oppgave 4

Vi skal n? unders?ke akselerasjon og romtidsdiagramer i spesiell relativitet litt n?rmere, ved ? se p? et kappl?p mellom tre raketter. Vi har ogs? en romstasjon som fungerer som startstrek, og som referansesystem. Her skal den ene raketten akselerere, slik at vi kan se p? hvordan akselerasjon ser ut i den spesielle relativitetsteorien. Vi kan ikke regne p? akselerasjon i den spesielle relativitetsteorien, p? samme m?te som referansesystemer med konstant fart, men man kan se mer kvalitativt p? situasjonen, ganske lettvindt. For ? gj?re dette skal vi bruke s?kalte tidromsdiagrammer, som kan plotte bevegelser.?

?

Situasjonen

Sett fra romstasjonen s? har rakett 1 og 2 konstant fart, i samme retning, men rakett 2 beveger seg fortere enn rakett 1. Rakett 3 starter i ro relativt til romstasjonen, men den akselererer. Som sagt skal romstasjonen fungere som en startstrek, slik at rakettene starter ved denne ved tiden \(t=0\). I alle referansesystemene skal tiden v?re 0 n?r rakettene er ved romstasjonen.?

?

Metode

Situasjonen kan representeres gjennom et romtidsdiagram, som er et slags plott over bevegelsen, men istedenfor ? plotte bevegelse langs y-aksen, og tid langs x-aksen som er vanlig i klassisk fysikk, skal vi gj?re det motsatt. Vi legger alts? tiden langs y-aksen, og posisjonen langs x-aksen. Vi velger ogs? enhetene p? aksene slik at hvis en verdenslinje (grafen til et objekt) heller i \(45^\circ\) betyr det at den g?r i lysfart. Det vil si at vi bruker naturlige enheter, der vi da enten har regnet avstand om til sekunder, eller tid om til meter. I naturlige enheter er lysfarten \(1\), slik at lysets hastighet er en linje med stigningstall 1 (eller -1 for bevegelse i negativ x-retning), alts? en linje som danner vinkelen \(45^\circ\) med x-aksen. Posisjonskurvene til romskipene kalles i slike tidromsdiagrammer kalles verdenslinjer.

Diagrammet for rakketracet i romstasjonen sitt referansesystem ser slik ut:

Vi ser i Bilde 1 at romstasjonen, og de to rakettene med konstant fart har rette verdenslinjer. Romstasjonens verdenslinje peker rett opp, den beveger seg bare gjennom tid, den st?r nemlig stille, i sitt eget referansesystem. En linje rett opp svarer her til ? ha null fart: posisjonen endrer seg ikke. N?r verdenslinja ikke g?r rett opp har objektet en fart i referansesystemet som tidromsdiagrammet tegnes i. At kurven er line?r betyr at romskipet har en konstant fart, noe vi ser for romskip 1 og 2. Dette kommer av at posisjonen endrer seg like mye til enhver tid. Vi ser at verdenslinja til rakett 2 danner en mindre vinkel med x-aksen enn den til rakett 1. Da er rakett 2 n?rmere lysfart, som stemmer overens med at den er raskere. Dette kommer av at endringen i posisjonen til rakett 2 er st?rre enn endringen i posisjonen til rakett 1, per tid. Den mer interessante verdenslinja, er den til rakett 3, som akselererer. Hvis vi antar konstant akselerasjon, vil verdenslinja f?lge kurve, med asymptote langs \(45^\circ\). Siden uansett hvor mye eller hvor lenge vi akselererer vil man aldri g? over lysfarten. Den vil bare komme n?rmere og n?rmere. Denne asymptoten er ikke tegnet inn i Bilde 1. P? rakett 3 sin verdenslinje ser vi ogs? at den starter i ro, da verdenslinja f?rst g?r rett opp. Videre heller verdenslinja s? mer og mer mot h?yre, som svarer til h?yere og h?yere fart. Vi ser alts? akselerasjonen i at farten (relativt til romstasjonen) ?ker. Etter hvert heller verdenslinja til rakett 3 mer mot h?yre enn den for rakett 2, slik at rakett 3 etterhvert oppn?r st?rre fart enn den for rakett 2.

Men n?r man n?rmer seg lyshastighet, skjer det mye rart. Som dere vet sakker tiden ned ved h?ye hastigheter. Dette kaller vi tidsdilatasjon. Dette kan vi ogs? vise p? tidromsdiagrammet ved ? markere egentiden langs verdenslinjen, med intervall avhengig av helningen. Alts? vil et gitt intervall egentid ta mer plass p? verdenslinja til rakett 2 enn p? verdenslinja til romstasjonen. For eksempel, hvis vi velger to events, et n?r alle rakettene er ved romstasjonen, og et n?r rakett 3 tar igjen rakett 2, s? sier vi at dette tar \(10ms\) sett fra romstasjonen, og \(8ms\) sett fra rakett 2. At tiden p? romstasjonen er lengre enn den p? rakett 2, kommer av at egentiden til event 1 og 2 er tiden i rakett 2, der event 1 og 2 skjer p? samme sted. Romtidsdiagrammet ser da slik ut:

