Oppgave 3.5

I dette innlegget betraktet vi tvillingparadokset med den spesielle relativitetsteorien. Konklusjonen var at n?r Lisa (som reiser med et romskip) snur og reiser tilbake m? hun akselerere. Den spesielle relativitetsteorien tar kun for ser fri flyt systemer (treghetssystemer), og kan dermed ikke brukes til ? regne p? akselerasjonen til Lisa. Vi fant derimot, ved bruk av noen lure triks, at mens Lisa akselererer s? m?tte tiden (fra Lisas perspektiv) p? hjemplaneten Homey g? sv?rt fort. Dermed ble tvillingen til Lisa, Misa, som var igjen p? Homey, mye eldre enn Lisa n?r hun kom tilbake. Vi skal n? utforske denne akselerasjonsfasen i detalj, ved ? bruke noen andre lure triks. Hovedsakelig skal vi se p? akselerasjonen (som er endring i fart), som en samling av uendelige sm? tidsintervaller med litt forskjellig konstant fart. Romskipet blir da et fri flyt system i en uendelig kort periode, og vi kan bruke den spesielle relativitetsperioden p? dette "intervallet". Med dette ?nsker vi ? finne ut hvordan tiden g?r p? Homey, sett fra romskipet, mens akselerasjonen foreg?r. Vi ?nsker ogs? ? finne ut av hvor lang tid akselerasjonen tar, i begge systemene, slik at vi vet hvor mye de to tvillingene Lisa og Misa eldes i forhold til hverandre.

?

Situasjonen

Vi vet fra det f?rste innlegget om tvillingparadokset at Lisa m?ler at reisen sin frem til planeten Destiny, tar 28.5 ?r. Sett fra Homey tar denne reisen 202 ?r. N?r Lisa observerer klokkene p? Homey, vil hun se at i l?pet av reisen hennes til Destiny, ?ker tiden p? Homey med 4 ?r. For hjemreisen har vi de samme tallene: Lisa m?ler at hjemreisen tar 28.5 ?r p? sin klokke, Misa p? Homey m?ler 202 ?r p? sin klokke, og Lisa vil observere at det har g?r 4 ?r p? Homey i l?pet av hjemreisen hennes. I mellom reisen til Destiny og hjemreisen er det en akselerasjonsfase, som vi ikke vet tiden til enn?. Det eneste vi vet er akselerasjonsfasen m? s?rge for at tiden Lisa observerer at g?r p? Homey (4 ?r) m? "ta igjen" tiden Misa m?ler p? Homey (202 ?r). Lisa m? alts? observere at tiden p? Homey g?r ekstremt fort mens hun akselererer.?

Vi har n? to referansesystemer. Det f?rste er referansesyetemet der Homey er i ro i origo, med umerkede koordinater \((t, x)\). Det andre er referansesystemet til Lisa, der hun er i ro i origo, med merkede koordinater \((t', x')\). Du kan lese mer om situasjonen fra den tidligere delen om tvillingsparadokset, som vi bruker som utgangspunkt, her.

I akselerasjonsfasen skal Lisa ha konstant akselerasjon m?lt fra Homey. En konstant akselerasjon m?lt fra Homey vil nemlig ikke v?re konstant m?lt fra romskipet som akselererer. Dette kommer vi tilbake til. Denne akselerasjonen skal vare helt fra Lisa kommer til Destiny, til hun snur og er tilbake ved Destiny med samme fart som f?r akselerasjonen, men motsatt rettet. Farten Lisa har under reisen til Destiny er 0.99 gitt i naturlige enheter. Som nevnt skal vi se p? denne akselerasjonen som en samling med uendelig sm? tidsintervaller med konstant fart. Hvert intervall har bitte litt forskjellig fart, slik at farten gradvis endres. Dette svarer til akselerasjonen. ?nsker man noe ? se for seg er ideen om en k? av uendelig mange heiser god, som vi brukte i det andre innlegget om tvillingparadokset. Fra dette perspektivet vil vi ikke lengre ha ¨¨n k? med heiser. I akselerasjonsfasen er det uendelig mange k?er, der hver k? har en bittelitt forskjellige fart fra den ved siden av. Lisas akselerasjon kan da anses som at hun hopper over til en annen heis, som har bittelitt mindre fart (eller st?rre fart, hvis Lisa har snudd). Dermed oppn?r Lisa en endring i fart, alts? akselerasjon. For ? beskrive disse intervallene skal vi bruke to eventer Y og Y', som ligner sv?rt p? eventene B og B' her. Event Y er ett eller annet som skjer p? romskipet til Lisa. Y' er at en i observat?r i samme referansesystem (samme k?) som Lisa, leser av tiden p? Homey. Y og Y' skal v?re samtidige i Lisas referansesystem.

