Dette er helt sykt, folkens! For en finale p? utforskingen av spesiell relativitet. To forskere her p? Armando har arrangert en kontrollert romskip-kr?sj! Ikke nok med det, det er faktisk to av de beste romskipene p? Armando... For ? virkelig teste spesiell relativitet var det n?dvendig at romskipene beveget seg med hastigheter opp mot lyshastigheten, og det var bare disse to som kunne fly s? fort! S? hva er det de gj?r egentlig?
Oppsettet er slik: To romskip, romskip A og romskip B, flyr mot hverandre med fart oppimot lysfarten og kolliderer! Romskip A beveger seg mot h?yre sett fra planeten og romskip B g?r mot venstre sett fra planeten.
Her har vi to observat?rer. Den ene er i planetreferansesystemet, det vil si oss som st?r i ro p? planeten og ser dette utfolde seg. Den andre observat?ren beveger seg rett bak romskipet som g?r mot h?yre (romskip A) med samme fart som skip A. Denne observat?ren er i samme referansesystem som romskip A.
De g?rne forskerne har fortalt oss at de forventer at vi p? planeten kommer til ? at se at lyset fra eksplosjonen f?r en annen farge enn det observat?ren rett bak skip A ser! Dette h?res helt spr?tt ut, men vi er med! La oss forklare oppsettet litt bedre.
Det ene romskipet er faktisk litt spesielt, for det best?r kun av antimaterie... Antimaterie best?r av antipartikler, og antipartikler er p? en m?te de litt mystiske s?sknene til element?rpartiklene. Element?rpartiklene er kanskje ogs? litt ukjente for de fleste av dere lesere, men det er i hvert fall det som all materie er bygget opp av. Protoner og n?ytroner best?r av element?rpartikler, og elektronet er faktisk en element?rpartikkel selv. Til hver element?rpartikkel finnes det en antipartikkel, og heldigvis for oss er det en tilsynelatende asymmetri i fordelingen av antipartikler og element?rpartikler i universet. Vi observerer rett og slett mer materie enn antimaterie i universet, og godt er det! N?r materie og antimaterie m?ter hverandre, annihilerer de og frigj?r energi! Denne energien er prim?rt i form av h?y-energetiske fotoner. Takket v?re asymmetrien i universet kan alts? vi eksistere, og ikke med en gang annihilere til h?y-energetiske fotoner!
Ok, s? n?r materie-romskipet kr?sjer med antimaterie-romskipet skjer det en stor annihilering av materie-antimaterie par og det frigj?res maaaange fotoner. Vi antar her at alle fotonene som str?ler ut fra kollisjonen har samme b?lgelengde. Husker dere bevegelsesmengde-firervektoren fra forrige innlegg? Fra n? kaller vi den moment-energi-firervektoren for ? vise at den b?de inneholder momentet (bevegelsesmengden) og energien til et legeme. F?rst pr?ver vi ? komme fram til et uttrykk for moment-energi-firervektoren til et foton!
Vi husker at moment-energi-firervektoren for vanlig materie er definert som?
\(P_\mu=\gamma m(1, v_x, 0, 0)\)
Hvor \(\gamma=\frac{1}{1-v^2_x}\) er Lorentz-faktoren for legemet med hastigheten \(v_x\) i forhold til et referansesystem. Her ser vi kun p? én-dimensjonal bevegelse (romskipene kj?rer langs en rett linje i x-retning), s? y- og z- komponentene av hastigheten er null.
Dette uttrykket gjelder for vanlig materie som har masse. Men fotoner har jo ikke masse! Hva skal vi gj?re da? Hmmm... Vi ser litt n?rmere p? moment-energi-firervektoren:
\(P_\mu=\gamma m(1, v_x, 0,0)\)
Vi vet at tidskomponenten er den relativistiske energien til legemet, og den romlige komponenten er den relativistiske bevegelsesmengden:
\(P_\mu=(E, \vec{p})\).
Hva blir lengden til denne vektoren? Fra matematikken vet vi at lengden til en vektor er roten av vektoren prikket med seg selv. Hvis \(\vec{v}\) er en vektor, er lengden til \(\vec{v}\) gitt ved:
\(|\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}}\)
I Euklidsk geometri er vi vant med at prikkproduktet til \(\vec{v}=(t, x)\) er gitt ved:
\(\vec{v}\cdot \vec{v} = t^2+x^2 \)
Men i spesiell relativitet har ikke romtid Euklidsk geometri - det har Lorentzgeometri!! Da blir prikkproduktet bittelitt annerledes!
