Oppgave 2

Det viser seg at det ikke bare er lysfarten som er invariant, men ogs? noe vi kaller tidromsavstanden. Vi ?nsker n? ? bli kjent med denne avstanden, og bruke invariansen dens til ? finne ut av noen ting. Vi skal blant annet utforske et hendelsesforl?p, der vi ser p? rekkef?lgen i et gitt referansesystem (romstasjonsystemet), til to eventer som er samtidige i annet referansesystem (romskipsystemet). Vi kommer ogs? til ? utforske forskjellene mellom situasjonen om vi bruker klassisk mekanikk og den spesielle relativitetsteorien.?

?

Situasjonen

Vi skal spille kosmisk pingpong. Dvs. at vi tar to romskip og fester speil p? dem. Deretter sender vi dem av g?rde for ? spille. Reglene er enkle: Et av romskipene starter ved ? skyte ut en laser. Denne laseren vil s? bevege seg mot det andre romskipet, treffe speilet og reflekteres. Da sendes laseren tilbake til det f?rste romskipet, som igjen vil reflektere den. For ? gj?re spillet litt mer spennende m? vi f? med en detalj til: Disse romskipene st?r i ro i forhold til hverandre, men de beveger seg mot venstre med en fart \(v = 0.65c\) relativt til en romstasjon. Dermed har vi to referansesystemer. For romstasjonsystemet skal vi bruke de ikke merkede koordinatene \(x\) og \(t\). I romskipsystemet bruker vi \(x'\) og \(t'\). I romstasjonsystemet befinner romstasjonen seg i \(x = 0\) og i romskipsystemet befinner det venstre romskipet seg i \(x' = 0\). Avstanden mellom romskipene m?lt i romskipsystemet kaller vi \(L'\).?

Videre ?nsker vi noen eventer ? utforske situasjonen med. La event A v?re at romskipet til venstre skyter en laser. Vi lar A v?re et origo event slik at \(x_A = x_A' = 0\) og \(t_A = t_A' = 0\). Videre har vi event B som er at det h?yre romskipet reflekterer laseren, n?r laseren n?r frem til dette romskipet. Tilsvarende er event D at det venstre romskipet reflekterer laseren, idet laseren kommer tilbake. Men hva med C? Vi synes ikke noe om denne bokstaven s? vi lar denne v?re en eksplosjon. Event C er da at noe p? romstasjonen eksploderer, noe som muligens igjen f?rer til at et eksperiment ender i massemord. Denne eksplosjonen skjer samtidig som event B, nemlig at laseren reflekteres av det h?yre romskipet, sett fra romskipsystemet.?

Her er ikke rekkef?lgen p? event A, B og D s? spennende, siden disse ?penbart m? skje i denne rekkef?lgen. Det som er mest spennende er ? se p? om event C skjer f?r eller etter event B, sett fra romstasjonsystemet. Som sagt ?nsker vi i tillegg ? sammenligne det det relativistiske og ikke-relativistiske tilfellet. For ? gj?re dette skal vi spille litt mer tradisjonell pingpong. Konseptet er ganske likt: Det venstre romskipet sender ut en ball med farten 80 km/h, sett fra romskipsystemet. Denne ballen vil s? etter hvert treffe det h?yre romskipet og sprettet tilbake mot det venstre romskipet osv. I denne situasjonen lar vi romskipene har farten \(v = 50\) km/h, istedenfor \(0.65c\). Her har vi de samme eventene som over, bare at n? er laseren en ball. Denne ballen er ikke som lys, s? farten dens kan variere mellom referansesystemer, og dermed f?r vi ikke-relativistisk pingpong.?

?

