Oppgave 1

Du har nok v?rt borti dopplerskift f?r. Ofte er det snakk om at f.eks. en stjerne beveger seg mot eller fra oss, og dermed s? endres b?lgelengden p? lyset som vi observerer. Du kan lese mer om dette her. N? skal vi ha ? gj?re med gravitasjonelt dopplerskift. Noe av det den generelle relativitetsteorien er mest kjent for, er at masse "b?yer" tidrommet. Denne b?yingen er det vi kaller gravitasjonsfelt i den klassiske mekanikken. Ved b?yd tidrom viser det seg at p? forskjellige steder i tyngdefeltet vil den samme lysstr?len f? forskjellige b?lgelengder. Denne endringen av b?lgelengde alt etter som hvor man befinner seg, er den gravitasjonelle Dopplereffekten. Vi ?nsker n? ? finne en formel for denne og ? gj?re en forenkling som gj?r den penere i svake tyngdefelt.

?

Situasjonen

Vi skal se p? lys som beveger seg radielt ut fra en masse \(M\). Vi skal anta at personen som observerer lyset er utenfor tyngdefeltet til \(M\). Vi kaller dette en langt vekk observat?r. Dette svarer til ? v?re uendelig langt unna, men i praksis holder det at man er sv?rt langt unna. B?lgelengden langt vekk observat?ren m?ler, m? vi sammenligne med en b?lgelengden m?lt p? et annet sted (i tyngdefeltet). For ? gj?re dette skal vi introdusere en s?kalt skallobservat?r. For en planet er noen p? overflaten en skallobservat?r. Noen p? toppen av Empire State Building vil ogs? v?re en skallobservat?r, men de vil ha en annen avstand til sentrum av massen. Da er tyngdefeltet litt svakere, og tidrommet vil dermed v?re annerledes b?yd. Det er alts? avstanden til sentrum som karakteriserer de forskjellige skallobservat?rene.?

Merk at n?r vi i generell relativitetsteori snakker om et tyngdefelt, s? mener vi ikke et felt der man har tyngdekraft. I generell relativitet er gravitasjon nemlig ikke en kraft, men b?yingen av tidrommet. Med tyngdefelt mener vi alts? et omr?de der tidrommet er b?yd av en masse, og ikke et omr?de med en faktisk tyngdekraft. N?r vi nevner tyngdefeltet i resten av postene om generell relativitet er det dette vi mener.

Vi kan se for oss at en skallobservat?r peker en laserpenn rett opp og observerer b?lgelengden \(\lambda_{\text{skall}}\). N?r b?lgelengden har reist langt vekk kommer den til en langt vekk observat?r, som m?ler b?lgelengden \(\lambda\). Vi skal indeksere alle st?rrelsene som observeres av skallobservart?ren med "skall". St?rrelsene langt vekk observat?ren m?ler gis uten indeks.?

?

Metode

Siden denne "b?yingen" av tidrommet f?rer til den gravitasjonelle dopplereffekten m? vi se litt n?yere p? denne. Hvis du husker tilbake p? den spesielle relativitetsteorien hadde vi en tidromsavstand \(\Delta s\) som var invariant. Det samme har vi i den generelle relativitetsteorien. Forskjellen er formelen for tidromsavstanden. For en kuleformet masse (som en planet, stjerne eller svart hull) ser den slik ut for en langt vekk observat?r:

\(\quad\quad \Delta s^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right) \Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{1 - \frac{2M}{r}} \)

Her er \(\Delta t\) tiden mellom to eventer m?lt av langt vekk observat?ren, og \(\Delta r\) den radielle avstanden mellom dem, m?lt av langt vekk observat?ren. \(M\) er massen til objektet og \(r\) er avstanden fra sentrum av massen til eventene, m?lt i langt vekk observat?rens referansesystem. N?r man m?ler tidromsavstander slik, har man Schwartschildgeometri. I den spesielle relativitetsteorien hadde vi Lorentzgeometri. Egentlig er det et siste ledd som beskriver tangentiell avstand mellom eventene, men det trenger vi ikke n?. Ser vi n?ye ser vi at vi tar leddet med tiden minus leddet med avstanden. Husker vi tilbake p? Lorentzgeometrien gjorde vi det samme der.

