Modell av atmosf?ren

Endelig har vi kommet n?re nok planeten til ? vite hva atmosf?ren best?r av, og da kan vi uten veldig mye vansker bygge en modell for hvordan atmosf?ren er basert p? h?yden. F?r vi kan begynne ? lage denne modelen m? vi f?rst gj?re noen antagelser. Vi vet jo strengt talt ikke fordelingen eller forholdet mellom partiklene i atmosf?ren, s? for ? holde modellen overkommelig antar vi at atmosf?ren er jevnt fordelt av alle stoffene vi har funnet og at den er homogen. Alts? at uansett hvilke punkt vi ser p? i atmosf?ren best?r den av \(CO_2\) og \(N_2O\). Vi antar ogs? at atmosf?ren bare varierer i hvor langt unna overflaten man ser p?. Den er det vi kaller spherisk symmetrisk. Tyngdeakselerasjonen er ogs? sv?rt viktig og varier jo ?penbart med avstanden fra planetens sentrum, vi har jo sett newtons tyngdeakselerasjons formel f?r:

?\( G \frac{M}{r^2}\) Hvor G er newtons gravitasjonskonstant, M er massen til planeten og r er radiusen. S? den er jo avhenging av r.

Eller... kanskje ikke, joda den gj?r det men hvis vi ser p? st?rrelsen ved raketten v?r og p? planetoverflaten (Tabell 1), ser vi at det er ganske likt.?

Vi er nesten 400km h?yere oppe og tyngdeakselerasjonen har en forskjell p? litt under 1m/s^2. Selv om det kan f?re til feil i modellen v?r f?ler vi dette er innenfor ? kunne anta at g er konstant likt verdien den er mellom disse to punktene, der gravitasjonsakselerasjonen er lik: 2.95 \(m/s^2\).?

Videre antar vi igjen at atmosf?ren v?r er en ideell gass, hvis du ikke helt husker hva det betydde ta en titt p? den f?rste delen av reisen v?r. Dette gj?r vi fordi da kan vi anta at trykket f?lger idealgassloven som sier at tryket P kan uttrykkes som:

\(P = nkT\) hvor k er boltzmankonstanten, T er temperaturen og n er antall gasspartikler per volumenhet.?

Vi kan da skrive antall partikler som massetettheten delt p? gjennomsnittlig masse, da kan vi skrive om denne formelen til:

\(P = \frac{\rho k T}{\mu m_H}\) hvor \(\mu\) er den gjennomsnitlige partikkelmassen og m_H er massen til ett hydrogen/proton.?

Vi antar ogs? at planeten er i hydrostatisk likevekt. Dette betyr at trykket i atmosf?ren er like stor som tyngdekraften, alts? at atmosf?ren blir holdt igjen p? planeten og at den ikke blir komprimert. Dette betyr at atmosf?ren ikke beveger seg i radiell retning. Fra hydrostatisk likevekt har vi formelen at:

\( \frac{dP}{dr} = -g \rho(r)\) hvor P igjen er trykket, g er gravitasjonsakselerasjonen og \(\rho\) er massetettheten ved en gitt h?yde.

Til slutt s? m? vi vite noe om temperaturen i atmosf?ren. N?r gassen er n?r planeten antar vi at den er adiabatisk, mens fra og med temperaturen har falt til \(T_0/2\) antar vi den er isotermisk. Adiabatisk betyr at det ikke er noe temperaturp?virkning fra utenfor atmosf?ren og temperaturen bare avhenger av trykket, Isotermisk betyr at temperaturen er konstant. Vi kan da bruke den adiabatiske loven, som sier at \(P^{1-\gamma}T^\gamma = constant\), hvor P er trykket,T er temperaturen, gamma er en konstant vi setter til 1.4 vi kaller denne konstanten a.?

Da har vi alle forbredelsene og antagelsene vi trenger for ? kunne modellere atmosf?ren. Vi kan da utledde ett uttrykk for temperaturen og for massetettheten basert p? radiusen fra sentrum av planeten. For selve utledningen kan dere lese i mattenerder. Uttrykkene er:

\( \rho = (- \frac 2 5 \frac{g}{\gamma a} (\frac{\mu m_H} k )^\gamma (r+C))^{\frac 5 2} \)

Hvor \( C = -\frac 5 2 \frac{a\gamma}{g} (\frac{k}{ \mu m_H })^\gamma \rho_s^{\frac 2 5} - r_s\) med \(r_s\) og \(\rho_s\) som tettheten og radiusen til overflaten.?

\(T =a \frac{\mu m_H}{\rho (r) k}^{1-\gamma}\)?