?

Metode

La oss varme litt opp med noe enklere regning. La oss kalle akselerasjonen til romskipet (sett fra homey) for \(g\), og gi den verdien \(-0.1\) m/s², som i naturlige enheter er \(-3.3\cdot 10^{-10}\) s^-1. Denne er konstant, og vi kan dermed definere den som fartsendring delt p? tidsendring. ?nsker vi s? ? finne tiden m?lt p? Homey da romskipet snur kan vi l?se ligningen fra definisjonen for tidsendringen, og s? videre for tiden der farten blir lik 0. Gj?r man dette, setter inn akselerasjonen, og regner om til ?r blir det 296 ?r. Romskipet vil alts? snu etter 296 ?r, sett fra Homey. Dette er 94 ?r etter at akselerasjonsfasen starter. Men hvilken fart vil romskipet ha n?r det kommer tilbake til Destiny igjen etter ? akselerasjonsfasen? Siden akselerasjonen er konstant vil bevegelsen fra Lisa snur til hun er tilbake ved Destiny igjen, v?re bevegelsen fra Destiny til hun snur, men baklengs. Dermed m? Lisa f? samme fart n?r hun komme tilbake til Desitny, bare i motsatt retning. Denne farten er 0.99.?

I et kort intervall med akselerasjon kan vi tiln?rme farten som konstant. Dette kommer av at over et lite tidsintervall er det ikke veldig mye tid for akselerasjonen ? virke, slik at endringen i farten er liten. Dermed er farten tiln?rmet lik konstant. Vi kan dermed dele en periode med akselerasjon opp i mange sm? intervaller der farten er omtrent konstant i alle disse intervallene. Dette er det vi skal gj?re med akselerasjonsfasen. La oss se p? ett slikt intervall. For ? gj?re dette introduserer vi de to eventene Y og Y'. Y er et eller annet som skjer p? romskipet i dette intervallet, og Y' er et samtidig event i Romskipets system, der noen i samme referansesystem leser av tiden til klokkene p? Homey. For disse eventene har vi

I Tabell 2 er \(\gamma (t_Y)\) Lorentzfaktoren med farten \(v(t_Y)\) til romskipet, m?lt fra Homey. Den rareste koordinaten av disse er nok \(x_Y\). Dette er Lisas posisjon Homey sitt referansesystem. Vi kan gjenkjenne dette som bevegelsesligningen, der man har startposisjon \(L_0\) og startfart \(v_0\) ved tiden \(t_B\), og konstant akselerasjon \(g\). Her er \(t_B\) tiden tiden p? Homey sin klokke idet Lisa kommer frem til Destiny (202 ?r).?

Siden farten til romskipet er tiln?rmet konstant i intervallet der Y skjer, er det en god tiln?rming ? bruke det vi kan om spesiell relativitet p? event Y og Y'. Spesifikt skal vi bruke invariansen av tidromsavstanden \(\Delta s_{YY'}\), der denne er tiln?rmet invariant. Ved ? sette opp ligningen og l?se den, kan man finne en formel for tiden \(t_Y'\) som observat?ren i Lisas referansesystem leser av p? klokkene p? Homey. Dette er da hvilken tid Lisa vil observere at det er p? Homey idet event Y skjer i Lisa sitt referansesystem. Setter man s? tiden \(t_Y\) til tiden da Lisa snur (tiden da \(v(t_Y) = 0\)), f?r man at tiden til event Y og Y' i Homey sitt referansesystem er like. Tenker vi over hvordan situasjonen er ved tiden da Lisa snur gir dette mening. P? dette tidspunktet er farten til Lisa relativt til Homey lik null. Dermed er Lisa og Homey n? i samme referansesystem, slik at det som er samtidig for Lisa, ogs? m? v?re samtidig for Homey. Eventene Y og Y', som var samtidige for Lisa, er dermed n? ogs? samtidige for Homey. At disse to tidene er like betyr at idet Lisa snur vil hun observere den samme tiden p? Homey, som tiden m?lt p? Homey.?