Som nevnt b?yes tidrommet ulikt p? forskjellige steder. Dette kan vi se i formelen over, der koeffisientene inneholder \(r\). Tidromsavstanden avhenger alts? av i hvilken avstand fra sentrum av massen eventene skjer. Dette f?rer til at vi m? v?re litt mer forsiktige enn i Lorentzgeometrien. Siden tidromsavstanden er forskjellig p? forskjellige steder, m? tiden \(\Delta t\) mellom eventene og avstanden \(\Delta r\) mellom dem v?re sv?rt sm?. Da skjer eventene p? ca. samme sted og til ca. samme tid, slik at vi kan bruke formelen over.?

La oss se litt n?rmere p? skallobservat?rene. Disse kan v?re en observat?r som er i ro i en hvilken som helst avstand fra massen \(M\). Siden de er i ro har de en konstant avstand \(r\) fra sentrum av massen, m?lt av langt vekk observat?ren. Hvis de faller mot massen er de ikke lengre en skallobservat?r. Det gunstige med skallobservat?rer er at de har det vi kaller lokal Lorentzgeometri. Det vil si at hvis vi har to eventer som skjer sv?rt n?rme hverandre og sv?rt n?rme skall observat?ren, og ved ca. samme tid, kan vi bruke Lorentzgeometrien p? dem. Vi kan sammenligne dette med at lokalt sett ser jorda flat ut, men vi vet jo at den er rund. Lokalt i tidrommet ser tidrommet flatt ut, men det er jo egentlig b?yd. Her svarer flatt tidrom til Lorentzgeometrien.?

N? som vi vet litt om geometrien til tidrommet kan vi starte ? utforske dopplereffekten den gir. Som sagt skal vi sammenligne b?lgelengden \(\lambda\) som en langt vekk observat?r m?ler, med b?lgelengden \(\lambda_{\text{skall}}\) en skallobservat?r m?ler. Dopplerskiftet skriver vi?

\(\quad\quad \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0}\)

der \(\lambda_0\) er b?lgelengden uten et dopplerskift. Siden vi har en laser som sendes ut av skallobservat?ren, skal vi bruke skallobservat?rens m?lte b?lgelengde som \(\lambda_0\), og dermed langt vekk observat?rens b?lgelengde som \(\lambda\). Observer n? at vi kan skrive?

\(\quad\quad \frac{\Delta \lambda}{\lambda_{\text{skall}}} = \frac{\lambda - \lambda_{\text{skall}}}{\lambda_{\text{skall}}} = \frac{\lambda}{\lambda_{\text{skall}}} - 1\)

Alt vi trenger ? finne er dermed \(\lambda/\lambda_{skall}\). For ? gj?re dette trenger vi ? definere noen eventer. La event A v?re at en b?lgetopp p? lyset krysser utgangen av laserpennen, og B at den neste b?lgetoppen krysser utgangen. Vi observerer at disse eventene skjer p? samme sted, slik at romavstanden mellom dem for begge observat?rer er null. Vi har alts? \(\Delta r_{skall} = \Delta r = 0\). Siden lyset har lysets hastighet, tar det sv?rt kort tid mellom de to eventene, og vi kan bruke Schwartzchildgeometri for langt vekk observat?ren, og Lorentzgeometri for skallobservat?ren. Husk at eventene skjer ved skallobservat?ren, og p? samme sted og ca. samme tid, slik at vi har lokal Lorentzgeometri. Tidromsavstanden til langt vekk observat?ren blir da

\(\quad\quad \Delta s^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right) \Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{1 - \frac{2M}{r}} = \left(1-\frac{2M}{r}\right) \Delta t^2\)

der \(\Delta t\) er tiden mellom event A og B. For skallobservat?ren med lokal Lorentzgeometri f?r vi

\(\quad\quad \Delta s^2 = \Delta t_{\text{skall}}^2 - \Delta r_{\text{skall}}^2 = \Delta t_{\text{skall}}^2\)

der \(\Delta t_{\text{skall}}\) er tiden mellom event A og B for skallobservat?ren. Vi har da ved invariansen av tidromsavstanden at?

