X^2 - optimering (p? ekte denne gangen)

Vi har n? l?rt hvordan vi skal finne ut av hvilke stoffer som finnes i atmosf?ren. N? er det p? tide ? gj?re det! For ? gjennomf?re?\(\chi^2\)-optimeringen m? pr?ve mange kombinasjoner av \(\lambda_{c}\), \(F_{min}\), og \(T\), s? vi vil begynne med bestemme hvilke verdier for disse vi gidder ? pr?ve.

?

For \(\lambda_c\) er valget ganske lett. Vi fant et intervall for \(\lambda_c\) tidligere, nemlig?

\(\lambda_{c} \in [\lambda_0 - ?\Delta \lambda,\lambda_0 + \Delta \lambda]\)

n?r vi ser etter en spektrallinje n?r \(\lambda_0\).

?

For \(F_{min}\), har vi en naturlig ?vre grense ved \(F_{min} = 1\). Dersom den minste fluksverdien for en spektrallinje er h?yere enn 1, er det ?penbart ingen ekte spektrallinje der. Som vi s? vidt nevnte p? forrige side, antar vi at alle ekte fluks-fall vil v?re st?rre enn 0.7. Dersom vi antar at noen av disse fluks-verdiene kan dukke under 0.7 grunnet st?y, kan vi legge nedre grense p? \(F_{min} = 0.5\). Vi f?r da intervallet

\(F_{min} \in [0.5,1.0]\)

?

Til slutt, ser vi p? temperaturen. Den atmosf?riske temperaturen antas ? v?re et sted mellom 150 K og 450 K, s? akkurat som for \(F_{min}\), g?r vi litt utenfor slik at vi dekker tilfeller som hopper ut grunnet st?y. Vi dytter grensene med 50 K og f?r

\(T \in [100 K, 500 K] \)

?

N? som vi har bestemt hva parameterne kan v?re, kan vi gjennomf?re \(\chi^2\)-optimeringen. Vi ?nsker ? kj?re for en rekke forskjellige b?lgelengder, som absorberes av forskjellige stoffer:

Dette er alts? b?lgelengdene vi vil s?ke rundt, og vil bli grunnlagene for intervallet til \(\lambda_c\).

Vi kj?rer optimeringen, og f?r ut f?lgende profiler (hold fast, dette blir en stor tabell):

Dette er mange tall, s? la oss se p? akkurat hva de er.

\(\lambda_0\) er b?lgelengdene som vi vet kanskje har blitt absorbert. Dette er alts? midten av omr?det i dataen som vi ser p? under optimeringen.

\(\lambda_c\) er \(\chi^2\)-algoritmens beste anslag for hvor midten av linjeprofilen ligger. Dette er alts? sentrum av linjeprofilen etter doppler-forskyvning fra rakettens bevegelse. For ? finne denne doppler-forskyvningen, trekker vi fra \(\lambda_0\). Dette listes i tabellen som \(\Delta \lambda\).

\(F_{min}\) og \(T\) er \(\chi^2\)-algoritmens beste anslag for laveste fluksverdi i linjeprofilen, og temperaturen i gassen. \(F_{min}\) bestemmer hvor lavt linjeprofilen g?r, og temperaturen bestemmer hvor "bred" den er, alts? hvor mange b?lgelengder til hver side av \(\lambda_c\) som ogs? er p?virket av gassen.

?

Det f?rste vi kan se fra disse tallene, er at noen av linjeprofilene ?penbart ikke stemmer. Flere av linjeprofilene har temperaturer lik 500 K eller 100 K, som er ?vre og nedre grense for denne parameteren. Dette kommer av at ?\(\chi^2\)-metoden danner et sett med parametre uansett om denne linjeprofilen faktisk eksisterer. Det som skjer her, er at ?\(\chi^2\)-optimeringen har funnet ut av at den temperaturen som passer best for dette datasettet ligger utenfor v?re grenser, og da setter den temperaturen s? n?rme den f?r til, nemlig p? grensa. V?r jobb n?, er ? finne ut hvilke av linjeprofilene som er ekte, og hvilke som bare er tull.

