Oppgave 3
Tvillingparadokset er et ber?mt s?kalt "paradoks" innen den spesielle relativitetsteorien. Kort sagt g?r det ut p? at vi har to tvillinger, der den ene reiser ut i verdensrommet i et romskip, mens den andre forblir p? jorda. P? grunnen av tidsdilatasjonen og symmetrien i relativitetsteorien vil begge tvillingene p?st? at den andre eldes mindre enn seg selv. N?r tvillingen i romskipet kommer tilbake til jorda, hvem av dem er da eldst? Begge mente jo at seg selv eldet mest, men de kan ikke v?re b?de eldre og yngre enn hverandre. Dette er paradokset. Det virker her som at den spesielle relativitetsteorien f?rer til en selvmotsigelse. Vi skal n? utforske dette paradokset, og kanskje viser det seg at det ikke er et paradoks i det hele tatt.?
?
Situasjonen
Istedenfor jorda skal vi bruke en hjemplanet Homey. Fra Homey skal Lisa reise i et romskip med farten \(v=0.99c\), mens tvillingen hennes Misa, blir igjen p? Homey. Lisa skal reise til enn annen planet Destiny, hvor hun s? snur og reiser tilbake igjen til Homey. Destiny st?r i ro sett fra Homey. For ? utforske denne situasjonen har vi dermed to referansesystemer. Det f?rste systemet er systemet der planetene er i ro. Her bruker vi ikke-merkede koordinater \((t, x)\), der Homey er i \(x=0\) og Destiny er 200 ly (lys?r) unna (langs x-aksen). Det andre referansesystemet er det der romskipet til Lisa, Apollo-Out, er i ro. Her bruker vi merkede koordinater \((t', x')\), der Apollo-Out alltid er i \(x' = 0\).?
Videre har vi to eventer. Event A er at Apollo-Out drar fra Homey. Vi lar dette v?re origoeventet v?rt, slik at \(x_A = x_A' = 0\) og \(t_A = t_A' = 0\). Event B er at Apollo-Out ankommer Destiny. Hva s? med hjemreisen? N? har vi jo bare eventer som beskriver reisen til Destiny, men hva med reisen fra Destiny og tilbake?
For ? utforske dette skal vi legge til enda en planet i planetsystemetsystemet, Beyond, og enda et referansesystem som reiser motsatt vei av Apollo-Out systemet. Men det kommer vi til etterhvert.?
?
Hva er reisetiden(e)?
Vi m? starte med ? regne litt, f?r vi kan utforske paradokset ordentlig. F?rst er det lurt ? gj?re om alle avstandene til yr (?r), siden vi mest er interessert i tiden og hvor gamle Lisa og Misa blir. La oss kalle avstanden mellom Homey og Destiny, sett fra Homey, for \(L_0\). Siden vi vet at denne gitt i lys?r og ?nsker den i ?r, kan vi dele p? lysfarten gitt i lys?r per ?r (ly/yr). Siden lyset reiser 1 lys?r per ?r (fra definisjonen av lys?r), er lysfarten 1 ly/yr. Vi f?r da \(L_0 = \frac{200ly}{1 ly/yr} = 200 yr\). Observer ogs? at farten i naturlige enheter blir \(v=0.99\).?
For ? finne tiden Lisas reise til Destiny tar, m?lt av observat?rer p? Homey, kan vi dele avstanden i Homey-systemet \(L_0\) p? farten romskipet reiser med. Gj?r en dette f?r man 202 yr. Ved ? bruke tidsdilatasjon p? denne tiden f?r man at Lisa m?ler at denne turen tar 28.5 yr. Her er tidsdilatasjon gitt ved \(\Delta t = \gamma \Delta t'\), der \(\Delta t'\) er egentiden til en observat?r. Men hva er egentid?
- Egentiden er tiden mellom to eventer i et system der eventene skjer p? samme sted.
