Planet-koordinater

Vi har n? en modell av atmosf?ren vi skal falle gjennom. Det eneste som gjenst?r f?r vi kan lande er ? beregne et landingspunkt!

F?r vi kan bestemme oss om hvor vi vil lande, har vi lyst til ? finne noen nyttige formler. Vi trenger ? vite hvor landingsposisjonen v?r er til en hver tid, siden vi ikke vet akkurat n?r vi vil lande, og planeten roterer rundt seg selv (se fig 1).?

Vi skal gj?re dette i to steg.

1. Finne ut hvor landingsposisjonen er ved?\(t = t_0\) (tiden etter vi n?r low orbit).
2. Finne ut hvor landingsposisjonen er ved \(t = t_1\) ved hjelp av posisjonen ved \(t = 0\).

For ? gj?re ting enkelt, vil vi arbeide i sf?riske koordinater. Vi har da at

\(\vec{R} = (r,\phi,\theta)\), som vist p? figur 1)

Dersom vi har et punkt p? planeten, vet vi ogs? at radius \(r\) i \(\vec{R}\) er lik radius til planeten (siden vi alltid er p? overflaten).

For ? l?se steg 1) antar vi at vi har et punkt p? planeten \(\vec{R} = (r,\phi,\theta)\), som er der punktet er etter en tid \(t = t_0 + \Delta t\). Vi ?nsker da ? finne \(\vec{R_0} = (r_0,\phi_0,\theta_0)\), som er posisjonen ved \(t = t_0\). Med en gang kan vi se at \(r_0 = r\), som vi allerede har nevnt tidligere (vi er alltid p? overflaten!!).

Grunnen til at landingsposisjonen flytter seg, er rotasjonen til planeten. Fordi vi har byttet til sf?riske koordinater, kan vi n? gj?re en nyttig observasjon. Planetens roterer rundt z-aksen, alts? i \(\phi\)-retning! Dette betyr at \(\theta\) er uavhengig av planetens rotasjon, som betyr at \(\theta_0 = \theta\).

Da har vi bare \(\phi\) igjen. Vi lar planetens rotasjonshastighet v?re gitt som \(\Omega = 4.72 \cdot 10^{-5}\). Vi vet at denne rotasjonen er konstant, og at dette er det eneste som p?virker \(\phi\). Vi kan da finne \(\phi_0\) ved

\(\phi_0 = \phi - (\Omega \cdot \Delta t)\)

(Du kan tenke p? det som at vi "skrur" planeten tilbake til s?nn den s? ut ved \(t = t_0\)). Vi har da en metode for ? finne ut hvor et punkt p? overflaten er ved \(t = t_0\).

?

? gjennomf?re steg 2) er n? veldig lett. Vi har n? \(\vec{R_0} = (r_0,\phi_0,\theta_0)\), og ?nsker ? finne \(\vec{R_1} = (r_1,\phi_1,\theta_1)\), for en gitt \(t_1 > t_0\). Akkurat som tidligere har vi at \(r_1 = r_0\) og \(\theta_1 = \theta_2\), for samme grunner som tidligere. Vi kan n? finne \(\phi_1\) ved ? "skru" planeten fremover med den konstante rotasjonshastigheten:

\(\phi_1 = \phi_0 + \Omega (t_1 - t_0))\)

Vi har da en metode for ? finne posisjoner p? planeten for en hvilken som helst \(t\).

?

N? er det p? tide ? finne en landingsposisjon. Vi flyr rundt planeten, og tar bilder langs veien, fram til vi finner en landingsplass vi liker.

Dette ser bra ut! Vi er ikke helt der vi ?nsker enda, s? vi faller litt lenger:

N?rmere! Forel?pig har vi holdt oss til ekvator, men vi ?nsker ? dra litt s?rover. Vi venter til vi har falt rundt planeten slik at vi begynner bevegelsen p? nytt, og legger til en liten boost p? 100 i \(\theta\)-retning. Da kommer vi akkurat dit vi vil!

N? er vi forn?yde. Vi f?r fra sensorene at vi n? befinner oss ved ?\(\vec{R} = (2304.6\; km, 4.86, 1.61)\), og at det har g?tt \(1430\) sekunder siden \(t_0\). Vi bruker steg 1) og f?r?

\(\vec{R_0} = (2304.6\; km, 4.79, 1.61)\)

V?r egen rakett har en startvinkel p? 3.46, som betyr at punktet begynner "foran" oss i \(\phi\)-retning, og s? tar vi det igjen i l?pet av 1430 sekunder. Dersom vi antar at raketten beveger seg i en perfekt sirkelbevegelse, kan vi bruke at \(\omega = \frac v r\) for ? finne vinkelhastigheten til raketten vi \(t = t_0\). Vi gj?r dette og f?r \(\omega = 0.0568\). Dette er betydelig h?yere enn planetens rotasjon! Det gir da mening at vi tar igjen punktet.

Vi kan n? kj?re en test, for ? sjekke om metoden v?r fungerer. F?rst, legger vi \(1430\) inn i steg 2). Ideelt burde vi komme tilbake til samme sted. Vi gj?r dette og f?r:

\(\vec{R} = (2304.6\; km, 4.86, 1.61)\)

Akkurat som forventet. Vi vet ogs? planetens rotasjonstid \(P = \). Dersom vi legger inn \(1430+ P\) i steg 2), burde vi igjen komme til samme sted, siden vi bare g?r en runde rundt! Vi f?r:

\(\vec{R} = (2304.6\; km, 11.15, 1.61)\)

Dette er ikke det samme som tidligere, men vi m? huske at vi n? har g?tt en hel gang rundt! Dersom vi fjerner \(2\pi\) fra 11.15, f?r vi 4.86, som er det samme som tidligere! Vi kan da si oss ganske sikre p? at metoden v?r fungerer.?

?

Vi har n? alle verkt?yene vi trenger for ? lande p? planeten. Neste gang skal vi faktisk gjennomf?re landingen, og fullf?re reisen (og gj?re noen kule stjerneobservasjoner). Dere m? vente spent til den tid!

?