\(\vec{v}\cdot \vec{v} = t^2 - x^2\)
Vi m? alts? bruke denne formelen for ? finne prikkproduktet til \(P_\mu\). Da m? vi kjapt introdusere litt ny notasjon! Husker dere Einsteins summekonvensjon fra forrige innlegg? Den sa at n?r to faktorer i et uttrykk inneholder samme indeks, skal vi summere over denne indeksen. For ? unng? uklarheter lagde man derfor en ny definisjon av prikkproduktet. I stedet for ? skrive en prikk mellom vektorene endrer vi bare p? hvordan vi plasserer indeksene!
En vanlig sum over indeksene er alts?:
\(P_\mu P_\mu=E^2+p^2\)
Men n?r vi vil finne skalarproduktet av \(P_\mu\) med \(P_\mu\) m? vi heve den ene indeksen!
\(P^{\mu}P_\mu=E^2-p^2\)
S? n?r den ene indeksen er hevet og den andre indeksen er senket betyr det at dette er skalarproduktet, og ikke en vanlig sum! Da dukker minustegnet opp. Her har vi alts? funnet én verdi for skalarproduktet til \(P_\mu\). Vi kan faktisk finne en annen verdi for skalarproduktet! Husker dere at moment-energi-firervektoren kan skrives slik?
\(P_\mu = m V_\mu \)
Hvor \(V_\mu\) er hastighets-firervektoren. Da kan skalarproduktet \(P^{\mu}P_\mu\) ogs? skrives som:
\(P^{\mu}P_\mu=m^2 V^\mu V_\mu\)
Dette er faktisk veldig nyttig, for skalarproduktet til \(V_\mu\) har en overraskende, og veldig nyttig egenskap! Vi husker at \(V_\mu\) for fart i x-retning er definert som:
\(V_\mu = \gamma (1, v_x, 0, 0)\)
Hvor \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2_x}}\) er Lorentz-faktoren. Skalarproduktet til hastighets-firervektoren er gitt som:
\(V^\mu V_\mu = \gamma^2(1-v^2_x)=\frac{1}{1-v^2_x}(1-v^2_x)=1\)
Men hva i huleste........ Ser dere hva vi har f?tt her?? Her st?r det at farten til partikkelen er 1, og det er ikke hvilken som helst fart! Vi har faktisk n? vist at alle partikler beveger seg i romtid med lysfarten... Det virker helt spr?tt, men er alts? en konsekvens av at romtid i spesiell relativitet har Lorentz-geometri. Dette f?r vi uansett bruk for n?! Bare se p? formelen for skalarproduktet til \(P_\mu\) med seg selv:
\(P^{\mu}P_\mu=m^2 V^\mu V_\mu\)
Vi viste nettopp at \(V^\mu V_\mu=1\), s? da f?r vi:
\(P^{\mu}P_\mu=m^2\)
N? har vi to uttrykk for \(P^{\mu}P_\mu\); det ene med hastighets-firervektoren og det andre med relativistisk energi og bevegelsesmengde. Vi setter uttrykkene lik hverandre:
\(P^{\mu}P_\mu=m^2\)
\(P^{\mu}P_\mu=E^2-p^2\)
\(E^2-p^2 = m^2\)
Hva var poenget med alt dette? Jo, vi skulle jo finne moment-energi-firervektoren til et foton! Problemet med fotoner er at de ikke har masse, men n? ser vi at det faktisk l?ser seg:
\(E^2-p^2 = m^2 \rightarrow E^2-p^2 = 0 \rightarrow E = p\)
Energien til et foton er lik bevegelsesmengden til fotonet!
Da kan vi skrive moment-firervektoren til et foton som g?r i positiv x-retning:
\(P^\gamma _\mu = (E, E, 0,0)\)
Hvor vi har satt inn at energien og bevegelsesmengden er like.