Bilde 2 viser eksempelet beskrevet over, vi har markert tidsaksen istedenfor verdenslinja til romstasjonen, men siden vi er i romstasjonens referansesystem, blir jo dette det samme. Her er intervallet mellom merkene \(1ms\), b?de for romstasjonen og rakett 2, og som vi kan se er avstanden mellom merkene st?rre p? verdenslinja til rakett 2 enn p? tidsaksen. Denne m?ten ? visualisere egentid kan v?re nyttig for ? forst? hva som skjer med rakett 3, som akselererer. Men hvor stor avstand skal det v?re mellom merkene p? verdenslinja til rakett 3, som jo har varierende helning? Jo, hvis den har varierende helning gir det jo mening at den har varierende avstand. Hvis vi lar avstanden mellom merkene p? verdenslinja til rakett 3 v?re lik avstanden p? en tangensiell verdenslinje for v?rt punkt. Grunnen til at vi ser p? avstanden til merkene p? en tangent i det gitte punktet, er at denne gir oss tidsdilatasjonen akkurat da. Dette kommer av at i l?pet av et kort tidsintervall vil ikke farten endre seg noe s?rlig, og dermed er farten tiln?rmet konstant (og lik "farten" til tangenten). Da kan vi bruke tidsdilatasjon p? tangentens verdenslinje for ? tiln?rme "tidsdilatasjonen" til den akselererte verdenslinjen. Du kan lese mer om bruken av korte intervaller til ? tiln?rme akselerasjon i den spesielle relativitetsteorien her. I Bilde 3 har vi tegnet merkene p? verdenslinje til rakett 3:

Bilde 3 viser hvordan vi kan markere egentiden til et akselerert objekt, vi kan se helt i starten at avstanden mellom merkene er lik avstanden p? tidsaksen. Videre blir avstanden lengre og lengre, etterhvert lengre enn avstandene p? verdenslinja til rakett 2. Dette kommer av at i starten har rakett 3 fart lik 0, slik at tiden ikke dilateres. N?r farten ?ker vil tiden dilateres mer, og n?r rakett 3 f?r st?rre fart enn rakett 2, s? blir avstanden mellom merkene st?rre enn de for rakett 2. S? hvem opplever mest tid?

Vi kan telle opp merkene p? diagrammet for ? se hvor lang tid rakett 3 opplever, men da m? man v?re veldig n?ye n?r man tegner opp diagrammet (noe vi ikke har v?rt). Hvis man kun er ute etter mer eller mindre, og ikke n?yaktige tall, kan man bruke et mer kvalitativt argument. Man har nemlig et prinsipp i relativitet, litt som Newtons f?rste lov, som sier at et objekt, ikke p?virket av ytre krefter, vil f?lge verdenslinja som gir den maksimale egentiden. Dette prinsippet kalles prinsippet om maksimal aldring. Aldringen referer her til hvor mye eldre en person ville blitt om de f?lger en verdenslinje. At aldringen skal v?re maksimal, betyr at personen vil f?lge den verdenslinja som gir st?rst egentid. Et objekt i ro vil forbli i ro, fordi det er da den beveger seg mest gjennom tiden. Samme med et objekt med konstant fart, selv om den ville g?tt fortere gjennom tiden om den hadde hatt mindre fart, s? vil det ? deakselerere den f?re til at den g?r saktere gjennom tid, f?r den kan g? fortere. Ser vi da kun p? akselerasjonsdelen av bevegelsen, og ikke der den oppn?r lavere fart, vil egentiden ikke v?re maksimal for akselerasjonsdelen. Men det g?r jo imot prinsippet, siden raketten da ikke har fulgt banen som gir minst egentid i l?pet av akselerasjonen. Hvordan tiden p?virkes av akselerasjon kan du lese mer om i postene v?re om tvillingparadokset. Prinsippet om maksimal aldring i den svarer egentlig til Newtons f?rste lov, som sier at n?r summen av kreftene er lik null, vil objektet ha konstant fart. Her s? vil objekter som summen av kreftene p? er lik null, bevege seg med konstant fart, siden dette er det som maksimerer egentiden.

Hvis vi bruker prinsippet om maksimal aldring p? rakettkappl?pet, f?r vi at rakett 2 eldes maksimalt, siden den ikke blir p?virket av ytre krefter. Rakett ?3 derimot p?virkes av en motorkraft, slik at rakett 3 ikke eldes maksimalt, og opplever da en kortere egentid mellom event 1 og 2 enn rakett 2.?

?

Konklusjon

Ved ? se p? tidromsdiagrammer for bevegelse, kan vi visualisere hvilken effekt akselerasjon har i den spesielle relativitetsteorien. F?rst tegnet vi tidromsdiagrammet sett fra romstasjonen sitt referansesystem. Der s? vi at romstasjonen sin verdenslinje gikk rett opp, siden romstasjonen sto i ro. Videre var rakett 1 og 2 sine verdenslinjer line?re, siden de hadde konstant fart relativt til romstasjonen. Rakett 2 sin linje helte mer mot h?yre, siden denne hadde st?rre fart. Rakett 3 sin verdenslinje var ikke line?r, som svarte til at den akselererte. Den startet f?rst ved tiden 0, med ? g? rett oppover, og helte deretter mer og mer mot h?yre. Dette svarte til at den startet med fart lik 0, og deretter ?kte farten. Etter hvert ble farten til rakett 3 st?rre enn den til de andre rakettene, og dette s? vi ved at rakett 3 sin verdenslinje etter hvert helte mer mot h?yre enn de line?re verdenslinjene. Tilslutt tok rakett 3 igjen rakett 2, i event 2. N?r vi s? p? tiden som gikk i de forskjellige referansesystemene, hadde rakett 2 en egentid mellom event 1 og 2, som gjorde at tiden gikk saktere p? rakett 2 enn romstasjonen. Dette kunne vi tegne p? tidromsdiagrammet med merker for antall millisekunder. For rakett 3 m?tte avstanden mellom merkene variere, siden farten varierte. Vi fant da at avstanden var mindre i starten, siden raketten da hadde mindre fart. Ved ? tilslutt bruke prinsippet om maksimal aldring, fant vi at siden rakett 3 opplever en motorkraft, ville tiden g? raskest p? denne (den hadde ikke maksimal egentid mellom event 1 og 2).