Hallo venner?!
Vi har forvillet oss ut i verdensrommet igjen, men n? driver maskinene v?re og oppdager lysglimt. Er det noen der ute som pr?ver ? komme i kontakt med oss? F?r vi finner ut av det m? vi bli kjent med situasjonen vi sitter midt oppi n?!
Vi starter med ? se for oss et stort objekt i verdensrommet med en sentral masse (f.eks. en planet, eller et sort hull). I en sirkelbane, med radius r, rundt dette objektet har vi en satellitt, og i satellitten har vi en observat?r som ser utover i verdensrommet. Denne observat?ren vil vi referer til som "skallobservat?ren"
I v?rt scenario sitter skallobservat?ren med en laserpenn som pekes radielt ut fra sentralmassen, vi kan se p? det som at observat?ren sitter med ryggen til planeten og lyser rett ut i verdensrommet.
Vi har ogs? en "langt vekk observat?r" i systemet. Denne observat?ren er s? langt unna det store objektet at gravitasjonskreftene som virker p? observat?ren fra objektet er tiln?rmet 0, dette gir oss et mer n?ytralt blikk p? hendelsene fordi verken tid, lengde eller hastighet blir p?virket av tyngdefeltet.
Det vi ?nsker ? finne ut av i dette scenarioet er hvilken b?lgelengde lyset fra denne laserpennen har, n?r det blir observert av langt vekk observat?ren
F?r vi ser p? litt utledninger m? vi gj?re oss kjent med én spesiell formel, for denne skal vi bli bestevenner med i fase 9! Det er jo selvf?lgelig snakk om Schwarzchilds linjeelement, som ser slik ut:
Formel 1: Schwarzschilds linjeelement
Kort fortalt s? forklarer denne formelen hvordan tid og romm blir krummet rundt en ikke-roterende, sf?risk masse, men vi skal jo s?klart forklare litt mer utdypende enn det!
Vi starter med f?rste ledd:
Dette leddet er for "avstandsintevallet" i romtid, alts? s? mye tid eller rom en bevegelse faktisk representerer
Videre til andre ledd:
Dette leddet kan vi kalle tidsleddet, og det representerer hvordan tid g?r annerledes i n?rheten av en stor masse.
"2M" blir ogs? ofte referert til som Schwarzchildradiusen og representerer horisonten til et svart hull, men det kommer vi tilbake til senere.
S? har vi tredje ledd:
Dette leddet beskriver hvordan rom blir strukket i radial retning av gravitasjonen. Vi kan se p? det som at jo n?rmere objektet vi kommer, jo lenger blir hver eneste lille bit av lengden.
Og til slutt fjerde ledd:
Dette representerer et arealelement p? en sf?re, alts? en bitteliten bit areal p? kulen.
Vi har ogs? en liknende formel fra lorentz-geometri som ser slik ut:
Dette er da Lorentz linjeelement i polarkoordinater, men den har vi v?rt borti f?r i generell relativitet, s? vi bruker ikke s? mye tid p? ? forklare det her ogs?.
N? har vi blitt litt kjent med Schwarzschild linjeelement og da kan vi jobbe videre for ? finne et uttrykk for b?lgelengden.
F?rst m? vi finne forskjellen i tidsintervall m?lt av de to observat?rene.
Skallobservat?ren v?r st?r i ro ved en radius r, s? vet vi jo at vi ikke har noen endring o hverken r eller φ, s? alle leddene som inneholder dette vil bli 0!
da blir formelen for Schwarzschilds linjeelement:
Og s? kan vi bruke Lorentz linjeelement for skallobservat?ren:
Da kan vi endelig sette de to uttrykkene mot hverandre og l?se for Δt
N? har vi et fint uttrykk for sammenhengen mellom tidsintervallene til de to observat?rene. Da kan vi igjen jobbe oss videre mot et uttrykk for b?lgelengden. Vi vet b?lgelengder er gitt ved formelen
Men n? som vi jobber med generell relativitet skal i bruke et annet enhetssystem enn vi pleier. I l?pet av de tidligere fasene har vi jobbet med b?de SI-enheter og AU-enheter, men n? skal vi bytte over til naturlige enheter, som er ganske vanlig n?r man regner relativistisk. I naturlige enheter uttrykker vi masse i meter (vi kommer tilbake til dette senere), og hastighet oppgis i deler av lyshastigheten. Det betyr at hvis v = c i SI-enheter s? vil det samme uttrykket v?re v = 1 i naturlige enheter. Hvis vi setter det inn i formelen for b?lgelengde over f?r vi:
Men her har vi jo frekvens med som er variabel? Hva gj?r vi med det? Jo heldigvis er uttrykket vi trenger for frekvensen til lys veldig lett, for de to observat?rene ser det da slik ut:
S? kan vi ogs? fortelle dere at formelen for gravitasjonell dopplerforskyvning ser slik ut:
Da kan vi sette inn for frekvensen s? vi har et uttrykk for b?lgelengde gitt av endring i tid.
Da kan vi sette inn disse formlene i formelen for gravitasjonell doppler:
Men husker dere vi for litt siden fant et uttrykk for Δt? Vi pr?ver oss p? ? sette det inn her:
Her kan vi forkorte og vi sitter igjen med dette uttrykket:
Fordi tiden g?r saktere n?r en stor masse, vil tidsintervallet mellom to b?lgetopper v?re st?rre for en observat?r langt borte, og siden b?lgelengde er proporsjonal med tidsintervallet, observeres lyset med st?rre b?lgelengde. Dette gir den gravitasjonelle Doppler-formelen vi nettopp fant! Hvor kult er ikke det?
Men vil den samme formelen gjelde for ?situasjoner hvor vi er mye lenger enn 2M unna objektet? Vi tar en liten titt p? det ogs?! For hvis r blir veldig veldig stor, s? blir jo br?ken 2M/r veldig liten, og hvis det er en ting vi fysikere liker s? er det ? gj?re tiln?rminger n?r ting blir veldig sm?.
For ? kunne tiln?rme dette uttrykket m? vi gj?re noe som kalles en Taylor-utvikling. Dette h?res kanskje intenst ut, men det g?r bare ut p? ? forenkle vanskelige funksjoner n?r end el av uttrykket blir veldig liten. Jo flere ledd (vi kaller det ofte orden) vi ser p?, jo mindre blir de siste leddene. Men vi vet jo at 2M/r allerede er veldig lite, s? derfor trenger vi bare ? se p? en f?rste ordens taylor-utvikling. Vi kan da starte forenklingen med ? sette opp utviklingen:
Her kan vi da sette inn x = 2M/r. og vi f?r da dette uttrykket:
Dette uttrykket kan forenkles en del:
Til slutt setter vi dette inn i det faktiske uttrykket vi fant tidligere
Assa hvor mye penere er ikke det uttrykket her? Tror ikke det blir stort bedre enn dette. Vi har funnet ut masse om hvordan vi kan oppfatte lysglimt fra langt unna n?, og ogs? hvordan lys vi sender kan oppfattes. Vi sees igjen ved neste problem!
Pax?
Logg inn for ? kommentere