Alle bokstavene er introdusert tidligere i teksten. Vi bestemmer a ved ? bruke den adiobatiske loven ved overflaten hvor vi vet temperaturen og trykket. Denne temperaturen vet vi fra del 3 og vi kan m?le overflate massetettheten for ? s? bruke den ideelle gasslov til ? finne overflate trykket.?

Dette gjelder bare opp til temperaturen er lik en halv av overflate tempraturen, etter det er T konstant, og vi kan forenkle massetetthet-utrykket til:

\( ? \rho = \rho_T/2 e^{-\frac{g \mu m_H}{k T_0/2} (r - r_T/2)} \) hvor \(\rho_{T/2}\:og\: r_{T/2} \) er radiusen og tettheten ved punkte der vi g?r fra adiobatisk til isotermisk. ??

Ved ? sl? sammen disse modellene kan vi begynne og modellere atmosf?ren v?r. Vi lager f?rst en modell der den er adiabatisk for alle h?yder, ogs? finner vi den h?yden der temperaturen er halvert. Denne h?yden er 604 m over overflaten. Da vet vi hvor tilstanden byttes og bruker den isotermiske formelen for alle verdier av h?yden som er over det. Vi kan plottet resultatene v?re, f?rst plotter vi tettheten (figur 1):?

Tettheten faller betydelig raskere n?r den er i adiabatisk tilstand. Dette gir mening fordi fra antagelsene om hydrostatisk likevekt og ideell gass ser man at \(\rho\) er avhengig av temperaturen og radiusen (I utrykket for modellen er temperaturen utrykt med andre verdier som er hvorfor man ikke ser denne avhengigheten i uttrykket se mattenerder). N?r temperaturen synker vil tettheten synke og n?r radiusen stiger vil tettheten synke. N?r atmosf?ren er i adiabatisk tilstand vil temperaturen ogs? synke n?r radiusen stiger blir den samlede effekten betydelig st?rre enn n?r temperaturen er konstant i isotermisk tistand. For ? bekrefte denne tanken kan vi se p? hvordan temperaturen endrer seg over r (figur 2):

Dette viser at temperaturen ogs? faller ganske raskt f?r den blir helt linj?r, som passer med det tidligere plottet. Her er det verdt ? nevne at den temperaturen vi har som overflate temperatur kommer fra v?r relativt simple modell som antar at planeten er ett sortlegme (Del 3). Denne er antagelig ganske feil som introduserer en feilkilde i hele modellen v?r. Vi m? derfor gj?re ett par tester for ? teste n?yaktigheten av modellen.?

F?rst kan vi se om den gir resultatene vi allerede vet, s? hvis vi setter R = \(R_{\text{surface}}\) s? burde vi f? tettheten vi allerede har m?lt, samme med temperaturen:

S? vi kan se at initialbetingelsene er ivertfall oppfylt, dette er jo forventet siden vi brukte de til ? definere modellen. S? vi m? kanskje tenke p? en annen test.

Hvis vi tenker oss en s?lye med grunnflate lik 1\(m^2\) og h?yde som g?r til uendelig. Vi kan finne massen til denne s?ylen ved dette integralet:

\( \int_{surface}^\infty \rho(r)dr \) hvor r er h?yden oppover. Dette integralet kommer av at vi forestiller at denne s?ylen er mange sm? niv?er med h?yde dr, de niv?ene har da volum lik 1 \(m^2 \cdot dz\) som bare blir dz. S? ganger vi dette med massetettheten ved den h?yden ogs? summerer vi alle disse niv?ene for den totale massen (figur 3).

Men hvorfor vil vi ha denne massen? Jo fordi p? overflaten kan vi finne hva trykket er takket v?re idelle gasslov. Siden vi er i hydrostatisk likevekt m? kraften fra trykket P p? grunflaten (P*1\(m^2\) ) v?re lik tyngdekraften som veier ned p? flaten ovenfra.

\( P\cdot 1m^2 = m_{s?yle} g \implies \frac P g = m_{s?yle} = \int_{surface}^\infty \rho(r)dr \)

Siden vi kan bruke ideel gasslov til ? finne trykket p? overflaten kan vi ganske raskt sjekke dette og f?r tabell 2:

Dette er nesten helt likt!! S?pass liten forskjell kan grunnes flere av antagelsene v?re som ikke er hundre prosent presise.?

Dette lover egentlig ganske godt for landingen v?r siden den b?de har lav tyngdekraft og tung atmosf?re noe som kommer til ? gi oss mye luftmotstand som gj?r det lett og lande!! Denne modellen kommer til ? bli nyttig for n?r vi skal simulere denne landingen i fremtiden.?

Men f?r vi lander m? vi se hvor vi skal lande!