Her skal vi finne utrykket for modellen, vi velger ? gj?re det her for dette trenger l?sning av differensialigninger. Her bruker vi utrykk fra Modelere atmosf?ren s? les f?rste delen av den f?rst, der er ogs? hva alle bokstavene her st?r for definert tydelig.?
Merk ogs? at alle steder det st?r T og \(\rho\) st?r det egentlig T(r) og \(\rho(r)\) har valgt ? utelate dette for ? gj?re utrykkene lettere ? lese.
Vi starter med ? se p? n?r vi er i adiabatisk tilstand og finner ett utrykk for Tempraturen T gitt ved P, vi bruker ?\( T^\gamma P^{1 - \gamma} = a \) hvor a er en konstant.
\( \implies T = (\frac a {P^{1-\gamma}})^{1/\gamma} \)
Vi putter dette in i idealgassloven for ? finne ett utrykk for trykket hvor bare \(rho\) er variabel avhenig av r.
\(P = \frac{\rho T k}{\mu m_H} = ?\frac{ \rho k}{\mu m_H} (\frac a {P^{1-\gamma}})^{1/\gamma} \implies P^\gamma = \frac{(\rho k)^\gamma a}{( \mu m_H)^\gamma P^{1-\gamma}} \implies P = ?\rho^\gamma \frac{k^\gamma a}{( \mu m_H)^\gamma } \)
Vi kan n? putte dette in i utrykket for hydrostatisk likevekt og siden bare \(\rho\) avhenger av r deriverer vi bare rho. Vi bruker da kj?rnereglen p? rho og f?r at:
\( \frac{dP}{dr} = \gamma \rho^{\gamma - 1} \frac{k^\gamma a}{( \mu m_H)^\gamma } \frac{d\rho}{dr} = -g \rho \)
Dette er en seperabel diff ligning som er overaskende grei ? l?se. Men vi kommer til ? bruke et fysiker triks som ikke egentlig betyr noe matematisk men funker, vi ganger begge sider med dr og deler p? \(-g\rho\) Da f?r vi:
?\( -\frac{a}{g} \gamma \rho^{\gamma - 2} (\frac{k}{ \mu m_H })^\gamma d\rho = dr\)
Da kan vi bare ta integralet over begge sider, hvor vi tar over dr p? en side og rho p? den andre. Her bruker vi at \(\gamma -2 = -3/5 \text{ n?r } \gamma \text{ er } 0.6 \). Venstresiden er ?penbar lik r + ?c (vi legger konstanten her, kommer en p? begge sider men kan sl? dem sammen til en konstant)
\( \int ?-\frac{a}{g} \gamma \rho^{-3/5} (\frac{k}{ \mu m_H })^\gamma d\rho = -\frac 5 2 \frac{a}{g} \gamma \rho^{\frac 2 5} (\frac{k}{ \mu m_H })^\gamma = r + c \)
vi l?ser for \(\rho\)
\( \rho = (- \frac 2 5 \frac{g}{\gamma a} (\frac{\mu m_H} k )^\gamma (r+c))^{\frac 5 2} \)
Som er det f?rste utrykket vi ville ha, n? m? vi bare finne C, dette gj?r vi ved ? l?se utrykket for \(r = r_{surface}\) ; \rho = \rho_[surface} \) kommer til ? bruke s for surface herifra og ut:
\( \rho_s = (- \frac 2 5 \frac{g}{\gamma a} (\frac{\mu m_H} k )^\gamma (r_s+c))^{\frac 5 2} \implies ?-\frac 5 2 \frac{a\gamma}{g} (\frac{k}{ \mu m_H })^\gamma \rho_s^{\frac 2 5} - r_s = C\)?
Der har vi et utrykk for C og har l?st massetettheten for adiabatisk tilstand.?
Da gjelder det ? finne tempraturen, dette er ganske greit siden vi bare fyller idellgasslov inn i utrykket for tempratur gitt av trykk vi definerte over?
\( T^\gamma = ?(\frac a {P^{1-\gamma}}) = \frac{a (\mu m_H)^{1-\gamma}}{(\rho k)^{1-\gamma}T^{1-\gamma}} \implies T = ?\frac{a (\mu m_H)^{1-\gamma}}{(\rho k)^{1-\gamma}} \)
Da gjenst?r bare isotermisk omr?det, der havhenger ikke T av radiusen s? vi kan bare sette idelle gass lov rett inn i hydrostatisk likevekts formelen.?
\(\frac{dP}{dr} = \frac{k T}{\mu m_H} \frac{d\rho}{dr} = -g\rho \implies \frac{d\rho}{dr} = -\rho \frac{g \mu m_H}{k T} \)
L?sningen p? denne diff ligningen ser vi er en eksponetisalfunksjon men \(- \frac{g \mu m_H}{k T}r \) i eksponeten (dette er en type difligning man ser mye av og derfor ser man ofte bare svaret)
s?:
\( \rho = C e^{-\frac{g \mu m_H}{k T}r} \)?
Her trenger vi igjenn ? definere C, vi setter \(r = r_g\) slik at \(r_g\) er lik radiusen i grensen der vi skifter fase, (merk ogs? at T i dette utrykke er tempraturen i den nye fasen som tilsier \(T = T_0/2\))
\(\rho_g = C e^{-\frac{g \mu m_H}{k T}r_g} \implies C = \rho_g e^{\frac{g \mu m_H}{k T}r_g} ?\)
vi setter dette innn i utrykket over og f?r '
\( \rho = ?\rho_g e^{\frac{g \mu m_H}{k T}r_g} e^{-\frac{g \mu m_H}{k T}r} \implies \rho = \rho_g e^{-\frac{g \mu m_H}{k T} (r - r_g)} \)?
Logg inn for ? kommentere