Metode

Vi kan starte med ? f? litt kontroll p? situasjonen, ved ? se p? tiden mellom event A og B, som er tiden mellom at laseren skytes og at den reflekteres for f?rste gang, og tiden mellom event B og D, som er tiden mellom den f?rste og andre refleksjonen. Vi starter med romskipsystemet. Er er den f?rstnevnte tiden \(\Delta t_{AB}'\) og den sistnevnte \(\Delta t_{BD}'\). I romskipsystemet st?r de to romskipene stille. Dermed m? laseren reise like langt mellom event A og B, som mellom event B og D. Siden laseren har like stor fart i begge retninger (lysfarten), vil den bruke den samme tiden mellom p? reisen mellom event A og B, som mellom event B og D. Med andre ord har vi at \(\Delta t_{AB}' = \Delta t_{BD}'\).?

Men hva med i romstasjonsystemet? Etter event A vil laseren bevege seg mot h?yre til den reflekteres av romskipet til h?yre. Dett fra romstasjonsystemet vil laseren og det h?yre romskipet bevege seg mot hverandre og m?tes et sted imellom startposisjonene. Kaller vi lengden mellom romskipene sett fra romstasjonsystemet for \(L\), reiser laseren dermed en lengde kortere enn \(L\) i intervallet \(\Delta t_{AB}\). Etter at laseren har blitt reflektert i event B, er den p? vei mot det venstre romskipet. Men dette romskipet beveger seg vekk fra laseren, slik at laseren m? "ta igjen" romskipet. Da vil lengden \(L\) mellom laserens refleksjonsposisjon og romskipets posisjon ?ke f?r laseren kommer til det venstre romskipet. Dermed m? laseren reise en lengde som er lengre enn \(L\), i intervallet \(\Delta t_{BD}\). Siden lysfarten er invariant vil laseren bevege seg med samme fart f?r og etter den reflekteres. Siden laseren reiser forskjellige lengder med samme fart m? de to tidsintervallene v?re forskjellige. Spesifikt vil tidsintervallet der laseren reiser den lengste lengden v?re st?rst. Alts? er ?\(\Delta t_{BD} > \Delta t_{AB}\).?

N? som vi har en oversikt over hvordan situasjonen ser ut i det relativistiske tilfellet kan vi se p? det ikke-relativistiske tilfellet og sammenligne. Vi skal da som nevnt anta at vi har de samme eventene, bare at laseren n? istedenfor er en ball. I romskipsystemet vil alt se likt ut som i det relativistiske tilfellet. Ballens skytes ut i event A med en fart \(v_b' = 80\) km/h, og s? spretter ballen i event B. Siden romskipene er i ro vil den ha samme fart f?r og etter event B, og s? vil den reise samme lengde mellom evenetene. Dermed har vi som i det relativistiske tilfellet at \(\Delta t_{AB}' = \Delta t_{BD}'\).?

Siden tidsintervallene er det samme i romskipsystemet i de to tilfellene, s? kan man tenke seg at vi f?r det samme resultatet \(\Delta t_{BD} > \Delta t_{AB}\) i romstasjonsystemet i det ikke-relativitiske tilfellet. Slik er det ikke. Regner man p? det f?r man at \(\Delta t_{BD} = \Delta t_{AB}\). Forskjellen er at i det relativistiske tilfellet observerer de p? romstasjonen at laserens fart relativt til seg selv er den samme f?r og etter refleksjonen. I det ikke-relativistiske tilfellet vil romstasjonen m?le at ballen har forskjellig fart relativt romstasjonen f?r og etter st?tet, se Figur 1. N? er ballens fart relativt til romskipene, sett fra romstasjonen, den samme f?r og etter st?tet. Du kan lese om hvordan invariansen av lysfarten f?rer til forskjellen mellom det relativistiske og ikke-relativistiske tilfellet her.?

