Hvor mange meter gammel er vi??

Hallo venner?!

Vi er ikke helt ferdige med ''Cosmic Pingpong'' enda! N? skal vi nemmelig gj?re noen spr?e greier! Dette har vi gledet oss mye til. La oss begynne!

Det f?rste vi gjorde var ? regne ut tidene og posisjonene til alle de ulike eventene vi har i 'Cosmic Pingpong'. Dette gj?r vi for ? v?re helt sikre p? at det vi ressonerte oss frem til i forrige bloggpost faktisk stemmer. Da vi regnet disse verdiene regnet vi alle avstander i tid! Ja, i tid. For ? m?le en avstand i tid trenger man bare ? m?le avstanden i kilometer, meter, mil eller hva man f?ler for, og s? deler man p? lysets hastighet for ? finne hva avstanden er i tid! Er ikke det sykt?! Man m? bare passe p? at st?rrelsesorden for avstanden og lysetshastighet er lik, for eksempel m?ler man i km s? m? lysets hastighet ha enhet km/s.?

Dette kan vi gj?re fordi, som vi vet, s? er lysets hastighet konstant i alle referansesystemer! Alts? at avstanden lys beveger seg per tid er konstant. S? det vi egentlig m?ler er hvor lang tid lyset bruker p? den avstanden vi m?ler, og da f?r vi avstanden i en tidsenhet. For eksempel hvis vi skal m?le hvor lang tid lyset bruker p? 300 000 km s? vil jo det v?re 1 sekund, siden lyset beveger seg med lysets hastighet som er 300 000 km/s, s? det vil si at lyset har beveget seg en avstand p? ett sekund. Man kan ogs? bruke denne omgj?ringen for objekter som ikke beveger seg med lysets hastighet. Hvis vi ser p? en lastebil som kj?rer langtransport for eksempel, s? kan vi si at den har kj?rt en strekning p? 800 km. N? kan vi finne ut hvor langt han har kj?rt i tid! Husk at vi ikke skal finne ut hvor lang tid den bruke, men hvor langt den kj?rte i sekunder. Vi finner da ut ved ? ta 800 km / 300 000 km/s at den kj?rte en avstand p? 0.0026 s.

Vi kan ogs? bruke denne omgj?ringen for ? m?le tid i avstander. Det er s? enkelt som at man bare snur om p? formelen slik at man i stedet for ? dele avstanden p? lysets hastighet, s? ganger man tiden med lysets hastighet. Fra n? av skal vi m?le b?de tiden og avstanden i tid. Dette er slik at de utregningene for formlene vi snart skal bruke blir enklere, og faktisk g?r opp.?

La oss n? se hvordan posisjonene og tidene til de ulike hendelsene i ''Cosmic Pingpong'' ble. Vi har da separert de i tidene i rakettsystemet, og tidene i romskipsystemet. Verdiene med '' - '' er de verdiene vi ikke kan m?le slik spillet v?rt er satt opp, disse verdiene m? vi da regne ut. Merk ogs? at alle avstander er omgjort til ? m?les i sekunder. Slik ble verdiene

Hendelsene sett fra rakettsystemet

Hendelsene sett fra romstasjonsystemet

Merk her at vi har utrykt posisjonen til hendelse D i romstasjonssystemet med en formel i stedet for verdi. Det er fordi vi vet at denne posisjonen m? v?re lik hastigheten til raketten gange tiden det tar for raketten ? komme seg i den posisjonen, det er jo bare strekning er lik hastighet gange tid. N?r det gjelder de andre verdiene s? m? vi regne disse ut. Vi vet jo at fra rakettsystemet fikk vi gitt alle tidene. Men i romstasjonssystemet s? ser vi at det er litt verre. Her f?r vi kun de verdiene vi allerede egentlig vet. Fordi vi vet jo at i romstasjossystemet s? skjer hendelse A p? x=0, t=0. Og vi vet at siden vi er i romstasjonens referansesystem s? vil den alltid v?re i origo i sitt system, og da m? jo posisjonen til hendelse C alltid v?re null i romstasjossystemet.?

