I f?rste omgang gir nissen oss en introduksjonsoppgave, som vi skal bruke til ? bli kjent med spesiell relativitetsteori. Vi skal oppdage en av de viktigste prinsippene i den spesielle relativitetsteorien; at ting som skjer samtidig i et system ikke n?dvendigvis skjer samtidig i et annet!
Situasjonen er som f?lger. Vi har to romskip som flyr gjennom luften med samme hastighet i forhold til jordoverflaten. Vi skal se p? disse rakettene fra to forskjellige systemer, et ikke-merket system som ser p? rakettene fra jordoverflaten, og et merket som f?lger rakettene:
(Merk at selv om origo er tegnet ved bakken, kommer vi til ? se p? situasjonen i kun en dimensjon)
Dette er en god introduksjon til notasjonen vi vil bruke for b?de denne oppgaven, og fremtidige oppgaver. Dersom vi snakker om?\(x\) refererer vi til en posisjon i systemet p? bakken, og n?r vi snakker om \(x'\), snakker vi om posisjonen i systemet som f?lger rakettene (det samme gjelder naturligvis tiden).
N? er ogs? ett godt tidspunkt ? introdusere hendelser. Vi snakker ikke lenger om punkter i rommet, men punkter i tid-rommet! Vi kaller et punkt i tid-rommet for en hendelse, og en slik hendelse har da en posisjon og et tidspunkt! Vi noterer dette som \((x,t)\) (disse er selvsagt merket i rakettenes system).
I v?r situasjon har vi 4 hendelser:
- F?rst, skyter begge romskipene en str?le mot hverandre. Dette skjer samtidig i rakett-systemet. Vi kaller disse hendelse A (venstre romskip skyter), og hendelse B (h?yre romskip skyter).
- S?, vil str?lene treffe motsatt romskip, som f?rer til at skipene sprenger. Vi kaller disse hendelse C (venstre romskip sprenger) og hendelse D (h?yre romskip sprenger).
Vi vet ogs? at hendelse A skjer ved \((x,t) = (x',t') = (0,0)\), alts? at tiden og posisjonen er null i begge systemene n?r venstre rakett skyter sin str?le. En slik hendelse kaller vi ofte for en origo-hendelse, alts? et sted der origo i begge systemene krysser hverandre.
Den siste tingen vi vet, er at lysets hastighet er det samme i alle systemer. Dette betyr at uansett hvilket system vi er i, vil lyset alltid bevege seg med hastighet \(c = 3 \cdot 10^8\) m/s.
?
Vi plasserer en observat?r midt mellom rakettene, slik at de ligger i ro i rakett-systemet:
Vi vet at hendelse A og B skjer samtidig i rakett-systemet. I rakett-systemet ligger alle tre legemene i ro, og strekningen mellom m og rakettene er like begge veier. Siden lyshastigheten er konstant, str?lene skytes samtidig, og strekningen er like lang p? begge sidene, er det naturlig at str?lene n?r M samtidig. Vi kan ogs? se dette algebraisk, dersom vi definerer distansene mellom rakettene og M som \(d_a' = d_b'\):
\(t_a' = \frac {d_a'} {c} = \frac {d_b'} {c} = t_b'\)
Dette kommer av vei-fart-tid trekanten. Vi vet alts? at M observerer at str?lene n?r dem samtidig.
?
I f?rste omgang antar vi at str?lene ogs? skytes ut samtidig i planetsystemet. Vi vet at M observerer str?lene samtidig, men distansene str?lene m? bevege seg er ikke lenger like!
Vi kan se at strekningen str?len fra hendelse A m? bevege seg er lenger enn str?len fra hendelse B (dersom vi skyter ut str?lene samtidig), siden M beveger seg med rakettene! Siden lyshastigheten er konstant, betyr dette at str?len fra hendelse B burde n? M f?rst, men vi vet allerede at M observerer str?lene samtidig! Her er det klart noe som er feil.
Feilen kommer av at vi har antatt at str?lene skytes ut samtidig! For at str?lene skal krysse posisjonen til M samtidig, kan de ikke skytes ut ved samme tidspunkt. For ? finne ut hvilken str?le som skytes ut f?rst, kan vi igjen se for oss situasjonen der vi skyter str?lene samtidig i planetsystemet. Da blir distansen mellom punktet venstre str?le skytes ut fra og punktet der M observerer str?len lenger enn distansen mellom M og punktet h?yre str?le skytes fra. Igjen, siden \(c\) er konstant, vil det ta lenger tid for venstre str?le ? n? M, enn h?yre str?le (eventuelt kan du tenke p? det som at M beveger seg inn i h?yre str?le, slik at denne treffer f?rst).
Vi vet at str?lene skal treffe samtidig, s? da m? vi rett og slett la venstre str?le f? litt lenger tid i luften! I planetsystemet skjer alts? hendelse A f?r hendelse B.
?
N? er det p? tide ? se p? eksplosjonene. For samme grunn som med str?lene, vil eksplosjonene ta sted samtidig i rakettsystemet. Hendelse C og D (venstre og h?yre eksplosjon) skjer alts? samtidig i rakettsystemet, og lyset fra eksplosjonene vil n? M samtidig. Akkurat som tidligere, vil disse hendelsene ikke skje samtidig i planetsystemet! Vi kan argumentere for dette p? to forskjellige m?ter.
Vi kan gj?re akkurat det samme som med str?lene, siden vi vet at lyset fra eksplosjonene n?r M samtidig. Da m? lyset fra venstre eksplosjon begynne ? bevege seg f?r lyset fra h?yre eksplosjon, som betyr at venstre eksplosjon skjer f?rst.?
Vi kan ogs? tenke p? kun det som skjer i planetsystemet. Str?lene er i posisjonen til M samtidig, og dette er like langt unna begge skipene. Distansen mellom str?len som beveger seg mot venstre og venstre skip vil minke over tid, mens det motsatte vil skje for h?yre str?le (venstre skip beveger seg inn i str?len, mens h?yre skip beveger seg vekk fra str?len)
?
Vi kan n? lage en tidslinje for hendelsene for begge systemene:
I rakettsystemet skjer alts? A og B samtidig, og C og D samtidig. I planetsystemet skjer A,B,C, og D i den rekkef?lgen (vi kan forsikre oss om at B skjer f?r C ved ? huske at begge str?lene m? passere M f?r noen av eksplosjonene kan skje, som betyr at begge str?lene m? skytes f?r eksplosjonene kan skje).
Samtidighet er alts? relativt! Dette er et veldig viktig prinsipp innen spesiell relativitetsteori, som vi vil komme tilbake til flere ganger. To observat?rer kan alts? v?re uenige om ting skjer samtidig, og ha rett begge to!
Julenissen ser veldig forn?yd ut, s? vi beveger oss videre til neste oppgave.
Logg inn for ? kommentere