Som nevnt hadde romskipene farten \(v = 50\) km/h mot venstre, sett fra romstasjonen. Da er farten til ballen i romstasjonsystemet gitt ved \(v_b = v_b' - v = 80 km/h - 50 km/h = 30 km/h\) etter event A og \(v_b = -v_b' - v = -80 km/h - 50 km/h = -130 km/h\) etter event B. I formlene bruker vi \(-v\) som farten til romskipsystemet, der minustegnet kommer av at det beveger seg mot venstre (negativt x-retning). Vi bytter fortegnet p? \(v_b'\) siden bevegelsesretningen til ballen endrer seg i event B. Disse utregningene er illustrert i Figur 1 som vektorsummer. Ballen beveger seg alts? f?rst med 30 km/h i timen mot h?yre og deretter 130 km/h mot venstre, sett fra romstasjonen. Ballens fart sett fra romstasjonen avhenger alts? av farten til romskipsystemet. Denne effekten ser vi ikke i det relativistiske tilfellet, siden lysfarten er invariant. Forskjellen i logikken i de det relativistiske og ikke-relativistiske tilfellet er at i det f?rstnevnte bruker vi Einsteins 2. postulat om at lysfarten er invariant, mens dette prinsippet fins ikke i ikke-relativistisk fysikk. Regner man p? det kan man se at samtidighet ikke er relativt i det ikke-relativistiske tilfellet.

N? som vi er mer kjent med forskjellen mellom relativistisk og ikke-relativistisk pingpong, kan vi se mer p? det relativistiske tilfellet. Det er nemlig et event vi ikke har betraktet enn?: event C. Dette eventet var en eksplosjon p? romstasjonen, som skjer samtidig som event B i romskipsystemet. Fra det vi kan om den spesielle relativitetsteorien til n? vil vi forvente at event B og C ikke er samtidige i romstasjonsystemet. Men hvilken av dem skjer f?rst i dette systemet??

For ? l?se dette problemet, kan vi sette et til romskip M inn i situasjonen, se Figur 2. Dette romskipet skal v?re i ro i romskipsystemet, som betyr at dette ogs? beveger seg med farten \(v\) sett fra romstasjonen, akkurat som de to andre romskipene. Vi ?nsker at dette romskipet skal v?re midt mellom romstasjonen og det h?yre romskipet, idet event B og C skjer i romskipsystemet. Ved ? s? se p? hvordan lyset fra de to eventene kommer til dette nye romskipet M, og spesifikt hvilken avstand lyset reiser, og dermed over hvilken tid de har reist, kan vi finne ut av rekkef?lgen p? de to eventene B og C i romstasjonsystemet.?

Vi skal anta at de to romskipene og romstasjonen ligger p? samme linje, se Figur 2. Da lurer du kanskje p?: Kommer ikke da det h?yre romskipet til ? krasje inn i romstasjonen. Denne detaljen er egentlig ikke veldig interessant for fysikken vi skal utforske, s? vi kan anta at romskipet kan fly gjennom romstasjonen uten ? krasje. Hvis du ikke aksepterer dette i seg selv, kan du se for deg at romstasjonen har en tunnel (se Figur 2) som romskipet kan kj?re gjennom (og som laseren beveger seg gjennom). Plasserer vi s? et romskip litt til venstre for det h?yre romskipet. Hvor langt til venstre? Akkurat den avstanden til venstre som gj?r at dette romskipet er midt mellom romstasjonen og det venstre romskipet idet event B og C skjer i romskipsystemet. Da vil lyset fra eksplosjonen og lyset fra at laseren reflekteres komme m?tes ved M. Dette kommer av at, sett fra romskipsystemet, reiser lyset samme avstand (husk at M er midt mellom der event B og C skjer) for ? komme til M, med samme fart \(c\). Vi har alts? funnet ut at lyset fra event B og C m?tes ved M.

At lyset fra de to eventene m?tes ved M skjer i begge referansesystemene. Vi kan dermed se p? hvordan dette p?virker situasjonen i romstasjonsystemet. I dette systemet vil M bevege seg mot lyset fra event C og fra lyset fra event D. Siden lysfarten er lik (husk invariansen) for lyset fra begge eventene m? lyset fra event C bruke kortere tid p? ? n? frem til M, enn lyset fra event B, sett fra romstasjonen. Dermed m? event B skje f?r event C i romstasjonsystemet. Denne argumentasjonen er ligner sv?rt p? en tidligere argumentasjon vi gjorde, som g?r mer i detaljene. Se denne her.

