Vi ?nsker ? kunne lande trygt (alts? uten ? sprenge p? veien) og vi vil derfor modellere hvordan planetens atmosf?re ser ut. For ? gj?re dette, trenger vi ? beregne atmosf?rens "mean molecular weight"?\(\mu\), som er den gjennomsnittelige massen til partiklene i atmosf?ren, gitt i protonmasser. ? finne dette tallet er ikke en kort prosess! Det er litt av en reise ? komme dit (s? hold fast), og vi vil begynne med litt spektroskopi.
?
Dersom man ser p? lys gjennom et verkt?y som kalles for et spektroskop, vil man se et spekter. Dette spekteret inneholder alle fargene i lyset, eller alle b?lgelengdene som lyset best?r av. Dersom du har sett vinduet ditt bryte sollyset opp til en regnbue, har du da sett et spekter!
N?r dette lyset treffer en partikkel, vil den partikkelen absorbere enkelte b?lgelengder fra lyset, og sende resten av lyset videre. Hvilke b?lgelengder partikkelen absorberer avhenger av hvilken type partikkel det er. Dette betyr at ethvert stoff vil absorbere forskjellige b?lgelengder. Dette kan vi bruke! Hvis vi ser p? lyset som kommer ut av en gass med et stoff, fks. hydrogen, vil enkelte deler av spekteret vi ser v?re borte!
Vi kaller dette et absorpsjonsspekter. Siden vi vet at hydrogen absorberer disse b?lgelengdene (se fig 3), kan vi ved ? se p? spekteret finne ut om det er hydrogen i gassen eller ikke! Raketten v?r har innebygd spektroskop, s? vi kan se p? spekteret til lyset som kommer fra planetens atmosf?re, og finne ut hvilke stoffer som befinner seg i atmosf?ren!
I en ideell situasjon, kan vi se akkurat hvilke stoffer som har forsvunnet fra spekteret, men i realiteten er det ikke s? enkelt. Det er en rekke ting som gj?r arbeidet vanskeligere for oss.
Spektroskopet gir oss en lang rekke med data. Denne dataen er gitt i sett med tre, hvor hvert sett inneholder en b?lgelengde \(\lambda\), en fluks \(F\), og en st?y-verdi \(\sigma\).
| B?lgelengde \(\lambda\) [nm] | Fluks \(F\) | St?y \(\sigma\) |
| 624.002 | 0.984610 | 0.050055427 |
| 720.012 | 0.957286 | 0.050000413 |
| 816.022 | 1.02570 | 0.050497633 |
I en ideel verden ville alle b?lgelengder av en gitt lengde bli absorbert, men i virkeligheten blir mye av det igjen! For ? finne ut hvilke b?lgelengder som blir absorbert, m? vi se etter b?lgelengder der fluksen har fallt. Fluksen er her gitt mellom 0 og 1, der 1 er helt vanlig mengde av en gitt b?lgelengde (dersom du er oppmerksom, kan du se at en av de listede b?lgelengdene over har mer enn 1 som fluksverdi, men dette kommer kun fra st?y).
N? som vi vet dette, ville man kanskje tenkt at man kan visualisere alle fluksverdiene, og s? peke ut der det er m?lbare fluksfall. Et blikk mot fluksgrafen knuser denne dr?mmen:
Det er alt for mye st?y til ? peke ut fluksfallene ved ?yem?l! Vi trenger dermed en metode som lar oss se gjennom denne st?yen (og hold p? den tanken, vi kommer tilbake til det).
?
Til og med dersom vi hadde kunnet finne hvilke b?lgelender som har lavere fluks, hadde vi fortsatt hatt et problem; doppler-effekten. Fordi vi beveger oss i forhold til forhold til atmosf?ren, vil absorpsjonslinjene forflytte seg litt til h?yre eller venstre, ut i fra hvordan vi beveger oss. For en gitt b?lgelengde \(\lambda_0\), vil vi da i stedet observere et fluksfall ved \(\lambda_{center}\), som ligger litt unna \(\lambda_0\).
Vi har et utrykk for en slik doppler-forskyvning, og hvis vi antar at vi beveger oss med maks \(\pm 10\) km/s, kan vi finne et intervall for \(\lambda_{center}\):
\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{\Delta v}{c}\)
\(\Delta \lambda = \frac{\lambda_0 \Delta v}{c} = \frac{\lambda_0 \cdot 10^4}{3 \cdot 10^8} = \frac 1 3 \lambda_0 \cdot 10^{-4}\)
\(\lambda_{center} = \lambda_0 \pm \Delta \lambda \Rightarrow \lambda_{center} \in [\lambda_0 - ?\Delta \lambda,\lambda_0 + \Delta \lambda]\)
Dette gir oss alts? intervallet vi vil bruke for ? lete etter en gitt absorpsjonslinje.