I Figur 1 er tiden Lisa observerer p? Homey, plottet som funksjon av tiden m?lt p? Homey. Her ser vi at frem til 202 ?r har g?tt p? Homey i sitt eget referansesystem, ?ker tiden Lisa observerer p? Homey line?rt. Etter dette blir ?kningen st?rre med noe variasjon, men den er fortsatt tiln?rmet line?r. Den br?ere stigningen til grafen kommer av at Lisa akselererer. Mens Lisa akselererte m?tte jo tiden p? Homey, observert i Lisas referansesystem, ?ke sv?rt mye. Dette kommer av at da Lisa starter ? akselerere, observerer hun tida 4 ?r p? Homey sine klokker. Vi fant ovenfor at tiden Lisa observerer p? Homey og tiden m?lt p? Homey i planetens referansesystem ble like idet Lisa snudde, siden Lisa og Homey da var i samme referansesystem. Ser vi der grafen ender, ser vi at den ender der verdien p? f?rste- og andreaksen er like. Dette betyr at, som diskutert over, at Lisa observerer samme tid p? Homey, som Homey m?ler p? sine klokker.?

Vi vet n? tiden Lisa observerer p? Homeys klokker idet hun snur. Dette er 296 ?r, siden det er likt tiden p? Homey, m?lt i sitt referansesystem, da Lisa snur. F?r Lisa startet ? akselerere, observerte hun at tida p? Homey var 4 ?r. Dermed har tiden Lisa observerer p? Homey ?kt med 292 ?r i l?pet av akselerasjonen mellom Destiny og snupunktet. Dette er da den f?rste delen av akselerasjonsfasen. Reisen fra snupunktet, tilbake til Destiny igjen, er den andre delen. Siden den andre delen av akslereasjonsfasen bare er den f?rste delen, men baklengs, vil den andre delen ogs? ?ke tiden Lisa observerer p? Homeys klokker med 292 ?r. Idet Lisa kommer tilbake til Destiny vil tiden p? Homey, sett fra Lisas referansesystem, v?re 588 ?r. Reisen fra Destiny til Homey, vet vi at vil ?ke tiden Lisa observerer p? Homeys klokker med 4 ?r, slik at n?r Lisa kommer tilbake p? Homey, har det g?tt 592 ?r der. Men hvor mye eldre er Lisa?

Vi vet allerede hvor lang tid, i Lisas referansesystem, reisen til Destiny og hjemreisen tar til sammen: 57 ?r. Vi trenger da kun ? finne ut tiden akselerasjonsfasen tar i Lisas referansesystem, og legge dette til 57 ?r. For ? finne denne tiden skal vi bruke de sv?rt sm? intervallene igjen, med tiln?rmet konstant fart. Vi skal finne tiden andre halvdel av akselerasjonsfasen tar. Vi har allerede argumentert for at akselerasjonsfasens to deler er tilsvarende, slik at vi bare kan gange svaret med to for ? f? den totale tiden akselerasjonen tar i Lisas referansesystem. For ? ikke blir forvirret av de tidligere tidene vi har regnet p? skal vi bruke stor \(T\) og \(T'\) for tidene i henholdsvis Homeys og Lisas referansesystem. La \(\Delta T'\) v?re et lite intervall mellom to hvilke som helst eventer p? samme sted i Lisas referansesystem. Da er \(\Delta T'\) en egentid for Lisas reise fra starten av intervallet, til slutten av intervallet. Siden farten i dette intervallet er tiln?rmet konstant, og Lisas tid \(\Delta T'\) er egentiden, kan vi bruke tidsdilatasjon for ? finne en tiln?rming for \(\Delta T'\). Dette vil gi

\(\quad\quad \Delta T' = \frac{1}{\gamma} \Delta T\)