Vi kan n? se p? rekkef?lgen til eventene i romstasjonsystemet. Som konkludert tidligere var rekkef?lgen p? A, B, D, blant disse tre eventene. Vi fant s? ut at event B m?tte skje f?r event C. S? da virker det som at rekkef?lgen er A, B, C, D. Men kunne ikke event D ha skjedd f?r C? Vi vet at romstasjonen er til h?yre for det venstre romskipet, siden disse starter p? samme sted, og s? beveger romskipet seg mot venstre. Hvis du ser litt n?ye over, har vi brukt at romstasjonen er et sted mellom de to romskipene. Vi har ingen spesielt god grunn til ? tro dette, men har antatt det. Hadde man antatt at romstasjonen var til h?yre for romskipene, ville rekkef?lgen p? B og C endre seg, siden argumentet over blir omvendt. S? med antagelsen om at enn? romstasjonen er mellom romskipene n?r event B skjer, s? skjer C f?r D. Dette kommer av at event D m? skje etter at lyset fra event B kommer til M (siden lyset o laseren reiser like fort), mens event C m? skje f?r lyset fra event C, og dermed lyset fra event B, kommer til M. Vi f?r alts? den alfabetiske rekkef?lgen A, B, C, D. Denne rekkef?lgen har vi f?tt to ganger n?, s? vi begynner ? lure p? om det er en konspirasjon p? gang!

N? har vi resonnert mye her, s? da er det lurt ? sjekke om konklusjonene v?re er riktige. For ? gj?re dette skal vi bruke den nevnte tidromsavstanden. Men hva er en tidromsavstand? N?r vi snakker om avstander, s? er vi vant til at dette er avstanden mellom to punkter i et rom. P? tilsvarende vis er tidromsavstanden, avstanden mellom to eventer, siden et event er det som tilsvarer punkter i den spesielle relativitetsteorien. Men et event har jo b?de tidskoordinater og romkoordinater, s? hvordan finner avstanden mellom disse? For ? finne avstanden mellom to punkter \((x_1, y_1, z_1)\) og \((x_2, y_2, z_2)\) kan man finne vektoren mellom dem og s? lengden til denne vektoren. Denne vektoren kan vi skrive som \((\Delta x, \Delta y, \Delta z)\), der f.eks. \(\Delta x = x_2 - x_1\). Lengden av denne vektoren blir da \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\). Kaller vi n? denne avstanden \(\Delta s\) og kvadrerer den f?r vi \(\Delta s^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2\). Det viser seg at p? lignende vis er romtidsavstanden?

\(\quad\quad \Delta s^2 = \Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)\)

Og n?r to eventer har samme \(y\)- og \(z\)-posisjon, som det for enkelhets skyld er i tilfellene vi skal jobbe med, blir dette

\(\quad\quad \Delta s^2 = \Delta t^2 - \Delta x^2\)

Denne formelen kan jo gi mening med tanke p? navnet "tidromsavstanden". Her har vi jo b?de tid og rom inkludert. Et naturlig sp?rsm?l ? stille n? er: Kan vi ta tid minus avstand?. Vi er vant med at tid har enhet s (sekunder), og lengder har enhet m (meter). Det gir ikke fysisk mening ? subtrahere (eller addere) tall med forskjellige enheter. S? her m? vi faktisk endre p? enheten til enten tid eller rom. Hvilken kan vi velge, og i forskjellige oppgaver kan det v?re forskjellige enheter som er interessante. N?r vi snakker om ? endre p? en enhet, mener vi egentlig at vi skal regne den fysiske st?rrelsen om til en annen enhet. Vi er vant med ? gj?re dette i den forstand at 1.2 km er 1200 m, der vi ikke har endret type enhet (lengde), men bare st?rrelsesordenen. N? skal vi faktisk bytte type enhet, slik at vi f?r b?de tid og romavstand i samme enhet, f.eks. ved ? m?le b?de tid og rom i meter.?