For ? finne de andre verdiene skal vi bruke noe som kalles romtidsintervaller. Vi vet jo allerede hva romtid er, rom og tid som en sammensmeltet enhet, s? da klarer vi kanskje ? tenke oss til hva romtidsintervaller er. Jo, det er s? enkelt som tiden fra en hendelse i tidrommet til en annen heldelse i tidrommet. Siden tidrommet best?r av b?de posisjonen og tiden, trenger tidromsintervallet ogs? ? vite b?de posisjonen og tiden. Formelen for tidromstinervaller ser slik ut

Her er delta s tidromsintervallet, vi bruker bokstaven s fordi det egentlig heter spacetimeintervals, men der vi kommer fra p? Primara s? kaller vi det tidromsintervaller. Videre er delta t tiden fra hendelse 1 til hendelse 2, og delta x er avstanden fra hendelse 1 til hendelse 2. N? ser vi tydelig hvorfor vi omgj?r avstanden til tid. Hadde vi beholdt verdiene v?re ville vi ikke ha kunnet regnet ut tidromsintervallet. N? er det veldig viktig at vi ikke blander disse tidromsintervallene med vanlige intervaller. For det vi egentlig er ute etter p? niv? 4 i ''Cosmic Pingpong'' er tidsintervallet mellom hendelsene, slik at vi kan finne ut hvilken rekkef?lge de skjedde i. Mest da hvilken av hendelsene B og C som skjedde f?rst. La oss n? finne de ukjente verdiene ved hjelp av tidromsintervaller. Det som skal hjelpe oss i denne situasjonen er at tidromsintervaller er invariante. Det vil si at de tidromsintervallene vi m?ler i romstasjonssystemet vil v?re akkurat de samme som vi m?ler i rakettsystemet. Set betyr at vi kan sette de lik hverandre slik

N?r man skal bruke denne formelen s? er det viktig at man bruker intervallene mellom de samme hendelsene i begge systemer, hvis ikke blir alt bare helt feil! La oss n? bruke dette til ? finne de ukjente tidene og posisjonene. Vi skal ikke regne ut alle her, men vi skal ta et eksempel. Vi skal da regne ut tidromsintervallene ?s_AB, i romstasjonssystemet, og ?s_AB', i rakettsystemet, mellom hendelse A og B. Vi begynner med ?s_AB'. Det f?rste vi gj?r da er ? skrive opp tidromsintervallet fra hendelse A til hendelse B, i hvert system slik

Romstasjonssystemet

Rakettsystemet

Her har vi brukt og gjort om p? formelen vi fant i ste slik

Dette gj?r vi fordi vi mener det er mer oversiktlig ? se hvilke verdier som tilh?rer hvilke referansesystemer. S? satte vi ??s_AB og ??s_AB' lik hverandre og fikk dette utrykket

S? utvidet vi det utrykket slik at vi kunne sette inn verdiene direkte slik

S? satt vi inn de verdiene vi visste hva var, siden de fleste av verdiene i dette tilfellet er null, ble det et ganske enkelt utrykk. Slik ble da resten av utregningen

Her ser vi at vi endte opp med et utrykk for t_B og x_B. Og og det gir jo veldig mening at disse er lik hverandre. Vi ser jo p? bevegelsen til en laser, alts? bevegelsen til lys, og avstanden lyset skal bevege seg over vil jo m?les i tid. Og da n?r vi skal m?le den avstanden lyset beveger seg i tid , blir jo det den samme tiden som lyset vil bruke p? avstanden. Alts? er avstanden i tid fra A til B den samme som tiden fra A til B, siden vi starter t= 0 og x=0 i A og vi ser p? bevegelsen til lys fra A. Hadde vi visst en av disse variablene ville vi ha f?tt en verdi i stedet. Men dette utrykket vil viste seg ? v?re like l?nnsomt i de andre utregningene p? niv? 4. Som sakt skal vi ikke vise de resterende beregningene her, men alle er gjort p? akkurat denne m?ten, bare at vi har byttet ut hvilke eventer vi ser p?. Verdiene vi endte opp med ? finne var da disse

Her ser vi at vi endte opp med lik verdi for t_B og x_B, slik vi beregnet i ste. N? har vi alle variablene vi trenger for ? finne tiden mellom de ulike hendelsene. Vi vet jo allerede rekkef?lgen p? alle hendelsene i rakettsystemet. Vi vet at f?rst skjer hendelse A, s? skjer hendelse B og C samtidig, og s? skjer hendelse D til slutt. I romstasjossystemet s? vet vi at B og C ikke skjer samtidig, og da tenkte vi oss frem til at B skjer f?r C. Hvis vi n? ser p? de verdiene vi regnet ut for t_B og t_C s? ser vi at t_B = 0.3937 ms og t_C = 1.007 ms. Det vil si at t_B < t_C, som betyr at event B skjer f?r event C. YAYY! Vi tenkte riktig!! Det var siste niv? p? dette spillet, og vi rundet hele greia lett!?

Relativitetsteori er beinhardt, men disse utrolige spillene gj?r det virkelig til en lek! Vi h?per dere synes dette er like spennende som det vi gj?r! Gjerne legg igjen en kommentar og gi oss deres tilbakemelding! S? ses vi neste gang!!

Pax?