Hallo venner?!
N? har vi kommet til det spillet som kanskje er mest forvirrende av dem alle! Her kreves det enorm konsentrasjon, og gode visualiseringsegenskaper! Vi skal nemmelig se p? tvillingparadokset! Kort forklart handler det om at en tvilling kan dra p? romreise, komme tilbake og s? v?re yngre enn den tvillingen som ble igjen! Spr?tt eller hva? Dette skal vi n? g? i mer detalj p? hvordan faktisk skjer i spillet ''Paradox Freestyle''.
I dette spillet fikk vi ikke se hvordan det ser ut f?rst, men vi fikk lese situasjonen! Det startet med en astronaut som heter Cole, som skal reise fra sin hjemplanet, Homey der tvillingen hans Dylan er igjen, til en annen planet, Destiny. Disse planetene ligger 200 lys?r unna hverandre, og de beveger seg ikke i forhold til hverandre. Slik ser det ut??
Da vet vi jo at de er i samme referansesystem vi som har blitt eksperter p? slikt! Det er da planetsystemet, som vil f? koordinater uten merke, (x, t). Cole reiser med raketten sin, Arwin, med en hastighet p? 0.99c. Alts? veldig n?rme lysets hastighet. Siden Cole beveger seg i forhold til planetene s? vil dette v?re v?rt andre referansesystem, rakettsystemet med koordinater (x', t'). Rakettsystemet vil f? de merkede koordinatene. I planetsystemet s? er det Homey som er i origo, Destiny er 200 lys?r unna i positiv x-retning, mens i rakettsystemet er det Cole som er i origo. Vi f?r ogs? vite at vi har to eventer som skjer p? denne reisen. Det f?rste eventet er n?r Cole reiser fra Homey. Alts? at Homey og Cole er p? samme sted til samme tid, x=x'=0, og t=t'=0., vi kaller det hendelse A
Hendelse B er n?r Cole ankommer Destiny
Det f?rste vi skulle gj?re var ? regne ut hvor lang tid Cole brukte fra Homey til Destiny. Det fant vi ut, ved ? bruke t=s/v, at var 404 ?r i planetsystemet, alts? for Homiene. S? brukte vi formelen for tidsdilatasjon
denne formelen kan brukes n?r man har referansesystem med konstant hastighet. Ved ? s? bruke denne formelen fant vi ut at Cole brukte 28.5 ?r p? ? reise fra Homey til Destiny i rakettsystemet. Vi fant ogs? ut at de brukte samme tid p? tur tilbake i sine respektive systemer. Slik at for de p? Homey tok reisen frem og tilbake 404 ?r, og for Dylan tok den 57 ?r. Vi puttet dette inn i spillet, og vi fikk riktig. Lett!
Det var niv? 1 av spillet, n? er vi videre til niv? 2! I niv? 2 skal vi flippe systemene. Alts? slik at det ikke lengre er Cole som skal bevege p? seg, men heller planetene. Slik at n? skal Cole v?re i ro, mens planetene beveger til og fra Cole. Det starter da med at Homey er i samme posisjon som Cole
s? beveger planetene seg mot venstre, slik at det er Destiny som ender opp foran Cole
N?r vi bytter om p? hvem som beveger seg, m? vi ogs? bytte om p? hvilke av systemene som har merket ' . Fordi vi vil ha det slik at det alltid er det systemet som er i bevegelse som har merket p? seg. Alts? blir det slik at planetsystemet n? er (x', t'), og Cole sitt system er (x, t).?
N? skal vi finne ut hvor lang tid planetene bruker p? ? komme seg dit de skal, alts? slik at Destiny ender opp ved Cole. Vi skal igjen da bruke tidsdilatasjon, og bruke det vi fant tidligere i rakettsystemet, at Cole brukte 28.5 ?r p? ? komme seg fra Homey til Destiny. Med dette fant ut at planetene bruker 4.02 ?r p? ? bevege seg. N?r de da skal tilbake til originalposisjonen, alts? at Homey skal v?re ved Cole igjen, vil de bruke like lang tid, 4.02 ?r, som betyr hat hele planetreisen tok 8.4 ?r totalt.?
Men n? har det skjedd noe rart her... I f?lge tallene v?re har vi funnet ut at n?r vi ser p? planetsystemet i ro, s? har Homiesene blitt 404 ?r eldre. Men hvis vi ser p? planetsystemet som det som beveger seg, s? blir Homiesene bare 8.4 ?r eldre. Kan dette virkelig stemme? Det er her navnet til spillet har noe ? si, alts? paradoks, fordi det er nemlig det dette er! Fra perspektivet til Homey s? aldres Homiesene 404 ?r, mens fra Cole sitt perspektiv aldres Homiesene bare 8.4 ?r. Beboerne p? Homey, alts? Homies, kan enten aldres 404 ?r eller 8.4 ?r, ikke begge deler!?