Tiden vi jobber med er tiden mellom to eventer A og B. Siden b?de event A og B skjer ved Apollo-Out, skjer A og B p? samme sted (\(x'=0\)) i Apollo-Out-systemet. Egentiden til disse eventene er da gitt i Apollo-Out-systemet, som da er tiden Lisa m?ler. Ved da l?se tidsdilatasjonsligningen for egentiden finner vi tiden reisen tar for Lisa, som var 28.5 yr. Som vi snart kommer til, trenger vi ikke bruke Lisas tid som egentid. Formelen gjelder for egentiden som tiden mellom to eventer som skjer p? samme sted for i et system. Vi kan dermed definere passende eventer slik at vi kan bruke formelen andre veien "andre veien" ogs?. Det viser seg at da endrer betydningen av denne tiden seg, noe vi kommer tilbake til.?
Hvor lang tid tar hjemreisen da? For ? regne p? dette trenger vi enn? ikke inkludere den ekstra planeten Beyond. Vi kan enten regne p? det som reisen fra Homey til Destiny, eller bruke symmetriargumenter, som vi skal. Sett i planetsystemet er hjemreisen \(L_0\) lang, og den reises med farten \(v=0.99\), slik at denne tar like lang tid. Hjemreisen tar alts? 202 yr m?lt fra Homey. P? tilsvarende vis kan vi bruke tidsdilatasjon der tiden reisen tar m?lt av Lisa er egentiden. Dette er en egentid mellom to eventer: avreise fra Destiny og ankomst til Homey, tilsvarende egentiden over. Tiden m?lt av Lisa blir da igjen 28.5 yr. Med disse beregningene ser vi at Reisen sett fra Homey totalt tar 404 ?r, mens den tar 57 ?r for Lisa.?
N? skal vi bruke tidsdilatasjon andre veien. Vi skal la tiden p? Homey v?re egentiden, og bruke tiden vi fant at Lisa m?lte (28.5 ?r) til ? regne ut tiden p? Homey. For ? gj?re dette tar vi utgangspunkt i Misa. Misa starter en stoppeklokke idet Lisa forlater Homey. Dette er starteventet for egentiden p? Homey. Slutteventet lar vi v?re at Misa ser ned p? klokken sin, og noterer ned tiden. Tiden hun noterer ned vet vi ikke enda. Bruker vi n? tidsdilatasjon med Misa sin tid som egentiden. L?ser vi da ligningen for Misa sin tid, og bruker at Lisa sin tid er 28.5 ?r, f?r vi at denne er 4 ?r. Misa noterer seg alts? ned 4 ?r. Hvordan vet hun at hun skal notere dette? Kanskje bare er det en tilfeldighet at hun noterer dette, eller s? har hun kanskje regnet p? at det er denne tiden hun skal notere ned (akkurat som oss). N? virker det som at reisen som for Lisa tok 28.5 ?r, tok b?de 202 ?r og 4 ?r p? Homey. Du tenker kanskje at vi har funnet paradokset? Nei det har vi ikke. Det ser kanskje slik ut, men som jeg sa endret betydningen av tiden vi regner ut n?r vi definerte en ny egentid, 4 ?r. Vi kommer etterhvert til den faktiske betydningen av denne tiden. Gj?r vi n? tilsvarende beregning p? hjemreisen, f?r vi at Misa sin egentid ogs? her er ?r. Dette kommer av den tilsvarende symmetrien vi brukte over for ? regne ut tiden hjemreisen tar, sett fra Homey.?
N? har det s?kalte paradokset oppst?tt. Vi fant f?rst at reisen til Lisa, sett fra Homey tok 404 ?r tilsammen. Men n? nettopp regnet vi ut at de to 28.5 ?rige reisene til Lisa hver svarte til en 4 ?rs periode p? Homey. Den totale reisen svarer da til 8 ?r. Men reisen kan ikke ha tatt b?de 404 ?r og 8 ?r, p? Homey. Dette er paradokset. Lisa kan ikke komme tilbake og se at Misa er 8 ?r eldre, mens Misa, fra sitt eget perspektiv, har blitt 404 ?r eldre. Har Misa blitt 8 ?r eldre, eller 404 ?r eldre? For at den spesielle relativitetsteorien skal v?re gyldig m? Misa enten bli 8 eller 404 ?r eldre. Med andre ord m? Lisa og Misa v?re enige om Misas alder.