En veldig fin m?te ? gj?re dette p? er det vi kaller naturlige enheter. I den spesielle relativitetsteorien, vil naturlige enheter si at man definerer lysfarten til ? v?re \(1\) (uten noen enhet). Vi velger at lysfarten skal v?re \(1\) siden dette f?r teorien til ? se mye penere ut. Vi kunne valgt at den skulle v?re \(3\), men da blir formlene styggere. Grunnen til at lysfarten ikke skal ha en enhet her er at vi skulle ha tid og rom i samme meter. Da blir fart enhetsl?st siden fart er tid delt p? rom. Har vi tid og rom i meter, blir fartens enhet m/m \(=1\). Det samme skjer for sekunder: s/s \(=1\). Men hvordan skal vi regne om enheter? Her m? vi v?re litt forsiktige. Vi m? nemlig f? at n?r vi regner om lysfarten \(c\) til naturlige enheter, blir den \(1\). Vi kan se at \(\frac{c}{c} = 1\). Siden lysfarten er \(c = 3\cdot 10^8\) m/s, ser vi at enheten m/s kanseleres. Hvis lysfarten kan omregnes slik m? vi ogs? omregne alle annen fart p? samme m?te, vi f?r dermed at \(v_{rel} = \frac{v_{SI}[m/s]}{c}\), der \(c = 3\cdot 10^8\) m/s, \(v_{rel}\) er farten i naturlige enheter, og \(v_{SI}[m/s]\) er farten i SI-enheten m/s. For ? oppn? denne omregningen m? vi dele avstander p? \(c\) for ? regne de om til en tidsenhet, eller gange tid med \(c\) for ? regne om til en lengdeenhet. Det blir seende slik ut:

\(\quad\quad x_{rel}[s] = \frac{x_{SI}[m]}{c}\)

der \(x_{rel}[s]\) er i sekunder og \(x_{SI}[m]\) er i meter, for ? regne om posisjon til sekunder, og

\(\quad\quad t_{rel}[m] = \frac{t_{SI}[s]}{c}\)

for ? regne tid om til meter.?

Med disse omgj?ringene ser vi at vi f?r lysfarten lik \(1\) i relativistiske enheter. Vi ser for det f?rste at fart blir enhetsl?st og gitt som over. I det f?rste tilfellet der vi regner avstand om til sekunder og beholder tid i sekunder, f?r vi?

\(v_{rel} = \frac{x_{rel}[s]}{t_{rel}[s]} = \frac{x_{SI}[m] / c}{t_{SI}[s]} = \frac{x_{SI}[m] / t_{SI}[s]}{c} = \frac{v_{SI}[m/s]}{c}\)

som var det vi ?nsket, siden med \(v_{SI}[m/s] = c\) f?r vi n? at lysfarten er ?\(v_{rel} = v_{SI}[m/s] / c = c/c = 1\). Vi ser fra formelen for relativistisk fart, s? oppgis fart som en andel av lysfarten. Det vil si at en fart \(0.65c\), blir \(0.65\) i naturlige enheter, som svarer til \(65\%\) av lysfarten. Det er denne farten romskipene har i situasjonen tidligere beskrevet. N?r man regner innen spesiell relativitet er det viktig ? passe p? at man alltid har tid og rom i samme enhet.?

N? som vi har l?st problemet med enhetene, la oss ta enda en titt p? tidromsavstanden. Vi har enda ikke eksplisitt oppgitt hva \(\Delta t\) og \(\Delta x\) er. Stort sett skal vi skrive formelen som?

\(\quad\quad \Delta s_{AB}^2 = \Delta t_{AB}^2 - \Delta x_{AB}^2\)

hvor dette er tidromsavstanden mellom to eventer A og B. \(\Delta t_{AB} = t_B - t_A\) er da tiden mellom disse eventene, og \(\Delta x_{AB} = x_B - x_A\) er avstanden mellom dem.?