Det som har skjedd her er at vi har brukt formelen for tidsdilatasjon feil! ?nei!! N?r vi bruke formelen s? glemte vi ? tenke p? en veldig viktig ting! For ? bruke tidsdilatasjon m? man ha konstant hastighet. Det snakket vi jo nettopp om! Hvis vi husker tilbake til n?r vi snakket om referansesystem, s? sa vi ogs? at fysikkens lover gjelder likt i referansesystem med konstant hastighet. En veldig viktig ting vi har oversett er at n?r Cole kommer til Destiny og snur, s? m? han deakselerere, stoppe opp, og s? akselerere igjen for at han skal kunne snu, slik
Da har han ikke konstant hastighet lengre!! Og da kan vi ikke bruke tidsdilatasjon!! Det vil si at den verdien vi fikk faktisk ikke kan stemme! For ? l?se dette problemet p? riktig m?te kan man da bruke generell relativitet for eksempel, siden man har en akselerasjon. Vi puttet inn i spillet at det var et luresp?rsm?l, og da fikk vi riktig! YAY! Vi fikk ogs? vite at i l?pet av spillet skulle vi se hvordan vi faktisk skulle regne ut dette p? riktig m?te. Vi gleder oss!
Da er vi p? niv? 3!! N? skal vi legge en ny planet inn i miksen! N? skal vi nemlig ha tre planeter, Homey, Destiny, og Beyond! Beyond ligger 400 lys?r unna Homey. Vi skal ogs? legge inn en ny and i miksen. Nemlig Mary-Kate. Slik ser spillet v?rt ut n?
Her ser vi alle tre planetene i rekkef?lge. For ? gj?re dette niv?et mye lettere for oss, skal vi se p? veien mellom planetene som to ulike bagasjeb?nd. S? i stedet for ? reise med romskip s? vil Cole og Mary-Kate reise med disse bagasjeb?ndene. Det ene b?ndet g?r mot Beyond, mens det andre g?r mot Homey. Ingen av b?ndene bytter retning, de g?r bare konstant i samme retning hele tiden. Slik ser det ut
Her er det gr?nne b?ndet det som g?r fra Homey til Beyond, og det r?de er det som g?r motsatt vei. N? har vi ogs? noen nye hendelser som vi skal se p?. Hendelse A er at Cole hopper p? b?ndet fra Homey p? vei mot Beyond
Hendelse B er Cole kommer frem p? Destiny. N?r Cole kommer frem p? Destiny s? tar han sats, hopper over planeten Destiny, og lander p? den andre siden p? b?ndet p? tur tilbake mot Homey
Vi har ogs? en hendelse B'. Legg merke til at dette er merket, og ikke to hendelser B. Hendelse B' er at samtidig som Cole hopper p? det r?de b?ndet p? tur tilbake, s? er Mary-Kate rett ved Homey. Det Mary-Kate gj?r n?r hun er ved Homey er at hun ser p? klokkene p? Homey og sender ut et lyssignal som Homiesene kan observere. Vi vet ogs? at klokkene til Cole og Mary-Kate er synkrone, dom betyr at de m? v?re i samme referansesystem, som igjen betyr at de m? v?re i samme heis, slik
I samme ?yeblikk skjer dette
Det f?rste vi skal se p? er hva klokkene p? Homey viser n?r Cole kommer seg til Destiny. Siden vi da skal se p? klokkene p? Homey s? betyr det at vi ser p? Cole fra planetsystemet. Det vil da si at vi er i ro, slik at vi da kan bruke enkle formler. Vi vet jo allerede hvor langt unna Destiny er fra Homey, og vi vet ogs? hvor raskt heisen Cole kj?rer drar. Da kan vi bare putte dette inn i formelen som vi alle kan for ? finne tiden. Vi bruker da alts? t=s/v, og vi vet da at strekningen kan skrives som L0, og for n? s? trenger vi ikke ? bruke tall. Vi holder oss da til ? si at Cole ankommer Destiny, alts? event B fra planetsystemet, n?r t=L0/v.