I spesiell relativitet er to referansesystemer som beveger seg med en fart \(v\) relativt til hverandre ekvivalente. Det vil si at hver av dem kan p?st? (ved tidsdilatasjon) at den andres tid g?r saktere og den andre dermed eldes mindre. Det er det vi s? ovenfor. Lisa sier at sin reise til Destiny tar 28.5 ?r og n?r hun bruker tidsdilatasjon p? denne reisen kommer hun frem til at Misa blir 4 ?r eldre. Samtidig m?ler Misa at reisen til Lisa tar 202 ?r, og ved ? bruke tidsdilatasjon med Lisas tid som egentid, kommer Misa frem til at Lisa blir 28.5 ?r eldre. N?r vi dobbler disse tidene for ? ogs? inkludere hjemreisen, f?r vi 404, 57 og 8 ?r. S? hvem har blitt eldst?
Det viser seg at den nevnte ekvivalensen faller sammen. Dette skjer idet Lisa g?r fra ? reise til Destiny, til ? reise tilbake til Homey. Lisa har f?rst farten \(0.99\) vekk fra Homey, mens s? p? hjemreisen har hun farten \(0.99\) p? vei mot Homey. Det betyr at Lisa skifter referansesystem. Hun endrer p? farten sin, s? da g?r hun over i et annet referansesystem, som har den nye farten. Vi har dermed ikke kontroll over hva som skjer i byttet av referansesystemene. Formelen for tidsdilatasjon er utledet med en antagelse om konstant fart, men n? har ikke Lisa konstant fart gjennom hele reisen: hun bytter fart ved Destiny. Vi kan ikke legge sammen tider vi finner med tidsdilatasjon for to forskjellige referansesystemer (siden vi da bytter fart, slik at farten ikke er konstant), s? det er en feil i argumentene brukt til ? komme frem til paradokset. Det som faktisk skjer er at Lisa akselererer (siden hun endrer farten sin), og under akselerasjonen dukker tidsdifferansen mellom de 404 og 8 ?rene.
?
Situasjonen II
N? skal vi se litt mer p? detaljene i skiftet mellom referansesystemene for reisen til Destiny og hjemreisen. For ? gj?re dette skal vi introdusere den nye planeten Beyond, som ligger p? linje med Homey og destiny og er 200 lys?r unna Destiny (400 lys?r unna Homey). Vi introduserer ogs? et nytt referansesystem, med Peter, som reiser fra Beyond til Destiny, og videre til Homey, med samme fart \(v=0.99\) som Lisa (bare i motsatt retning). Peter har alltid ?nsket seg en tvilling, Qeter. Det har han dessverre ikke, men som tr?st fikk han delta i utforskningen av tvillingparadokset. Peters referansesystem har dobbelt-merkede koordinater \((t'', x'')\), der Peter alltid har posisjonen \(x''=0\). La oss n? tenke oss at vi har uendelig mange uendelig mange romskip i en k? i b?de Peter og Lisa sitt system. I Lisa sitt system har beveger k?en seg forbi Homey, mot Destiny, og s? videre til Beyond. K?en i Peter sitt system, beveger motsatt retning. I Figur 1, er dette illustrert med heiser istedenfor romskip.?
Apollo-Out systemet har n? blitt til et system der k?en med heiser st?r i ro, la oss kalle det tursystemet (hvorfor blir snart ?penbart). Disse heisene, og dermed dette systemet beveger seg med en fart \(v\) relativt til Homey. Den andre k?en utgj?r n? det dobbel-merkede systemet, der k?en er i rom la oss kalle dette systemet retursystemet. N?r Lisa kommer til Destiny hopper hun over til den andre k?en med heiser (retursystemet), og starter dermed hjemreisen sin. Hun bytter dermed referansesystem.?
La oss n? introdusere noen nye eventer. La event D v?re at Peter starter reisen sin fra Beyond. I retursystemet skjer dette i \(x_D'' = 0\) (husk at Peter alltid har \(x'' = 0\)) og ved tiden \(t'' = 0\). I planetsystemet skjer dette ved tiden \(t = 0\) og i \(x = 2L_0\) (husk at Beyond er 400 ly unna Homey). Videre har vi at event B n? er at Lisa og Petter kommer til Destiny samtidig, siden de reiser samme avstand med samme fart, for ? komme til Destiny.?