\(\quad\quad \left(1-\frac{2M}{r}\right) \Delta t^2 = \Delta t_{\text{skall}}^2\)

L?ser man s? ligningen for \(\Delta t\) f?r man

\(\quad\quad \Delta t = \frac{\Delta t_{\text{skall}}}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}}\)

Det viser seg at denne formelen er mye mer generell, enn i det tilfellet vi n? har utledet den. Den forteller oss faktisk hvordan tiden til en skallobservat?r og tiden til en langt vekk observat?r relaterer til hverandre. Utrykket under br?kstreken er alltid mindre enn 1, slik at \(\Delta t\) er st?rre enn \(\Delta t_{\text{skall}}\). Tiden g?r alts? raskere utenfor tyngdefeltet.?

Men tilbake til problemstillingen. Vi har n? forholdet til tidene for de to observat?rene, men hvordan kan vi bruke dette? Vi m? ta en liten tur innom det vi kan om lys (elektromagnetisk str?ling). Vi vet at frekvensen til str?lingen kan skrives \(\nu = 1/\Delta T\), der \(\nu\) er frekvensen og \(\Delta T\) er tiden mellom to b?lgetopper. Videre kan vi skrive b?lgelengden som \(\lambda = c/\nu\), der \(c\) er lysfarten. Hvis du husker tilbake til den spesielle relativitetsteorien brukte vi s?kalte naturlige enheter. Dette innebar ? sette \(c=1\), noe som ga mye finere uttrykk. Siden den generelle relativitetsteorien inkluderer tyngdekraft, blir det her naturlig ? ogs? sette \(G=1\) der \(G\) er Newtons gravitasjonskonstant. Ved ? sette b?de \(G\) og \(c\) lik 1, blir utrykkene mye finere. Tidromsavstanden til Schwartzchildgeometrien hadde faktisk v?rt mye styggere, om vi ikke hadde gjort det. Den inneholder nemlig noen \(G\)-er, som er satt til 1. N?r man setter \(G=1\) f?rer dette til at vi kan regne om masser til meter p? lignende vis som tid til meter her. Vi kommer til ? m?le alle masser, tider og avstander med meter i den generelle relativitetsteorien. Men nok om det.

Siden \(c=1\), blir formelen for b?lgelengden \(\lambda = 1/\nu\), der den fortsatt m?les i meter (eller nanometer, eller et-eller-annet-meter). Setter vi n? inn for frekvensen f?r vi

\(\quad\quad \lambda = \Delta T\)

La oss n? bruke denne formelen for b?lgelengden som langt vekk observat?ren observerer, og b?lgelengden skallobservat?ren observerer. Siden forholdet mellom tidene til langt vekk observat?ren og skallobservat?ren var?

\(\quad\quad \frac{\Delta t}{\Delta t_{\text{skall}}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}}\)

f?r vi?

\(\quad\quad \frac{\lambda}{\lambda_{\text{skall}}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}}\)

Dermed har vi at

\(\quad\quad \frac{\Delta \lambda}{\lambda_{\text{skall}}} = \frac{\lambda}{\lambda_{\text{skall}}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}} - 1\)

Vi har n? funnet et uttrykk for Dopplerskiftet i et tyngdefelt fra en kuleformet masse \(M\). Husk at \(r\)-en er avstanden som skallobservat?ren har fra sentrum av massen, m?lt av langt vekk observat?ren. \(r\) er dermed den avstanden fra sentrum av massen der lyset hadde b?lgelengden \(\lambda_{\text{skall}}\) (m?lt av langt vekk observat?ren). Hvis vi skal pr?ve ? se p? hvordan dette utrykket avhenger av \(r\) kan dette v?re krevende, siden det er flere br?ker osv. Denne formelen er alts? ikke alt for fin, s? kanskje vi kan finne en tiln?rming som er penere. Vi antar n? at \(r\) er mye st?rre enn \(2M\), slik at br?ken \(2M/r\) er n?rme 0. Hvis vi definerer \(x = 2M/r\) og \(f(x) = 1/\sqrt{1-x}\), har vi at?