N? skal vi finne akkurat ut hvilken tid dette er for Cole! For n? vet vi jo formelen for hvilken tid Homiesene opplever, men hvilken tid vil da Cole oppleve? For ? finne ut dette skal vi bruke Lorentztransformasjon. Det har vi jo snakket om f?r, s? det kan vi, men la oss ta en liten oppfriskning like vel. Vi skal bruke formelen for lengdekontraksjon, den kan vi jo
Grunnen til at vi skal bruke denne er fordi vi vil finne t=s/v for Cole. Og siden Cole er i et system som beveger seg s? vet vi jo at da vil strekningen han beveger seg v?re lengdekontrahert. S? for ? finne denne lengden m? vi jo gj?re det slik. Ved ? da bruke denne formelen finner vi ut at lengden Cole har beveget seg i sitt system er 28.2 lys?r. Og for ? da finne tiden han m?lte p? klokka si da han ankom Destiny, s? bruker vi igjen den gode gamle t=s/v, og vi fikk da at tiden Cole m?lte p? sin klokke var 28.5 ?r.
N? skal vi over til noe litt mer avansert. Dette niv?et har v?rt enkelt s? langt, men n? m? vi virkelig ha tunga rett i nebbet! Fordi n? skal vi nemlig finne ut hvilken tid Mary-Kate m?lte p? sin klokke da Cole ankom Destiny. Vi husker at da Cole ankom Destiny s? var Mary-Kate rett ved Homey. Og da kan det v?re fristende ? si at det er den samme tiden som vi fant f?rst p? dette niv?et. Alts? tiden som Homiene m?lte p? sin klokke. Men det m? vi absolutt ikke gj?re! Da blir absolutt alt feil! Fordi det er jo ikke tiden Homey m?ler n?r de observerer at Cole er fremme vi skal finne. Det er tiden Homiene har p? sine klokker n?r Cole er fremme i sitt system vi skal finne. Det vi skal bruke da er at vi vet 100% sikkert at n?r Cole ankommer Destiny, s? har Mary-Kate ankommet Homey. S? disse to tingene skjer helt samtidig. Vi kan da bruke dette for ? finne ut hva som sto p? klokkene til Homiene. Vi vet at posisjonen til Cole i n?r han ankommer Destiny er L0/γ i hans eget referansesystem. Det vil si at posisjonen til Homiene fra Cole sitt perspektiv er -L0/γ. Og igjen s? vet vi at tiden Mary-Kate og Cole ankom sine respektive planeter er den samme. Vi kan ogs? bruke tidsdilatasjon
for ? finne tiden Homey m?ler n?r vi vet tiden Mary-Kate m?ler. Vi kan ogs? skrive om p? formelen slik at vi f?r at tiden Homey m?ler vil v?re L0/v, siden vi allerede vet at tiden som Homey m?ler vil v?re L/v. Og vi vet at L*γ, som er det vi vil f? i formelen, er det samme som L0. Hvis vi n? bruker en Lorentzmatrise, den skal vi dessverre ikke vise her, fordi vi vil holde fokuset p? hva det er som faktisk skjer! Men hvis dere er interesserte kan vi sende det p? eBrev! Uansett, s? f?r vi ut at formelen for ? finne tiden som Homiene har p? sin klokke n?r Cole ankommer Destiny er
Her vet vi jo faktisk hva alle verdiene er ogs?, s? her kan vi bare sette de inn, og da fikk vi at tiden Homiene m?lte p? sine klokker var 4.02 ?r. Vi puttet det inn i spillet, og vi fikk faktisk ekstrapoeng fra spillet for hvor flinke vi var!! S? fikk vi ogs? som vanlig se videoen. Da fikk vi ogs? se hvordan hele reisen s? ut for Cole og hvor lang tid det tok for b?de Cole og Homiene. I spillet sto det at det tok rundt 202 ?r for Homiene og rundt 28 ?r for Cole, noe som stemmer perfekt med det vi fant ut!! Hvis dere ogs? har lyst til ? se hvordan dette ser ut i spillet v?rt kan dere se p? Instagranden v?r @lena_og_helenas_astroblogg!?
Men hva n? med dette paradokset? Skulle vi ikke f? svaret p? det n?? JO det har vi faktisk allerede f?tt! Fordi det aller siste vi gjorde n? var ? regne ut hva klokkene til Homiene viste n?r Cole ankom Destiny i Cole sitt referansesystem. Og det var faktisk akkurat det vi gjorde tidligere og uten ? vite det! Vi fikk jo at det tok 4 ?r da ogs?, fordi vi regnet ut klokkene til Homey fra Cole sitt referansesystem. S? da har vi faktisk l?st hvorfor paradokset blir som det blir! YAY!
Pax?
Logg inn for ? kommentere