Oppgave 6

Vi har sett her at tid i spesiell relativitet blir litt som ¨¦n til dimensjon, og at ting som skjer, eventer, har koordinater i tiden i tillegg til de vanlige romlige dimensjonene. Et event A har da koordinater \((t_A,x_A,y_A,z_A)\). Og p? samme m?te som et punkt kan representeres ved en posisjonsvektor, kan et event representeres som en vektor med fire dimensjoner, en s?kalt fire-vektor. Vi kan skrive posisjons-firevektoren til et objekt som \(r_\mu=(t,x,y,z)\),der t, og x, y, z er posisjonen, sett fra et igtt referansesystem . Dere trenger ikke bry deres om denne \(\mu\)-en. Dette fire-vektor begrepet kan utvides fra tidromsposisjon, til tidromsfart og -bevegelsesmengde. Den mest ?penbare fremgangsm?ten for ? finne fart fra posisjon, er ? derivere posisjonen med hensyn p? tiden. Men det blir jo rart n?r tiden er forskjellig i forskjellige referansesystemer. Det viser seg ? v?re gunstig ? derivere med hensyn p? egentiden mellom de to eventene som definerer bevegelsen. Tidromsfart er tidromsposisjon derivert med hensyn p? egentid.?Vi har at firevektorfarten dermed er

\(V_\mu =\frac{d r_\mu}{d\tau}=\left(\frac{d t}{d\tau},\frac{d x}{d\tau},\frac{d y}{d\tau},\frac{d z}{d\tau}\right)\)?

der \(t\) er tiden i det gitte referansesystemet, og \(\tau\) er egentiden. Lurer du p? denne notasjonen med disse \(d\)-ene, er dette bare en annen m?te ? skrive derivert p?. Du kan lese mer om dette her. Bruker vi n? kjerneregelen f?r vi

\(V_\mu=\left(\frac{d t}{d\tau},\frac{d x}{dt}\frac{d t}{dt}\frac{d t}{d\tau},\frac{d y}{dt}\frac{d t}{d\tau},\frac{d z}{dt}\frac{d t}{d\tau}\right)=\) \( \frac{d t}{d\tau} \left(1,\frac{d x}{dt} \frac{d t}{dt},\frac{d y}{dt},\frac{d z}{dt} \right)=\gamma (1,v_x,v_y,v_z)\)

hvor \(\gamma\) er Lorentz-faktoren fra uttrykket for tidsdilatasjon \(dt=\gamma d\tau\), alts? tidsdilatasjonen mellom tiden \(dt\) til referansesystemet vi jobber i, og egentiden til objektet \(d\tau\). Vi har ogs? brukt kjerneregelen: \(\frac{d f(t)}{d\tau}=\frac{d f (t)}{dt} \frac{dt}{d\tau}\).

Tidromsbevegelsesmengde finner man p? samme m?te som i klassisk fysikk, ved ? gange massen med farten. Da f?r vi?

\(P_\mu=m V_\mu =m \gamma (1,v_x,v_y,v_z) \)

Dere kjenner kanskje igjen de romlige komponentene fra uttrykket for relativistisk bevegelsesmengde \(p=\gamma m v\). Det viser seg at tidskomponenten er den relativistiske energien \(E=m\gamma\). Vi kan tiln?rme dette uttrykket med en s?kalt taylorrekke for lav fart (mye mindre enn lysfarten) (se her), og de to f?rste leddene er \(m+\frac{1}{2} m v^2\). Det andre leddet er jo den kinetiske energien i klassisk mekanikk. Det f?rste leddet er det vi kaller hvilenergien, som blir \(mc^2\) i SI-enheter, og er hvor den kjente \(E=mc^2\) kommer fra. Det viser seg at denne relativistiske energien er bevart, og det er derfor vi definerer den som energien. Det samme gjelder bevegelsesmengden.

Siden tidromsbevegelsesmengden inneholder b?de energi og bevegelsesmengde kalles den gjerne momenergy, fra de engelske ordene for bevegelsesmengde og energi, og vi kan skrive den \(P_\mu=(E,\vec{p})\), der \(\vec{p}\) er bevegelsesmengden i de tre romlige dimensjonene.

Men hva er lengden til en slik vektor? Akkurat som at vi bruker Pytagoras for ? finne lengden av en vektor i tre dimensjoner, m? vi bruke Lorentzgeometriens versjon av Pytagoras her. Da f?r vi lengden?

\(|r_\mu| = \sqrt{t^2 - x^2 - y^2 - z^2}\)

Sammenligner du dette med tidromsavstanden i Lorentzgeometrien, ser du hvor denne lengden kommer fra. Finner vi lengden av bevegelsesmengde-firevektoren blir dette

\(|P_\mu| = \sqrt{E^2 - p^2}\)

I tillegg har vi at?