Vi vil ogs? oppleve doppler-effekten fra at partiklene i atmosf?ren beveger seg. Her vil vi anta at gassen i atmosf?ren er en ideell gass. Hvis du husker fra aller f?rste innlegg, kan vi da anta at partiklenes hastigheter er gitt ved Maxwell-boltzmann-fordelingen, som er en variant av den gaussiske fordelingen. Vi husker ogs? at standard-avviket for denne fordelingen er gitt ved
\(\sigma_v = \sqrt{\frac{kT}m}\)
der k er boltzmann-konstanten, T er gassens temperatur, og m er partiklenes masse. Siden doppler-forskyvningen avhenger av v, og v er gaussisk, har vi at forskyvningen ogs? er gaussisk, og vi kan da, for en gitt b?lgelengde, finne standardavviket til doppler-forsyvningen:
\(\sigma_{\lambda} = \frac{\lambda_0 \sigma_v}{c}\)
\(\sigma_{\lambda} = \frac{\lambda_0}{c} ?\sqrt{\frac{kT}m}\)
(merk at vi fant standardavviket for forskyvningen, ved ? sette inn standardavviket til hastigheten inn i utrykket for forskyvningen som vi s? tidligere)
Dette gir oss det vi kaller en linjeprofil for absorpsjonslinjen. Vi kan visualisere denne linjeprofilen slik:
Vi kan se at linjen er sentrert rundt \(\lambda_{center}\) (som vi fra n? av for enkelthets skyld vil kalle \(\lambda_c\)), men at noen av b?lgelengdene rundt ogs? absorberes, bare ikke like tydelig. En slik linjeprofil kan modelleres ved funksjonen
\(F(\lambda) = 1 + (F_{min} - 1)e^{- \frac{(\lambda - \lambda_{c})^2}{2\sigma_{\lambda}^2}}\)
Denne funksjonen har, i tillegg til variablen \(\lambda\), 3 parametre.
- \(\lambda_c\), som er b?lgelengden til absorpsjonslinjen (etter doppler-skifte fra rakettens bevegelse)
- \(F_{min}\), som er den minste fluksverdien i linjeprofilen
- \(T\), som er temperaturen i atmosf?ren (denne er gjemt inni \(\sigma_{\lambda}\)
Merk at i motsetning til visualisasjonen i fig 5), vil ikke \(F_{min}\) v?re 0. Som regel vil ikke alt lyset for en gitt b?lgelengde bli absorbert (og i v?rt tilfelle vil vi faktisk anta at \(F_{min}\) er st?rre enn 0.7).
Dette utrykket er n?kkelen til ? finne stoffene i atmosf?ren. Vi vet hvilke stoffer som ofte forekommer i slike atmosf?rer, og hvilke b?lgelengder disse stoffene absorberer. Dersom vi klarer ? tilpasse en flukskurve p? formen \(F(\lambda)\) til dataen rundt b?lgelengden stoffene absorberer, s? tyder det mot at dette stoffet finnes i atmosf?ren!?
?
For ? gj?re denne tilpasningen, trenger vi en metode som bryter gjennom st?yet. Heldigvis finnes akkurat dette. Vi vil gj?re en \(\chi^2\)-optimering (uttalt kji-kvadrat-optimering), som lar oss tilpasse en kurve til data med st?y. En slik optimering g?r ut p? ? minimere f?lgende utrykk:
\(\chi^2 = \Sigma_{i = 1}^N \left(\frac{F_i - F(\lambda_i)}{\sigma_i}\right)^2 \)
Her er ?\((\lambda_i,F_i,\sigma_i)\) et sett fra dataen v?r. Vi summerer differansen mellom den forventede fluksverdien verdien \(F_i\), fluksverdien fra profilen \(F(\lambda_i)\), delt p? korresponderende st?y \sigma_i, for alle b?lgelengdene (innenfor et lite intervall).
Dersom vi gj?r dette for alle kombinasjoner av \(\lambda_c\), \(F_{min}\), og \(T\), og velger den kombinasjonen som minimerer \(\chi^2\), vil vi ha en tiln?rming til en linjeprofil (om dette er en god tiln?rming, er en annen sak. Vi skal se p? dette senere).
Figur 7 gir oss en idè om hvordan grafen en slik linjeprofil vil se ut (her har vi fluks p? y-aksen og b?lgelengder p? x-aksen). Vi vil alts? danne mange slike profiler, en for hver b?lgelengde som potensielt kan absorberes av atmosf?ren.
Vi vil n? forberede og gjennomf?re en slik \(\chi^2\)-optimering, og pr?ve v?rt beste ? skille de gode resultatene fra de d?rlige.
Logg inn for ? kommentere