I f?rste omgang, kan vi kaste ut alle profilene med temperatur lik 500 K eller 100 K. Som nevnt tidligere, vet vi at temperaturen burde v?re mellom 150 K og 450 K, s? dersom de er utenfor de allerede gener?se grensene vi satt, kan de ikke v?re riktige. Dette gir oss denne listen med resterende linjeprofiler:

Allerede n? har vi fjernet mange av b?lgelengdene, men herfra blir det litt mer t?kete. Vi kan se at linjeprofilen med \(\lambda_0 = 632\) nm har en veldig lav temperatur, ganske betydelig lavere enn grensen v?r p? 150 K, s? denne er mest sannsynlig feil. Vi kan da fjerne denne b?lgelengden:

Vi ser at linjeprofilene ved \(\lambda_0 = 1600\) nm og \(\lambda_0 = 2870\) nm har doppler-forskyvning av samme st?rrelsesorden, mens profilen ved \(\lambda_0 = 2200\) har en mye mindre forskyvning. Hvis vi snur p? formelen for doppler-forskyvning (se tidligere innlegg), kan vi finne hastighetene som vi antar at raketten beveger seg med i forhold til gassen for hver profil:

Her ser vi at hastighetene er nesten helt like for \(\lambda_0 = 1600\) nm og \(\lambda_0 = 2870\) nm! Det skal ganske mye til for begge disse profilene ? finne denne hastigheten dersom en av profilene er feil, s? vi kan v?re ganske sikre p? at disse profilene er riktige. Dette betyr da at profilen ved \(\lambda_0 = 2200\) nm ikke er riktig.?

Dersom vi ?nsker ? overbevise oss enda mer, kan vi se p? fluksene for de tre profilene. Vi ser da at \(\lambda_0 = 1600\) nm og \(\lambda_0 = 2870\) gir profiler som har lavere fluks enn \(\lambda_0 = 2200\). En litt h?yere fluks betyr ikke n?dvendigvis at profilen ikke er ekte, men en lavere fluks tyder til en "dypere" graf, som er vanskeligere ? danne ved st?y alene.

Som en siste test, kan vi se p? grafene som linjeprofilene produserer. F?rst en vi har fastsl?tt er feil:

Her er det vanskelig ? se om profilen stemmer med m?lingene. Det er alts? fullt mulig at fluks-fallet \(\chi^2\)-optimeringen har funnet kommer fra st?y. Vi kan s? se p? den siste profilen vi kvittet oss med:

Igjen, er det vanskelig ? tyde om fluks-fallet i linjeprofilen kommer fra st?y eller ikke (Dersom jeg skulle tegnet linjeprofilen selv, ville jeg heller tegnet den ved 0.04 langs x-aksen!). Til slutt ser vi p? en av profilene som vi bestemte oss for at var riktige:

Der ja! Vi kan tydelig se at fallet passer sammen med dataen, og kan dermed v?re ganske sikre p? at det ikke kommer fra st?y.

?

Vi har alts? kommet fram til at b?lgelengdene \(\lambda_0 = 1600\) nm og \(\lambda_0 = 2870\) nm absorberes av atmosf?ren. Fra tabell 1) ser vi at disse absorberes av \(CO_2\) og \(N_2O\).?

N? som vi har funnet hvilke stoffer som eksisterer i atmosf?ren, skal vi beregne "mean molecular weight", som er akkurat det navnet tilsier: Gjennomsnittlig masse for en partikkel i atmosf?ren. For denne beregningen vil vi gj?re en forenkling, nemlig at det er like mye av begge gassene (atmosf?ren v?r er alts? 50% \(CO_2\) og 50% \(N_2O\))

Mean molecular weight i en gass med N forskjellige stoffer kan beregnes med f?lgende formel: \(\mu = \Sigma_{i = 1}^N f_i \frac{m_i}{m_h}\).

Her er \(m_i\) massen til en partikkel av stoff nr. i, \(f_i\) er andelen av gassen som er stoff nr. i, og \(m_h\) er massen til et hydrogenatom. I v?rt tilfelle er beregningen veldig lett, siden vi har like mye av hvert stoff:

\(\mu = \frac 1 2 \frac{m_{CO_2}}{m_{h}} + \frac 1 2 \frac{m_{N_2O}}{m_{h}}\)

Vi har ogs? at \(\frac{m_{CO_2}}{m_{h}} = \frac{m_{N_2O}}{m_{h}} = 44\), som gj?r beregningen veldig lett:

\(\mu = \frac 1 2 \cdot 44 + \frac 1 2 \cdot 44 = 44\)

Dette er alts? massen til en gjennomsnittelig partikkel i atmosf?ren v?r! Faktisk, siden de to partiklene i atmosf?ren har samme masse, vet vi at dette er den faktiske massen til enhver partikkel vi ser p? i atmosf?ren!

Med denne verdien i hendene, vil vi endelig modellere atmosf?ren.

?