Hallo venner?!
N? skal vi ta en liten titt p? noe spennende... Vi snakker s?klart om svarte hull! Vi har igjen to observat?rer i systemet, den f?rste observat?ren sitter i en satellitt som g?r i bane n?rme en planet, men for ? gj?re det litt enkelt g?r vi ut fra at denne satellitten ikke beveger seg i forhold til planeten, men selve planeten (med satellitt) g?r i bane rundt det svarte hullet. Den andre observat?ren v?r sitter i en rakett som er i fritt fall radielt inn mot det svarte hullet! Hver av observat?rene sender lyssignaler ved faste tidsintervaller mot den andre observat?ren i systemet.
F?r vi g?r videre vil vi starte med ? definere hvilken type observat?r de to er s? vi vet hvilke formler vi skal jobbe med:
Observat?ren i satellitten beveger seg i bane med planeten med hensyn til det svarte hullet. Det kan vi se p? som at satellitten i seg selv g?r i bane rundt det svarte hullet, og siden den ikke beveger seg verken n?rmere eller lenger unna det svarte hullet kan vi si at observat?ren er en skallobservat?r.?
Observat?ren i raketten er i fritt fall mot det svarte hullet, s? den kommer bare n?rmere og n?rmere jo mer tid som g?r. Denne observat?ren har ikke mulighet til ? endre bevegelsen eller stoppe seg fra ? falle inn i det svarte hullet, og da kan vi trygt si at dette er en fritt-fall observat?r.
?
Det f?rste vi vil gj?re n? som vi har definert observat?rene v?re er ? finne et uttrykk for energien til raketten i fritt fall, eller rettere sagt, energien pr masse. Og er det noen bedre m?te ? finne det p? enn med Schwarzschildgeometri? Schwarzschild har jo blitt v?r nye bestie s? langt i denne fasen!
Vi har jo allerede et uttrykk for relativistisk energi pr masse for et frittfallende objekt i et gravitasjonsfelt, det er gitt ved:
Men det er et lite problem med denne formelen, den er jo satt opp med hensyn til en langt-vekk observat?r, og det har jo ikke vi i v?rt system... S? da f?r vi vel bare sette i gang med omskrivning s? vi f?r det p? den m?ten vi vil! Vi kan starte med ? finne en sammenheng mellom tiden for en langt-vekk observat?r og tiden for en skall observat?r. Vi tar en titt tilbake p? v?rt kj?re linjeelement:
Siden dette skjer p? samme sted har vi ingen endring i r eller φ, s? da kan vi forkorte formelen litt:
Og videre kan vi l?se dette for dt:
Supert! N? har vi funnet en sammenheng mellom tiden for en langt-vekk observat?r og en skall observat?r, da mangler vi kun ? sette det inn i uttrykket vi hadde for energi pr masse:
Her representerer r avstanden mellom raketten og kjernen til det svarte hullet, dt_shell representerer endringen i tid for skall observat?ren, og d_T representerer endringen i egentid for fritt-fall observat?ren τ
?
Vi kan faktisk gj?re dette uttrykket enda litt enklere med et lite triks, for akkurat i det punktet hvor raketten faller forbi satellitten er de s?pass n?rme at vi kan anta et lokalt inertialsystem. Men det har dere kanskje ikke v?rt borti f?r...? Et lokalt inertialsystem er et system der vi kan anvende den spesielle relativitetsteorien, fordi i det de to observat?rene passerer hverandre er de s? n?rme hverandre at vi kan se bort fra krummingen av tidrommet! Alts? vi ser p? et s? lite tidsintervall at bevegelsene til observat?rene ikke krummes, men dette gjelder kun for et veldig lite tidsintervall, akkurat n?r de krysser hverandre ved r = 1 AU. Fra den spesielle relativitetsteorien vet vi at forholdet mellom dt og dT kan skrives som:
Hvor?
Da kan vi uttrykke γ som
Og vi kan sette det inn i formelen for energi pr masse
?
Vi har n? sett p? et romskip som faller inn mot et sort hull, og hvordan bevegelsen beskrives av ulike observat?rer. En observat?r langt unna ser romskipet p? én m?te, mens en observat?r som st?r stille n?r det sorte hullet (skall-observat?ren) m?ler fart og tid lokalt. Romskipet selv m?ler sin egen tid mens det faller. Vi viste at energien til romskipet er den samme hele tiden, selv om ulike observat?rer m?ler tid og fart forskjellig. N?r romskipet passerer skall-observat?ren, kan vi bruke vanlig relativitetsteori slik vi gj?r for tog og observat?rer p? en plattform. Da f?r vi at energien avhenger b?de av hvor sterkt gravitasjonsfeltet er og hvor fort romskipet beveger seg lokalt. Resultatet viser hvordan b?de tyngdekraft og h?y fart p?virker energien n?r et sort hull.