Vi anvender dette p? eksperimentet med romskipene! I virkeligheten str?ler det ut enormt mange fotoner fra eksplosjonen, men til ? begynne med sier vi at det bare str?ler ut to: ett foton i positiv x-retning og et foton i negativ x-retning. Vi kaller fotonet som g?r i positiv retning for foton \(a\), og fotonet i negativ x-retning for foton \(b\). Vi ser p? situasjonen fra planetens referansesystem. F?r kollisjonen har romskipene like stor og motsatt rettet fart. Bevegelsesmengden til romskip A som g?r mot h?yre er alts? like stor og med motsatt fortegn som bevegelsesmengden til romskip B som g?r mot venstre. Husk at romskipene har samme masse. Den totale bevegelsesmengden til systemet f?r kollisjon er alts? null. Ved bevaring av bevegelsesmengden skal ogs? den totale bevegelsesmengden til fotonene etter kollisjonen v?re null! Det betyr at de m? ha like store og motsatt rettede bevegelsesmengder:
\(p^\gamma_a = -p^\gamma_b\)
Siden energien til et foton tilsvarer bevegelsesmengden til fotonet, ser vi at energien til hvert foton m? v?re like stor! Husk at energi ikke har en retning, det er bare en skalar; det har alts? ingenting ? si hvilken vei fotonet g?r, energien er lik.
N? endrer vi litt p? situasjonen, og sier i stedet at fotonene beveger seg med en vinkel \(\theta\) i forhold til x-aksen sett fra planetens referansesystem etter kollisjonen. N? f?r hvert foton en bevegelsesmengde-komponent i b?de x- og y-retning!?
\(P^\gamma _\mu(a)=(E_a, E_a \cos(\theta), E_a \sin(\theta))\)
\(P^\gamma _\mu(b)=(E_b, -E_b \cos(\theta), -E_b \sin(\theta))\)
Merk fortegnsforskjellen! Fotonene beveger seg i motsatt retning, s? komponentene m? ogs? ha motsatt fortegn. Endrer vinkelen noe p? hvilken energi hvert foton f?r n?? Romskipene beveger seg fortsatt med samme fart f?r kollisjonen, s? den totale bevegelsesmengden til systemet skal v?re null b?de f?r og etter kollisjonen. Det betyr at x- og y-komponenten til bevegelsesmengden til hvert foton m? nulle hverandre ut! Da m? bevegelsesmengden til foton \(b\) nulle ut bevegelsesmengden til foton \(a\):
\(E_a \cos(\theta) - E_b \cos(\theta)=0\)
\(E_a \sin(\theta) - E_b \cos(\theta)=0\)
Siden vinklene er like, m? vi ha at komponentene er like store og peker i motsatt retning av hverandre. Det betyr at fotonene ogs? n? f?r samme energi:
\(E_a = E_b\)
Det hjelper ? se p? enklere situasjoner f?r man g?r ut og ser p? den ekte og mer komplekse situasjonen. I virkeligheten str?ler det nemlig ikke bare ut to fotoner, men milliarder p? milliarder p? milliarder fotoner! Det er s? mange fotoner at vi i praksis kan si at det for hvert foton finnes et annet foton som peker i stikk motsatt retning. Husk at vi her gj?r den antakelsen om at alle fotoner f?r den samme energien. Ser dere hvilken vei dette g?r? Totalt f?r vi dermed at den totale bevegelsesmengden til alle fotoner blir null, akkurat som vi vil: Bevegelsesmengden er null f?r kollisjonen, og er fortsatt null etter kollisjonen!?
Ved ? bruke antakelsen om at alle fotoner str?les ut med samme b?lgelengde kan vi faktisk finne fargen til eksplosjonen sett fra planetens referansesystem! Vi vet nemlig hvor mange fotoner som slippes ut under kollisjonen, og kan bruke bevaring av relativistisk energi til ? finne energien til ett foton. Energien f?r skal v?re lik energien etter, hvor energien f?r er summen av energien til hvert romskip:
\(E_{f?r}=2\gamma_A m\)
Hvor vi har brukt at begge romskip har samme Lorentz-faktor \(\gamma_A\) siden de har fart med samme st?rrelse, og at de har samme masse \(m\). Vi deler denne energien p? antall fotoner i kollisjonen for ? finne energien til ett foton. Da f?r vi at fotonene har b?lgelengde?
\(\lambda_\gamma \approx 628 \mathrm{nm}\)
Dette tilsvarer r?dt lys! Hvordan ser det ut for oss p? planeten da? Vi gj?r eksperimentet!