Men hva kan vi bruke denne tidromsavstanden til. Akkurat som lysfarten er denne invariant. Dvs. at forskjellige observat?rer (i forskjellige referansesystem) vil v?re enig om den. Med andre ord vil to ulike referansesystemer regne ut samme tidromsavstand mellom to eventer. For ? ta et eksempel vil tidromsavstanden mellom event A og B i den kosmiske pingpong situasjonen ha samme tidromsavstand i romstasjonsystemet og i romskipsystemet. I romstasjonsystemet er tidromsavstanden?

\(\quad\quad \Delta s_{AB}^2 = \Delta t_{AB}^2 - \Delta x_{AB}^2\)

der \(\Delta t_{AB}\) er tiden mellom event A og B sett fra romstasjonsystemet, og \(\Delta x_{AB}\) er avstaden mellom der eventene skjedde m?lt i romstasjonsystemet. I romskipsystemet (med merkede koordinater) f?r vi

\(\quad\quad \Delta s_{AB}'^2 = \Delta t_{AB}'^2 - \Delta x_{AB}'^2\)

der \(\Delta t_{AB}'\) er tiden mellom event A og B sett fra romskipsystemet, og \(\Delta x_{AB}'\) er avstaden mellom der eventene skjedde m?lt i romskipsystemet. For ? finne ut av f.eks. \(\Delta t_{AB}\) kan vi sette opp ligningen \(\Delta s_{AB}^2 = \Delta s_{AB}'^2\), siden disse to avstandene skal v?re like, sette inn for \(\Delta s^2\)-ene, og l?se for \(\Delta t_{AB}\).?

Men hvordan vet vi at tidromsavstanden er invariant? Svaret p? det er kort: det er blitt fastsl?tt empirisk, alts? gjennom eksperimenter. Akkurat som med andre konsepter i spesiell relativitet er det en parallell til den mer intuitive klassiske fysikken vi observerer til daglig. Vi nevnte tidligere at tidromsavstanden mellom to eventer svarte til avstanden mellom to punkter. Avstanden mellom disse to punktene var gitt ved Pytagoras' setning for 3-dimensjoner: \(\Delta s^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2\). Vi kan dermed anse tidromsavstanden som en annen variant Pytagoras' setning: \(\Delta s^2 = \Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)\). Den vanlige Pytagoras' setning er den som tilh?rer det vi kalle Euklidsk geometri. Geometrien med den alternative Pytagoras' setning kalles for Lorentz-geometri. Forskjellen mellom disse geometriene er 2 hovedsakelige:?

1. Den Euklidske geometrien vi bruker for omverdenen v?r er 3-dimensjonell, mens Lorentz-geometrien er 4-dimensjonell.
2. M?ten vi m?ler avstander.

Det f?rste punktet g?r ut p? at i den Euklidske geometrien har man punkter \((x, y, z)\), mens i Lorentz-geometrien har man eventer \((t, x, y, z)\). Det andre punktet g?r p? forskjellen mellom Euklidske avstander gitt av den vanlige Pytagoras' setning og tidromsavstanden. Forskjellen ligger i minustegnet foran romavstandene. Tenker vi n? p? event B og C sett fra romskipsystemet, s? var de samtidige. Da er \(\Delta t_{BC}' = 0\), mens \(\Delta x_{BC}' \ne 0\) siden eventene ikke er p? samme sted. Da f?r vi den kvadrerte tidromsavstanden \(\Delta s_{BC}'^2 = \Delta t_{BC}'^2 - \Delta x_{BC}'^2 = - \Delta x_{BC}'^2\). Siden \(\Delta x_{BC}'^2>0\) har vi dermed en negativ tidromsavstand. Her kommer alts? forskjellen i avstandsm?lene tydelig frem. I Euklidsk geometri er en negativ avstand umulig, mens i Lorentz-geometri er det fullt mulig.?