\(\quad\quad \frac{\Delta \lambda}{\lambda_{skall}} = f(x) - 1\)

Hvis vi n? kan finne en tiln?rming for \(f\), vil vi ha en tiln?rming for dopplerskiftet. Standard m?ten ? gj?re dette p? er ? bruke en s?kalt Taylorrekke for funksjonen \(f\). Gj?r vi dette (til f?rste orden) f?r vi at?

\(\quad\quad f(x) \approx f(0) + f'(0)x\)

n?r \(x\) er n?rme null. Vi ser at dette er en line?r funksjon. Dette er en tiln?rming siden den har samme verdi som \(f\) n?r vi setter \(x=0\). Den vokser ogs? omtrent like raskt som \(f\) n?r \(x\) er n?rme null, siden \(f'(x)\) da vil v?re tiln?rmet lik\(f'(0)\). Vi kan ogs? tenke p? denne tiln?rmingen, som ? bruke tangenten til \(f\) i punktet \(0\) til ? tiln?rme \(f\). Siden vi hadde at \(x = 2M/r \approx 0\) kan vi bruke tiln?rmingen og f? at?

\(\quad\quad f(x) \approx 1 + \frac{1}{2}x\)

Setter vi tiln?rmingen for \(f\) inn i dopplerformelen ovenfor og setter inn for \(x\) f?r vi?

\(\quad\quad \frac{\Delta \lambda}{\lambda_{skall}} = \frac{M}{r}\)

Denne forenklingen av formelen for avstander fra sentrum som er mye st?rre enn \(2M\), gj?r den enklere ? jobbe med i disse tilfellene. Som litt kontekst vil f.eks. solas og jordas overflate ha en \(r\) som er mye st?rre enn \(2M\), der \(M\) er m?lt i meter. Ser vi p? dette uttrykket er det lettere ? se hvordan det avhenger av \(r\). Vi ser at n?r \(r\) minker, s? ?ker dopplerskiftet. Lys som starter lengre nede i tyngdefeltet vil alts? bli mer dopplerforskj?vet p? det elektromagnetiske spekteret. I tillegg er det n? enkelt ? se at dopplerskiftet er positivt. Det vil si at b?lgelengden langt vekk observat?ren m?ler er lengre enn den opprinnelige skall-b?lgelengden. Dette kaller vi en r?dforskyvning, siden b?lgelengden ?ker, og r?dt er det synlige lyset med st?rst b?lgelengde. Hvis det er snak om synlig lys, vil det alts? se mer r?dt ut for langt vekk observat?ren enn for skallobservat?ren.

Konklusjon

En masse vil "b?ye" tidrommet. Det vil si at avstands- og tidsm?l er forskjellige i forskjellige avstander fra en kulemasse \(M\). Siden avstandsm?let endrer seg, vil ogs? b?lgelengden endre seg ettersom hvor i tyngdefeltet man er. Vi ?nsket ? finne hvor mye b?lgelengder endret seg n?r man kommer langt unna massen. For ? gj?re dette brukte vi Schwartzschildgeometrien for en langt vek observat?r, og lokal Lorentzgeometri for en skallobservat?r, til ? finne et uttrykk for denne dopplereffekten som skyldes tyngdefeltet. P? veien om vi frem til et mer generelt uttrykk for tiden inni og utenfor tyngdefeltet, som fortalte oss at tiden g?r raskere utenfor tyngdefeltet, eller langt vekk fra massen. P? jorda er ikke dette veldig merbart, men vi skal etterhvert se at vi m? ta det i betraktning i GPS-satelitter. Uttrykket vi s? fant for dopplerskiftet var ikke s? pent og dermed vanskelig ? tolke. Vi antok dermed at avstanden til skallobservat?ren fra sentrum av massen, var mye st?rre enn \(2M\), og fant da en tiln?rming for uttrykket ved bruk av en Taylorrekke. Da ble det tydelig at dopplerskiftet ble st?rre, jo lengre ned i tyngdefeltet lyset startet, og at det er en r?dforskyvning.?