?
Vi har faktisk v?rt s? snille at vi har ofret oss og sendt b?de raketten og oss selv mot det svarte hullet. Det betyr at v?r kj?re venn Beff er skallobservat?ren i dette scenarioet. Sp?rsm?let er da: hvordan vil Beff oppleve situasjonen fra satellitten sin?
Vi har tidligere sett p? hvordan vi kan uttrykke energien per masse p? ulike m?ter, men vi kan ogs? bruke dette til ? si noe om hvordan tid m?les i forskjellige referansesystemer. For eksempel kan vi skrive sammenhengen mellom tiden i romskipet og tiden hos Beff slik
Jo lenger vi faller ned mot det svarte hullet, jo dypere kommer vi inn i tyngdefeltet. Fra relativitetsteorien vet vi at dette betyr at tiden v?r g?r saktere sett utenfra. Fra v?rt eget perspektiv merker vi derimot ingenting spesielt – klokken v?r g?r helt normalt.
Det vi derimot observerer, er at tiden mellom Beff sine lysglimt blir kortere og kortere. For oss ser det alts? ut som om Beff sin tid g?r raskere enn v?r. For ? forklare dette matematisk m? vi skrive om formelen slik at ΔT er tiden m?lt i romskipet v?rt:
Her representerer r avstanden mellom romskipet v?rt og det svarte hullet. N?r vi faller innover, blir r mindre, og uttrykket 1?(2M/r) g?r mot null n?r vi n?rmer oss horisonten. Dermed blir kvadratroten mindre og mindre.
Dette gj?r at tidsintervallet vi m?ler mellom Beff sine lysglimt blir stadig kortere. Derfor opplever vi at Beff sin klokke g?r raskere enn v?r egen, selv om han selv ikke merker noen forskjell. Dette viser hvordan b?de gravitasjon og relativitet p?virker hvordan forskjellige observat?rer oppfatter tid.
I tillegg til at tidsintervallene mellom lyssignalene endrer seg, vil ogs? fargen p? lyset endre seg. Fargen p? lys bestemmes av frekvensen: h?y frekvens gir bl?tt lys, mens lav frekvens gir r?dt lys.
N?r vi mottar lyssignaler fra Beff, kommer lyset fra et svakere tyngdefelt og ned til oss som befinner oss dypere i tyngdefeltet n?r det svarte hullet. Lyset mister da energi, og frekvensen blir lavere. Vi ser derfor Beff sine lyssignaler som r?dforskj?vet.
Omvendt vil Beff se v?re lyssignaler som bl?forskj?vet. Dette skyldes at vi beveger oss mot ham n?r vi faller innover mot det svarte hullet, noe som gir en Doppler-bl?forskyvning. Selv om lyset samtidig blir r?dforskj?vet n?r det klatrer opp i tyngdefeltet, er Doppler-effekten st?rst i denne situasjonen.
Dermed vil begge observat?rer v?re enige om fysikken, men uenige om b?de fargen og frekvensen p? de lyssignalene de mottar.
?
N?r vi etterp? sammenligner m?lingene og tankene v?re med Beff s? legger vi merke til noe som virker merkelig: tidsintervallet mellom de mottatte lyssignalene fra planeten ser ut til ? bli kortere og kortere jo n?rmere vi kommer horisonten. Spesielt mot slutten av videoen, n?r den spilles av i veldig lav hastighet, kan det se ut som om signalene kommer nesten uendelig tett.
Fysisk sett kan dette imidlertid ikke stemme. Som fritt fallende observat?rer vil vi n? horisonten etter en endelig egen-tid, og det finnes ingen lokal fysisk singularitet ved horisonten. Vi vil derfor ikke motta et uendelig antall lyssignaler f?r vi krysser den. I virkeligheten vil lyssignaler sendt fra planeten bli stadig mer r?dforskj?vet for oss, og tidsintervallet mellom signalene vi mottar vil etter hvert ?ke, ikke minke.
Grunnen til at videoen viser denne urealistiske oppf?rselen, er at faktisk ikke har tatt hensyn til lysets reisetid enda! Hendelser vises dermed som om lyset n?r observat?ren ?yeblikkelig, alts? som om lysets hastighet er uendelig. Dette f?rer til at lyssignalene i videoen blir kunstig sammenpresset i tid, s?rlig n?r horisonten.
Videoen av oss p? vei mot det svarte hullet gir derfor et misvisende bilde av hva den fritt fallende observat?ren faktisk ville sett. Da har vi vel bare en ting ? gj?re: Ta hensyn til lysets reisetid! Men det f?r vi ta i morgen hihi.
Pax?
?
?
?
?
Logg inn for ? kommentere