Til sist om Lorentz-geometrien er det verdt ? nevne at vi ikke klarer ? tegne den, noe som gj?r den vanskelig ? jobbe med. Tavla eller arket vi tegner p? er tross alten 2-dimensjonell Euklidsk geometri, s? vi klarer ikke tegne inn eventer som har en negativ tidromsavstand mellom seg. Dette aspektet gj?r ikke spesiell relativitet noe enklere ? forst?!

La oss n? pr?ve ut litt av det vi har l?rt. Vi kan starte med ? sette opp en tabell over tidene og posisjonene til eventene sett fra romskipsystemet. Vi kan starte med ? bestemme oss for en enhet ? bruke for tid og rom. Siden vi er mest interessert i tidene i denne situasjonen er det lurt ? ha tidene i en tidsenhet, s? vi skj?nner hva de betyr. Da m? vi ha lengder i samme tidsenhet. Det viser seg millisekunder ms gir de fineste tallene.

La oss starte med at A var et origoevent, slik at \(t_A' = 0\) ms og \(x_A'=0\) ms. Videre forteller sensorene v?re oss at \(t_B' = t_C' = 1.33765\) ms og \(t_D' = 2.67529\) ms. Videre gir sensorene at avstanden mellom romskipene er 400 km. Dette m? vi gj?re om til ms. Vi f?r?

\(\quad\quad x_{B, rel}'[s] = \frac{x_{B, SI}'[m]}{c} = \frac{400\cdot 10^3 m}{c} = 1.33333\cdot 10^{-3} s = 1.33333 ms\)

Dermed er \(x_B' = 1.33333\) ms. Vi f?r ogs? vite at avstanden mellom romstasjonen og det venstre romskipet er 260.661 km da eksplosjonen (event C) skjer, og ved samme omregning gir dette \(x_C' = 0.86887\) ms. Til slutt skjer event D ved det venstre romskipet, s? da f?r vi \(x_D' = 0\) ms. Vi har da

For det romstasjonsystemet har vi noen kjente og noen ukjente st?rrelser. Vi kan igjen starte med at A var et origoevent som gir \(t_A = 0\) ms og \(x_A=0\) ms. Videre vet vi at eksplosjonen skjer p? romstasjonen, slik at \(x_C=0\) ms. Om event D vet vi at dette skjer p? det venstre romskipet. I event A vet vi at posisjonen til dette romskipet var \(x_A = 0\) ms, i tillegg til at \(t_A = 0\) ms. Dermed blir \(\Delta x_{AD} = x_D\) og \(\Delta t_{AD} = t_D\). Siden \(\Delta x_{AD} = v\Delta t_{AD}\), f?r vi at \(x_D = vt_D\). Resten av st?rrelsene lar vi v?re ukjent. Da f?r vi:

Ved ? l?se ligninger som vi setter opp med invariansen av tidromsintervallet og gj?re andre utregninger f?r vi da

?

Konklusjon

Vi startet med ? se argumentere for at \(\Delta t_{BA}' = \Delta t_{DB}'\), noe som vi n? kan se fra Tabell 1. Videre fant vi at \(\Delta t_{DB} > \Delta t_{BA}\) siden laseren reiser lengre mellom event B og D sett fra romstasjonen. Leser vi av fra Tabell 3 ser vi at konklusjonen v?r stemmer. I det ikke-relativistiske tilfellet kom vi frem til at tidsintervallene over ikke forhold seg p? samme m?te. Dette grunnet at lysfarten er invariant, mens farten til pingpongballer ikke er invariant. Vi satte s? romskipet M midte mellom det h?yre romskipet og romstasjonen og brukte dette til ? vise at event B skjer f?r C i romstasjonsystemet. Dette kom av at lyset fra de to eventene m?ttes ved M, mens lyset fra event C m?tte reise kortere siden M v?r p? vei mot dette lyset. Ser vi p? Tabell 3 ser vi at konklusjonen stemmer siden \(t_B < t_C\).?

?

?