilbake igjen til Homey. Hun opplever alts? at hele rundturen tar 57 ?r, som vi konkluderte med til ? begynne med. Vi fant videre at klokkene p? Homey hopper fra 4 ?r til 400 ?r n?r hun bytter referansesystem og begynner turen hjem til Homey. Sett fra Lisas referansesystem g?r det fortsatt 4 ?r p? Homey-klokkene n?r hun reiser én strekning Destiny-Homey, som totalt gir at Lisa teller at det g?r 404 ?r p? Homey-klokkene i l?pet av hele reisen. N?r Lisa lander p? Homey igjen, kan dermed alle faktisk v?re enige om at det har g?tt 404 ?r p? Homey! Lisa har derimott bare blitt 57 ?r eldre, og det er rett og slett fordelen med relativistisk fart: Tiden g?r saktere for deg relativt til de som er i ro i forhold til deg! Hvis du har store dr?mmer om ? reise frem i tid m? du alts? kjappe deg og ringe Lisa for ? pr?ve romskipet hennes!!
?
Logg inn for ? kommentere