Lager vi mange slike sm? intervaller der farten er tiln?rmet konstant i hver av dem (men hver av dem har litt forskjellig fart), b?r vi f? en tiln?rmet verdi for tiden (\T'\) den andre halvdelen av akselerasjonen tar i Lisas referansesystem. Men hva med om vi ?nsker en eksakt verdi? La oss se p? n?r et av intervallene blir "eksakt". Jo mindre intervallet er, jo mindre endrer farten seg i l?pet av intervallet. Da vil farten ligne mer p? konstant fart i l?pet av dette intervallet, og tiln?rmingen med tidsdilatasjon blir en bedre tiln?rming. Kort sagt: jo mindre intervall, jo mer n?yaktig. Hva om vi da tar grenseverdien av summen, der \(\Delta T'\) g?r mot 0. Siden tidsintervallet n? blir uendelig lite, vil vel tiln?rmingen v?re uendelig god, alts? en eksakt verdi. Men hva vil det si ? ta grenseverdien av en sum? Du husker kanskje ? ha l?rt om Riemannssummer som en definisjon av det bestemte integralet i R2. I en Riemannssum lar man lengden av intervallene g? mot null, og f?r integralet av det utrykket vi ganger summen med, som her var en delt p? gamma. Summen av de uendelig sm? intervallene er alts? et integral over \(T\). Men for ? kunne l?se integralet m? vi finne et utrykk for gamma som inneholder \(T\) som variabel. Med startfart lik 0 (siden vi starter integralet der Lisa snur) vil vi kunne finne farten gitt ved akselerasjonen og tiden \(T\). Setter vi inn for farten i integralet, og l?ser det kommer vi frem til at akselerasjonen tar ca. 75.5 ?r i Lisas referansesystem. Dette var halvparten av tiden Lisa brukte p? ? akselerere, s? totalen blir 151 ?r. Ved ? legge til de 57 ?rene Lisa reiste med konstant fart, f?r vi at Lisa er 208 ?r eldre n?r hun komme tilbake til Homey.?

?

Konklusjon

M?lt fra Homey tok Lisa sin reise til Destiny 202 ?r, det samme gjorde hjemreisen fra Destiny. Den f?rste delen av akselerasjonsfasen (frem til Lisa snur) tok 94 ?r og den andre delen m? ta tatt like lang tid. Summerer man opp blir dette til sammen 592 ?r. Det har alts? g?tt 592 ?r p? Homey n?r Lisa kommer tilbake. Lisa brukte, m?lt i sitt referansesystem, 28.5 ?r p? reisen til Destiny og like lang tid p? hjemreisen fra Destiny (etter akselerasjonen). Vi fant nettopp at hver halvdel av akselerasjonsfasen tok 75.5 ?r. Summerer man opp her blir det 208 ?r. Mens det har g?tt 592 ?r p? Homey, har Lisa bare blitt 208 ?r eldre. Hva med tiden observat?rer i Lisas referansesystem observerer p? Homey. For ? utforske denne tiden hadde brukte vi en observat?r i samme referansesystem som Lisa, men som var ved Homey, som s? observerte tiden p? klokkene p? Homey. Vi uendelig mengde av disse, slik at det alltid var en ved Homey. Idet Lisa kom frem til Destiny ville en slik observat?r observere at hadde g?tt 4 ?r p? Homey sine klokker. Vi fant ogs? at idet Lisa snur (og hadde felles referansesystem med Homey) m?tte denne observat?ren observere samme tid som de p? Homey gjorde idet Lisa snudde. Denne tiden var 296 ?r. Siden de to delene av akselerasjonsfasen var tilsvarende, m? observat?ren ved Homey i Lisas referansesystem se at klokkene til Homey viser 588 ?r idet Lisa slutter ? akselerere (n?r hun er tilbake ved Destiny igjen). Tilslutt vil observat?ren ved Homey i Lisas referansesystem observere at tiden p? Homey idet Lisa kommer tilbake er 592 ?r, slik at Lisa og tvillingen Misa er enige om at Misa har blitt 592 ?r eldre. Vi ser at i l?pet av akselerasjonsfasen ?ker tiden observat?rer i Lisas referansesystem observerer p? Homey med 584 ?r. I Lisa sitt referansesystem tar akselerasjonen 151 ?r. I l?pet av disse 151 ?rene, vil observat?rer i Lisas referansesystem observere at det g?r 584 ?r p? Homey. De p? Homey mener selv at akselerasjonsfasen tar 94 ?r.