\(|P_\mu| = |mV_\mu| = m|V_\mu| = m\gamma|(1, \vec{v})| = m\gamma\sqrt{1^2 - v^2} = m\)

der roten og \(\gamma\) forkortes mot hverandre. Vi har dermed at \(m = \sqrt{E^2 - p^2}\), som gir?

\(E^2 = m^2 + p^2\)

Vi har n? funnet en sammenheng mellom masse og relativistisk energi og bevegelsesmengde.

?

Vi skal n? se p? momenergien til fotoner, som er et interessant tilfelle fordi de er massel?se, og siden de beveger seg med lysfart, blir \(\gamma=\infty\) som vil si at uttrykket for et foton som beveger seg i x-retning burde se slik ut: \(P_\mu^\gamma=\infty \cdot 0 (1, 1,0,0)\) (vi bruker enheter slik at \(c=1\)). Men dette gir ikke s? mye mening, s? her har noe g?tt galt. La oss pr?ve en annen fremgangsm?te. Vi s? over at \(E^2 = m^2 + p^2\). Siden fotoner ikke har noen masse, f?r vi \(E = p\). Bruker vi n? at \(P_\mu=(E,\vec{p}\), slik at vi f?r \(P_\mu^\gamma = (E,E,0,0)\) for et foton som beveger seg langs x-aksen.

Feilen ligger i at tiden p? en m?te st?r stille ved lysfart, s? et foton vil alltid ha egentid lik null, s? vi kan ikke derivere med hensyn p? den for fotoner. Dermed holder ikke utledningen v?r, men heldigvis gjelder fortsatt \(P_\mu=(E,\vec{p}\), og vi vet at for fotoner har vi \(E=h f\) og \(p=\frac{E}{c}\). Og siden vi har \(c=1\) har vi for et foton som beveger seg langs x-aksen \(P_\mu^\gamma = (E,E,0,0)\)

Fire-vektorer kan v?re nyttige for ? l?se mange problemer i relativitet, et eksempel er n?r antimaterie kolliderer med materie. Dette vil produsere en hel masse fotoner, og vi skal n? bruke fire-vektorer til ? finne ut hvilken retning disse fotonene tar.

S? se for dere to identiske romskip p? vei mot hverandre, den eneste forskjellen mellom dem er at den ene best?r av antimaterie. N?r en materie- og antimateriepartikkel kolliderer blir de annihilert, og gjort om til energi. Denne energien kommer i form av fotoner. La rakett A v?re den venstre raketten med fart \(v_A \) i positiv x-retning (mot h?yre), relativt til en planet. Rakett B er da den h?yre raketten med fart \(v_B = -v_A\), relativt til planeten. Planetens referansesystem skal ha umerkede koordinater, med x-akse lang rakettenes bevegelse. V?rt andre referansesystem skal v?re det til en observat?r som f?lger rett bak rakett A (med samme fart). Dette systemet skal ha merkede koordinater. N?r disse to rakettene kolliderer vil all massen deres konverteres til energi, i form av en hel masse fotoner. Vi skal anta at alle fotonene har samme b?lgelengde.

I prinsippet kunne all energien fordele seg p? to fotoner. Grunnen til at det m? v?re to er p? grunn av bevaring av bevegelsesmengde, siden de to romskipene er like tunge, har samme fart og er p? vei mot hverandre er bevegelsesmengden null f?r kollisjonen, og m? dermed v?re det samme etter kollisjonen. Hvis det ene fotonet beveger seg i positiv retning langs x-aksen, m? det andre fotonet bevege seg i negativ x-retning. Som sagt er den relativistiske energien og bevegelsesmengden bevart. Til sammen kan vi kalle dette bevaring av momenergy. Fra planetsystemet vil den totale bevegelsesmengden f?r annihilasjonen v?re 0. Siden bevegelsesmengden bevares, m? de to fotonene ha samme bevegelsesmengde, men i motsatt retning. Siden bevegelsesmengden var lik energien, m? fotonene ha like mye energi.

Dette er selvf?lgelig ikke begrenset til fotoner langs x-aksen. Hvis de to fotonene hadde beveget seg langs en linje som danner en vinkel \(\theta\) med x-aksen blir uttrykkene \(P_\mu^\gamma=(E, E \cos{\theta}, E \sin{\theta},0)\) og \(P_\mu^{-\gamma} = (E, -E \cos{\theta}, -E \sin{\theta}, 0)\). Dette er bare en enkel dekomponering av bevegelsesmengden, som fortsatt m? v?re lik energien. Vi ser at om vi adderer disse firevektorene f?r vi 0 bevegelsesmengde, siden x- og y-koordinatene er like, men med motsatt fortegn. Da er bevegelsesmengden bevart, slik at dette er et gyldig uttrykk for momenergyen. Merk at disse fotonene beveger seg i motsatt retning, noe vi trenger i neste avsnitt.