Vi introduserer eventet B' som skjer samtidig som event B i tursystemet. Dette eventet er at samtidig som event B skjer (Lisa kommer til Destiny), sender en person ved Homey i tur-k?en et lyssignal signal til Misa. Misa skriver ned tiden hun leser av p? stoppeklokken sin n?r hun f?r lyssignalet. Tilsvarende skal vi ha et event B'', som er samtidig som B, men n? i retursystemet. Dette er at en person, som er ved Homey, i retur-k?en, sender et lyssignal til Misa idet Peter kommer til Destiny. Misa skriver ogs? ned tiden hun leser av her.?
?
Misas signaler
Vi skal n? se p? event B', og se hvilken tid Misa noterer ned. For ? gj?re dette skal vi bruke noe som kalles Lorentz-transformasjoner. Dette ligninger som forteller oss hvordan posisjon og tid i to referansesystemer med et origoevent relaterer til hverandre (slik som planetsystemet og tursystemet). Vi skal ta utgangspunkt i to referansesystemet, et med umerkede koordinater \((t, x)\), og et med merkede koordinater \((t', x')\). Det merkede systemet beveger seg med en fart \(v\) i positiv x-retning relativt til det umerkede systemet. Da har vi at?
\(\quad\quad t' = \gamma (t - vx)\)
\(\quad\quad x' = \gamma (x - vt)\)
Detter er transformasjonen fra det umerkede til det merkede systemet. Hvis du pr?ver ? sl? opp dette, husk at i naturlige enheter er lysfarten \(c=1\). ?nsker vi transformere andre vei, fra det merkede til det umerkede systemet, er det bare ? bytte ut \(v\) med \(-v\). Dette kommer av at det umerkede systemet har en fart v i negativ x-retning relativt til det merkede systemet. Da f?r man?
\(\quad\quad t = \gamma (t' + vx')\)
\(\quad\quad x = \gamma (x' + vt')\)
Vi ?nsker ? finne tiden til event B i tursystemet, og event B' i planetsystemet, med Lorentztranformasjonen. La oss starte med f?rstnevnte. For ? finne \(t_B'\) trenger vi \(t_B\) og \(x_B\). \(x_B\) er jo bare posisjonen til Destiny, s? denne er \(L_0\). \(t_B\) er jo bare lengden Lisa reiser delt p? farten, s? \(L_0/v\). Bruker man Lorentztransformasjonen finner man da at \(t_B' = 28.5\) yr (husk at \(L_0 = 200\) yr). Bruker vi s? lengdekontraksjon for ? finne lengden Lisa reiser sett fra tursystemet, blir dette \(L_0/\gamma\). V?r obs p? at for lengdekontraksjonen er \(L_0\) egenlengden, som er lengden i systemet der start- og sluttpunktet for lengden er i ro. Lengden mellom Homey og Destiny (lengden Lisa reiser) er i ro i planetsystemet, s? Lisa opplever en kontrahert lengde. Gj?r vi s? tilsvarende argumenter for de merkede koordinatene til event B', og Lorenz-transformerer vi, f?r vi \(t_{B'} = 4\) yr.?
