Oppgave 5
Massebevaring
Vi har alle h?rt om? \(E=mc^2\) , men det er sjelden vi ser eksempler p? at den er viktig i det daglige, noe av det n?rmeste vi kommer er kjernereaksjoner, som fungerer fordi at masse konverteres til energi. Hvis vi for eksempel har et n?ytron i h?y hastighet som henfaller til et proton og et elektron (og et antin?ytrino), viser det seg at massen ikke er bevart. Alts? kan den totale massen f?r og etter en kjernereaksjon v?re forskjellige. Massen som forsvinner blir om til energi, som Einstein fant ved uttrykket \(E = mc^2\). Vi skal n? utforske hvordan farten til n?ytronet og farten til elektronet og protonet blir i denne situasjonen, og bruke dette til ? vise at massen ikke bevares.
?
Situasjonen
Vi skal bruke referansesystemet til n?ytronet, som har merkede st?rrelser. Relativt til labsystemet har n?ytronet en fart \(0.868000c\) i positiv x-retning. N?ytronet gj?res s? om til et proton og et elektron, der vi ignorerer antin?ytrinoet, siden det har sv?rt lav masse og vil ikke p?virke resultatet noe s?rlig. Vi ?nsker ? finne farten til protonet og elektronet etter reaksjonen. Siden N?ytronet har null fart i sitt eget system, skal vi bruke dette systemet, siden det er lettere ? regne p?. Vi lar n?ytronets masse v?re \(m_n = 1.67492747\cdot 10^{-27}\) kg, protonets masse \(m_p = 1.67262158\cdot 10^{-27}\) kg, og elektronets masse \(m_e = 9.10938188\cdot 10^{-31}\) kg.?
?
Metode
Man kan beskrive situasjonen ved hjelp av fire-vektorer (forklart her), og vi kan sette opp en momenergi-vektorer for de ulike partiklene, i de ulike referansesystemene. Formelen for momenergi-voktrer er \( P_\mu = m \gamma (1, \vec{v}) \), hvor \(\vec{v}\) er den romlige farten, og \( \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \) er Lorentz-faktoren assosiert med den romlige farten, og \(m\) er massen.
For elektronet i n?ytronets referansesystem har vi da \(P'_\mu (e)=m_e \gamma'_e (1, \vec{v}'_e)\) hvor \(m_e\) er elektronmassen, \(v'_e\) er farten til elektronet relativt til n?ytronet, og \( \gamma'_e=\frac{1}{\sqrt{1-v'^2_e}} \). Utrykket ser slik ut siden farten \(\vec{v}'_e\) er farten til elektronet i n?ytronsystemet. Da vil lorentzfaktoren bli \(\gamma'_e\), sett fra n?ytronet. Ved ? bruke denne farten og Lorentzfaktoren kan vi da uttrykke momenergien sett fra n?ytronets system, slik som vi har gjort det her. P? tilsvarende vis vil memenergien til protonet bli \(P'_\mu (p)=m_p \gamma'_p (1, \vec{v}'_p)\), der \(v'_p\) er farten til protonet i n?ytronsystemet, og \( \gamma'_p=\frac{1}{\sqrt{1-v'^2_p}} \).
Mens momenergien til n?ytronet sett fra n?ytronet ?\(P'_\mu (n)=m_n \gamma'_n (1, \vec{v}'_n)\), men siden farten til n?ytronet relativt til seg selv n?dvendigvis er null f?r vi: \(v'_n=0\) og \(\gamma'_n=\frac{1}{1-v'^2_n}=\frac{1}{1-0}=1\), gir oss: \(P'_\mu (n)=(m_n,0)\)
Ved bevaring av momenergi, kan det vises at
\(\quad\quad \gamma'_p=\frac{m_n^2 + m_p^2 - m_e^2}{2 m_p m_n}\)
og
\(\quad\quad v_e'=\sqrt{\frac{C}{1+C}}\)
der
\(\quad\quad C=\left( \frac{v_p' \gamma_p' m_p}{m_e} \right)^2\).
? vise dette skal vi ikke gj?re, siden det er mye stygg algebra. Siden vi n? kan finne et tall for \(\gamma'_p\), kan vi l?se \( \gamma'_p=\frac{1}{\sqrt{1-v'^2_p}} \) for \(v'_p\) og f?
\(\quad\quad v'_p=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma_p'^2}}\),
Hvis vi n? antar bevaring av masse, alts? \(m_n=m_p+m_e\) f?r vi:?
\(\gamma'_p=\frac{m_n^2 + m_p^2 - m_e^2}{2 m_p m_n}=\frac{m_n^2 + (m_p - m_e)(m_p+m_e)}{2 m_p m_n} = \frac{m_n^2 + (m_p - m_e)m_n}{2 m_p m_n} = \frac{m_n + m_p - m_e}{2 m_p} = \frac{m_p + m_e + m_p - m_e}{2 m_p} = \frac{2m_p}{2 m_p} =1\)
Dette gir oss?
\(v'_p=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma_p'^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{1}}=0\)
Protonet har alts? null fart i n?ytronsystemet, hva s? med elektronet? Vi har i s? fall?
\(C=\left( \frac{v_p' \gamma_p' m_p}{m_e} \right)^2=0\)?
og dermed
\(v_e'=\sqrt{\frac{C}{1+C}}=0\)
Hvis vi antar massebevaring har b?de elektronet og protonet null hastighet i n?ytronsystemet. Siden dette er hastighet relativt til n?ytronets referansesystem, slik at n?r begge har null hastighet betyr det at elektronet og protonet ligger opp? hverandre i origo til n?ytronsystemet. Dette er umulig, slik at en av dem m? bevege seg fortere enn den andre for at de ikke skal forbli p? samme sted. Siden elektronet og protonet m? ha forskjellig fart, har vi et annet resultat enn det for antagelsen om bevaring av massen. Da kan ikke massen v?re bevart.?
?
Konklusjon
Ved ? sette opp momenergien for n?ytronet f?r, og elektronet og protonet etter, delingen, og bruke bevaring av momenergi, kan man finne farten til protonet og elektronet. Bruker man bevaring av masse, viser det seg at elektronet og protonet holder seg p? samme sted i n?ytronsystemet. Dette er umulig siden partiklene ikke kan v?re "inni" hverandre. Vi har dermed vist at massen ikke er bevart, noe som er sentralt i kjernefysikken. Som nevnt blir massen som "mangler" omgjort til energi, og dette forklarer da f.eks. solas energiproduksjon ved fusjon, og v?r energiproduksjon med fisjon.
?