Vi ser n? p? situasjonen med mange fotoner som sendes ut i kollisjonen, i alle retninger. Disse vil ha lik energi, siden de har samme b?lgelengde, og \(E = hf = h/\lambda\) for fotoner. Siden de sendes ut i alle retninger, m? det for hvert foton finnes et foton som beveger seg i motsatt retning. Som vi s? over, vil to fotoner med motsatt retning (gitt at de har samme energi), ha til sammen null bevegelsesmengde. Da vil den totale bevegelsesmengden bevares siden hvert foton har et annet foton som kansellerer sin bevegelsesmengde.?

Vi skal n? fokuserer p? alle fotonene som beveger seg langs x-aksen.

En annen fordel med fire-vektorer er at det finnes regler for hvordan de endres under bytte av referansesystem. Det er dette som er det generelle tilfellet av Lorentz-transformasjon. Hvis vi har et referansesystem med merkede koordinater, som beveger seg med en fart \(v\) langs den positive x-aksen, relativt til et referansesystem med umerkede koordinater, har vi

\((t',x',y',z')= (\gamma t - v \gamma x, \gamma x -v\gamma t, y,z) \)?

hvor \(\gamma\) er Lorentz-faktoren med farten \(v\). Du kan lese mer om transformasjonen her. Transformasjonen gjelder for alle fire-vektorer. Det betyr at koordinatene \(t\), \(x\), \(y\) og \(z\), og deres merkede ekvivalenter, ikke trenger ? v?re tid og posisjon. De kan ogs? v?re energi og bevegelsesmengde. S? hvis vi vil vite hvordan momenergien til fotonene som beveget seg langs x-aksen i planetsystemet ser ut for det merkede referansesystemet, kan vi bruke transformasjonen. For et foton som beveger seg i positiv eller negativ x-retning har vi

\(P^{\pm \gamma}_\mu=(E,\pm E,0,0) \)?

der det ?vre fortegnet i \(\pm\) svarer til bevegelse i positiv x-retning. Bruker vi transformasjonen f?r vi?

\(P'^{\pm \gamma}_\mu = (\gamma E - v \gamma (\pm E), \gamma (\pm E) - v\gamma E, 0,0)= E \gamma (1 \mp v , v \mp 1 ) \)

Energien til fotonene i det merkede referansesystemet, er dermed \(E' = E \gamma (1 \mp v)\), der det ?vre fortegnet fortsatt svarer til bevegelse i positiv x-retning. Dette er et interesant resultat, fordi selv om ikke farten til fotoner endrer seg mellom referansesystemer, s? gj?r energien og bevegelsesmengden det! Man kan ogs? forklare dette fenomenet gjennom lengdekontraksjon eller tidsdilatasjon. Det er jo ikke farten til fotonet som bestemmer energien dens, det er jo b?lgelengden eller frekvensen. S? selv om ulike observat?rer ikke vil m?le ulik fart p? det samme fotonet, s? kan de m?le ulik b?lgelengde og frekvens, og dermed energi og bevegelsesmengde.

Med firevektorer f?r vi en st?rrelse kalt momenergy ut fra den naturlige definisjonen p? 4-vektor-bevegelsesmengde (masse ganger fart). Da blir romkoordinatene til momenergy-vektoren relativistisk bevegelsesmengde, og tidskoordinaten energien. Det viser seg at momenergy er bevart i den spesielle relativitetsteorien, og dermed er (relativistisk) energi og bevegelsesmengde bevart. Har vi n? to fotoner som reiser i motsatt retning, med samme b?lgelengde, har disse til sammen bevegelsesmengde lik null. Dette kom av at for fotoner var bevegelsesmengde lik energien, og siden fotonene reiser i motsatt retning, f?r bevegelsesmengden motsatt fortegn. I en materie-antimaterie-kollisjon vil da to fotoner som reiser i motsatt retning f?re til at bevegelsesmengden bevares i kollisjonen, noe som er n?dvendig. Hvis vi s? antar at fotonene g?r i alle retninger, vil det alltid v?re to og to fotoner som beveger seg i motsatt retning, og kansellerer hverandre bevegelsesmengde. Dermed bevares bevegelsesmengde ogs? i det tilfellet. Tilslutt s? vi p? hvordan energien til fotonene ser ut i et referansesystem som beveger seg relativt til planeten. Vi ser at fotoner som beveger seg i positiv x-retning, som er samme retning som det merkede systemet beveger seg, f?r mindre energi enn seg i motsatt retning, i dette systemet.