Vi ser n? at vi har kommet frem til en tid de samme tidene som tidligere. Inkluderer vi tiden reisen til Destiny tar m?lt fra Homey (202 ?r), f?r vi de kjente tidene 202, 28.5 og 4 ?r. N? kan vi forts? hva de 4 ?rene egentlig er. Som nevnt hadde denne tiden en annen betydning n?r vi brukte tidsdilatasjon til ? finne den. Den er ikke tiden reisen til Destiny fra Homey tar, men tiden da Misa f?r vite at Lisa har kommet frem i tursystemet. Reisen tar alts? 202 ?r sett fra Misa sitt perspektiv. Men etter 4 ?r f?r Misa vite at for de som er i tursystemet har Lisa kommet frem til Destiny. Etter 4 ?r ser observer alts? Misa at Lisa ikke er fremme, men f?r en mystisk beskjed om at Lisa er fremme. Vi hadde at event B og B' var samtidige i tursystemet, de er derimot ikke samtidige i planetsystemet. Idet Lisa kommer frem til Destiny (f?r hun bytter heis) vil hun observere at det har g?tt 4 ?r p? Homey (siden dette er tiden p? Homey sett av en observat?r i samme system som Lisa). Lisa vil alts? p?st? at reisen hennes tar 4 ?r, p? Homey sine klokker. Lisa ser derfor at Misa blir 4 ?r eldre mens hun reiser til Destiny. For Misa, kommer ikke Lisa frem til Destiny etter 202 ?r.
Ved ? introdusere eventet B' har vi alts? funnet ut av hva disse 4 ?rene som Misa noterer seg betyr. La oss n? se litt mer p? hvordan vi fant disse 4 ?rene tidligere. For ? kunne bruke tidsdilatasjon med Misas tid som egentid, m?tte vi definere to eventer som skjer p? samme sted p? Homey. Disse var at Misa startet stoppeklokka si idet Lisa dro av g?rde, og at Misa s? p? klokka si og noterte ned tiden, 4 ?r. Vi ser n? at dette eventet, der Misa noterer tiden, og event B' er samme event. De skjer ved samme tid, og p? samme sted, ergo m? de v?re samme event.?
Vi skal p? ta en titt p? event B''. Vi skal finne tider som tilsvarer de i event B', bare at disse tidene er de tilh?rende B''. Ved ? gj?re dette kan vi ogs? belyse hjemreisen og byttet mellom heisene (referansesystemene). Siden Lisa bytter system skal vi n? se p? retursystemet, og planetsystemet. Siden disse to systemene ikke har et origoevent kan vi ikke bruke Lorentztransformasjoner p? dem. Vi skal derfor over til ? bruke tidromsavstanden (og dens invarians), som de kan lese om her. Ved ? gj?re lignende argumenter som over kan man komme frem til disse tidromsavstandene:
| \(\Delta t_{BD} = \frac{L_0}{v}\) | \(\Delta x_{BD} = L_0\) |
| \(\Delta t_{BD}'' = t_B''\) | \(\Delta x_{BD}'' = 0\) |
| \(\Delta t_{DB''} = t_{B''}\) | \(\Delta x_{DB''} = 2L_0\) |
| \(\Delta t_{DB''}'' = \frac{L_0}{v\gamma}\) | \(\Delta x_{DB''}'' = \frac{L_0}{\gamma}\) |
Setter vi opp ligningene gitt av invariansen av tidromsavstanden og l?ser dem f?r vi \(t_B'' = t_B' = 28.5\) yr og \(t_{B''} = 400\) yr. Det f?rste resultatet forteller ogs? at b?de Peter og Lisa bruker 28.5 yr, sett i sitt eget referansesystem, p? ? komme til Destiny. Det neste resultatet forteller oss at Lisa f?r vite fra en person plassert ved Homey i retursystemet at Peter har ankommet Destiny i retursystemet, etter 400 ?r. Lisa noterer alts? ned 400 ?r, fra lyssignalet i event B''. Antar vi n? at heisene er sv?rt n?rme hverandre slik at Lisa kan bytte referansesystem p? en neglisjerbar tid, f?r vi at lyssignalet til Misa sendes idet Lisa kommer ombord i retursystemet, i samme heis som Peter. Dermed kan de 400 ?rene Misa noterer anses som da hun f?r beskjed om at Lisa er ombord i retursystemet, sett fra retursystemet. Dette er 4 ?r mindre enn det hele reisen til Lisa tar. Misa f?r alts? vite at Lisa er i retursystemet 4 ?r f?r Lisa er tilbake. Her ser vi en parallell til de fire ?rene Misa noterte tidligere. Igjen vil bruken av tidsdilatasjon med Misas tid som egentid, ha inkludert to eventer som er skjer p? samme sted p? Homey, slev om vi ikke eksplisitt definerte dem. Disse eventene vil v?re at Lisa f?rst noterer seg 400 ?r etter ? se lyssignalet, og deretter at Lisa kommer tilbake 4 ?r senere.?