%20Spesiell%20relativitet/rodt_lys_kollisjon.png)
Vi beregnet riktig!! Den relativistiske energien er bevart og fotonene f?r b?lgelengde som tilsvarer r?dt lys!!
Dette scenarioet med de kolliderende romskipene likner faktisk veldig p? noe som skjer i naturen, nemlig at et elektron kolliderer med sin antipartikkel-bror positronet, og annihilerer. Hvis vi har at partiklene g?r mot hverandre med samme fart langs x-aksen, vil vi f? at det etter kollisjonen dannes et foton som g?r i positiv x-retning og et foton i negativ x-retning. Da hadde det v?rt interessant ? se p? energien til dette fotonet sett fra referansesystemet til romskip A (som n? egentlig er elektronet)!
Tidligere i dette innlegget fant vi moment-energi-firervektoren til et foton som g?r i positiv x-retning i referansesystemet til planetobservat?ren:
\(P^\gamma _\mu = (E, E, 0,0)\)
Siden vi har med firervektorer ? gj?re, vet vi at disse transformeres fra ett referansesystem til et annet ved Lorentz-transformasjon. Vi kan alts? skrive \(P'^\gamma _\mu\) i referansesystemet til romskip A som:
\(P'^\gamma _\mu = c_{\mu \nu}P^\gamma _\mu\)
Da f?r vi:
%20Spesiell%20relativitet/energi_merket.jpg)
Merk at vi n? definerer farten til romskip A relativt til planet-systemet som \(v\). Dermed f?lger det at ogs? \(\gamma\) ikke har noen indeks.
Vi ser at energi-kompononenten i \(P'^\gamma _\mu\) er:
\(E'=\gamma E(1-v)\)
Dette gjelder alts? for fotoner som g?r i positiv x-retning sett fra planetens referansesystem etter kollisjonen.
Ved tilsvarende metode f?r vi at:
\(E'=\gamma E(1+v)\)
For fotoner som g?r i negativ x-retning sett fra planetens referansesystem etter kollisjonen.
Endringen i fortegn kommer av at impuls-komponenten til firervektoren har motsatt fortegn avhengig av hvilken retning fotonet g?r i. Det ser vi tydelig fra Lorentz-transformasjonen, som blander energi- og bevegelsesmengde-komponentene. Her ser vi alts? at det er en tett relasjon mellom bevegelsesmengde og energi!?
Totalt f?r vi alts? at:
\(E'=\gamma E(1 \pm v)\)
Hvor plusstegnet gjelder for fotoner som g?r i negativ x-retning sett fra planetsystemet og minustegnet for fotoner som g?r i positiv x-retning sett fra planetsystemet. Dette uttykket for energien kan vi bruke for ? finnet en formel for hvordan lyset fra eksplosjonen Doppler-forskyves i forhold til observat?ren i referansesystemet til skip A. Vi tenker oss at denne observat?ren kun klarer ? observere fotoner som g?r i negativ x-retning, alts? mot ham. Fotononene som g?r i positiv x-retning klarer han jo ikke ? se, for de g?r vekk fra ham. Ved ? ta utgangspunkt i uttrykket for energien til et foton, kunne vi komme frem til et uttrykk for relativistisk Doppler-forskyving, som ga oss at denne observat?ren ser eksplosjonen som bl?! Kan dette stemme da?
%20Spesiell%20relativitet/blatt_lys_kollisjon.png)
Eksplosjonen blir bl?, sett fra referansesystemet til skip A! Antakelsen v?r stemte!?
Stilig, da l?rte vi faktisk noe fra disse g?rne forskerne. De viste oss hvordan man kan bruke bevaring av relativistisk energi og bevegelsesmengde til ? kunne si noe om energien og retningen til fotonene som utstr?les fra en materie-antimaterie-eksplosjon. Videre fikk vi teste ut Lorentz-transformasjon av firervektorer fra ett referansesystem til et annet, som ga oss et nyttig resultat! Vi kom fram til et uttrykk for energien til et foton sett i referansesystemet til skip A, som igjen kunne gi oss en formel for relativistisk Doppler-forskyving. Med denne formelen forutsa vi at observat?ren i referansesystemet til skip A observerer eksplosjonen som bl?, hvilket stemte!
Da har vi faktisk kommet ved veis ende av eksperimentene v?re om spesiell relativitiet. For en reise det har v?rt!?
?
Logg inn for ? kommentere