Stabile baner

Vi har n? gjennomf?rt en orbital injection maneuver, og er dermed i bane rundt destinasjonplaneten v?r. Hensikten med en slik man?ver er ? ende opp i en bane som er stabil, alts? at vi vil forbli i en liknende bane over tid. Ideelt sett ?nsker vi ? kunne forbli i banen for alltid!

Vi vil da sjekke om denne banen vi oppn?r er stabil, og eventuelt akkurat hvor stabil den er. N?r vi regner p? banen vil vi n? jobbe i SI-enheter (i stedet for AU og ?r), og vi vil ignorere alle legemer i solsystemet som ikke er planeten eller raketten. Dette gir oss da et to-legeme-system, som lar oss gj?re en rekke lure triks for ? beregne banen (vi har ikke tenkt til ? detaljere disse triksene her, men dersom du er interessert i slike ting anbefales det sterkt ? ta en titt p? det, det er utrolig kul fysikk).

F?rst regner vi om posisjonene og hastighetene fra forrige del til SI-enheter. Vi f?r f?lgende:

Disse tallene er litt vanskelige ? tolke alene, s? vi kan tegne de to legemene i planet (her har vi lagt planeten i origo, og vist hastigheten til raketten relativt til planeten):

Fra dette kan vi anta at raketten vil g? i bane rundt planeten mot klokka, alts? i positiv vinkelretning, akuratt som vi forventet. Vi har da at vinkelhastigheten vil v?re st?rre enn 0. Vi regner p? vinkelhastigheten og f?r?

\(\dot{\theta} = 1.03134 \; \cdot 10^{-4} \text{rad/s} > 0 \; \text{rad/s}\)

som er det vi forventet. Dette er da et lite tall, men vi m? huske at det er radianer per sekund! Dersom vi deler \(2 \pi\) p? dette, for ? f? tiden det tar for en full rotasjon (og vi antar en perfekt sirkelbevegelse), f?r vi en banetid p? \(0.7\) dager. Er dette realistisk? Den internasjonale romstasjonen kommer seg rundt den rent teoretiske planeten jorden ca 15.5 ganger om dagen, alts? en banetid p? 0,06 dager, som er betydelig raskere enn v?r rakett, men ISS befinner seg ogs? 400 km over jordoverflaten, alts? 6771 km unna jordens sentrum. For ? sjekke om dette er en realistisk banetid, m? vi ogs? finne hvor langt unna origo raketten v?r begynner. Vi regner p? dette og f?r?

\(r = 12006 \; \text{km}\)

Der r er distansen mellom sentrum av raketten og sentrum av planeten (origo). Dette er st?rre enn for ISS! Vi vet at i en slik sirkelbevegelse, der det kun er en radiell gravitasjonskraft, vil banetiden bli st?rre n?r radius ?ker. Siden vi har st?rre baneradius enn ISS, gir det da mening at vi ogs? har lengre banetid! (Vi vet ogs? at banetiden g?r opp dersom massen g?r ned, og vi vet at v?r planet er lettere enn det jorden er!)

Alle disse regningene antar at vi befinner oss i en perfekt sirkelbevegelse, og dersom banen v?r er stabil, vil vi v?re veldig n?rme dette. Vi vil n? beregne banen numerisk, for ? finne ut hvor stabil den er! For ? gj?re dette trenger vi systemets initialbetingelser. To av disse har vi fra f?r, radius \(r\) og vinkelhastighet \(\dot{\theta}\), men vi trenger ogs? den radielle hastigheten \(\dot{r}\), alts? hastigheten i retning radius. Vi har alts?:

Vi kan n? beregne rakettens baner. Vi simulerer rakettens bane for en full bane rundt planeten, og beregner en rekke verdier som er relevant for banen:

Dersom du trenger en refresh p? disse begrepene, kan du ta en titt p? denne tidligere posten. (Merk at vi her bruker utrykkene apoapsis og periapsis i stedet for aphel og perihel. Aphel og perihel er begreper som forutsetter at vi g?r i bane rundt solen, som vi n? ikke gj?r!)

Vi ser her at store og lille halvakse er nesten helt like, som reflekteres i at eksentrisisteten er nesten lik 0. Dersom vi hadde eksentrisitet lik 0, hadde vi hatt en perfekt sirkel, s? at vi er s? n?rme tyder til at banen er veldig sirkul?r. I tillegg, kan vi se at banetiden er veldig lik den vi beregnet tidligere, der vi antok at banen var en sirkelbane, som ogs? tyder mot at banen er sirkul?r.

Dette betyr dog ikke at banen er stabil; for alt vi vet kan den bevege seg i sirkelbane en gang rundt og s? forsvinne ut i rommet. For ? se om banen er stabil, m? vi simulere over en lengre periode. I f?rste omgang kj?rer vi simulasjonen for en rotasjon til.

(Merk at vi n? oppgir verdiene i relative differanser i forhold til den f?rste analysen.)

Vi ser her at store- og lille-halvakse har endret seg ekstremt lite, s? lite at simulasjonen runder det ned til 0. Vi vet at det ikke faktisk er 0, siden eksentrisiteten har endret seg med ca 0.2%, men siden denne avhenger av b?de store- og lille-halvakse, gir det mening at forskjellene er st?rre for eksentrisiteten. Alt tyder til at banen fortsatt er nesten helt sirkelformet, akkurat som f?r.

Vi vet n? at banen er stabil for to rotasjoner, men igjen betyr ikke dette veldig mye. For ? sjekke en gang for alle om banene er stabile, kj?rer vi simulasjonen for 2 ?r, og s? tester vi en gang til:

Igjen, er disse differansene veldig sm? (alle holder seg under 1%!), minus eksentrisiteten, som n? har en differanse p? 73% fra den f?rste analysen. Dette ser skummelt ut, men for samme grunn som tidligere, gir det mening at denne verdien er mindre konstant, og som vi kan se p? selve verdien, er den fortsatt veldig n?rme 0, som betyr at banen fortsatt er veldig n?rme ? v?re sirkul?r.

Som en siste test for ? forsikre oss selv, tegner vi denne siste banen:

Som forventet, er banen tiln?rmet lik en sirkel.

Med dette, er vi i m?l for denne gang. Vi kan n? g? i bane rundt planeten s? lenge vi vil, og v?re sikre p? at vi aldri vil forlate den (spesielt siden vi har tenkt til ? lande!). Dette betyr at vi kan begynne ? forberede oss til ? lande! Neste innlegg vil inneholde akkurat dette. Vi vil analysere planetens atmosf?re og overflate, for ? finne det ideelle stedet ? lande.

Sees om litt!