Idet Lisa kommer seg inn i retursystemet vil tiden p? Homey v?re 400 ?r, siden observat?ren i retursystemet observerer dette p? Lisa sin stoppeklokke. Men rett f?r Lisa byttet referansesystem hadde det jo g?tt 4 ?r p? Homey. Hva har skjedd? Det viser seg at i l?pet av den lille tiden det tok Lisa ? bytte referansesystem, har det g?tt 396 ?r p? Homey. Akselerasjonen som endrer farten til Lisa fra \(0.99\) vekk fra Homey, til \(0.99\) p? vei mot Homey, f?r tiden til ? g? ekstremt fort p? Homey, sett fra Lisas perspektiv. Som nevnt kunne vi ikke bruke tidsdilatasjon p? denne perioden, og dermed fant vi ikke ut at dette, n?r vi utforsket situasjonen tidligere. Vi kan heller ikke bruke resten den spesielle relativitetsteorien p? en periode der Lisa akselererer, siden Lisa da ikke er i et treghetsystem (eller fri flyt som man ofte kaller det i relativitetsteorien). (Dette er en liten l?gn, se her for ? bli opplyst). Vi kan dermed heller ikke bruke tidromsavstanden til ? regne p? perioden da Lisa akselererer. Vi kan allikevel forst? hva som skjer, nemlig at mens Lisa akselererer, s? g?r tiden ekstremt fort p? Homey. Dette kom vi frem til ved ? introdusere de to eventene B' og B''. Disse lot oss finne tiden Lisa observerer p? Homey rett f?r og rett etter hun bytter referansesystem. D? m? differansen (\(400yr - 4yr = 396yr\)) v?re tiden som g?r p? Homey mens Lisa akselererer. Etter at Lisa har akselerert observerer hun at tiden p? Misas klokke er 400 ?r. Lisas hjemreise tar 4 ?r p? Homey, sett fra retursystemet. Misa vil observere at hjemreisen tar 202 ?r.
?
Konklusjon
Lisa starter reisen sin fra Homey i et n?r stoppeklokken hennes og Misas er starter. Etter 28.5 ?r, m?lt p? Lisa sin stoppeklokke, kommer Lisa frem til Destiny. P? samme tidspunkt i tursystemet sender en observat?r som er ved Homey i k?en et lyssignal om at Lisa er fremme ved Destiny. Dette skjer n?r klokka til Misa viser 4 ?r, og dermed observerer Lisa at tiden p? stoppeklokken til Misa er 4 ?r, mens hennes egne viser 28 ?r. S? hopper Lisa over i det retursystemet. Klokken hennes viser da fortsatt 28.5 ?r, siden det tar henne sv?rt kort tid ? hoppe, men n? observerer hun at tiden p? Misa sin stoppeklokke er 400 ?r. I l?pet av hoppet til Lisa har det g?tt 396 ?r p? Homey, sett fra Lisas perspektiv. N?r Lisa hopper over til den andre heisen blir hun akselerert (for ? endre farten sin). Dette f?rer til at tiden g?r ekstremt fort p? Homey fra Lisas perspektiv. Lisa reiser s? hjem igjen, og tiden p? Lisas stoppeklokke ?ker da med 28.5 ?r til. N?r Lisa kommer tilbake har det g?tt 404 ?r (p? Misas stoppeklokke) p? Homey, siden Lisa dro. Hjemreisen til Lisa tar 4 ?r, og dermed vil Lisa og Misa v?re enige om at det har g?tt 404 ?r p? Homey. P? Lisas klokke st?r det 57 ?r. Dermed viser det seg at Misa (404 ?r eldre) ble eldst, etter Lisas (57 ?r eldre) reise.?
Paradokset l?ses alts? ved ? innse at spesiell relativitet ikke gjelder for Lisas akselerasjon, og at vi dermed introduserer eventene B' og B'' som lar oss utforske akselerasjonen uten ? regne p? den direkte.?
?