Kosmisk pingpong!

N? som vi har blitt introdusert for spesiell relativitetsteori (i hvert fall litt), skal vi se p? en situasjon som er litt vanskeligere. Vi har to romskip som flyr forbi en romstasjon (ikke s? ulikt forrige situasjon), der begge skipene har store speil som kan reflektere str?ler. Det venstre romskipet skyter en str?le mot det h?yre skipet, som reflekterer det tilbake.

Igjen har vi to systemer:

Et ikke-merket system der romstasjonen ligger i origo, og romskipene beveger seg, og et merket system der venstre romskip ligger i origo, der vi f?lger romskipene.

Vi skal se p? 4 hendelser som tar sted:

• Hendelse A, som er origo-hendelsen v?r (alts? at \((x,t) = (x',t') = (0,0)\)), er at venstre romskip skyter en str?le mot h?yre romskip.
• Hendelse B, som er at h?yre romskip reflekterer str?len tilbake mot venstre skip
• Hendelse D, som er at str?len kommer tilbake til venstre romskip
• Hendelse C, som er at romstasjonen tilfeldigvis sprenger.

Det eneste vi vet om hendelsene forel?pig, er at hendelse B og C skjer samtidig i romskip-systemet (dersom du husker fra forrige oppgave, s? betyr ikke dette at det vil skje samtidig i romstasjon-systemet!).

Akkurat som i forrige oppgave, er m?let v?rt ? kartlegge hvilken rekkef?lge disse hendelsene skjer i (i begge systemene). F?rste observasjon vi kan gj?re, er at tiden det tar mellom hendelsene A og B i romskip-systemet (\(\Delta t'_{AB}\) ), er like lang som tiden mellom hendelsene B og D i romskip-systemet (\(\Delta t'_{BD}\)). I romskip-systemet ligger begge skipene i ro, slik at distansen fram og tilbake er lik, og lyshastigheten er konstant.?

Hvis vi skal se for oss hvordan dette ser ut i romstasjon-systemet, kan vi huske tilbake et argument vi gjorde i forrige oppgave. I den oppgaven, beveget observat?ren M seg vekk fra str?len som gikk i bevegelsesretningen, mens de beveget seg inn i str?len som gikk mot bevegelsesretningen. Vi kan se noe liknende her:

N?r str?len beveger seg fra venstre mot h?yre, vil h?yre rakett bevege seg mot den, mens n?r den beveger seg fra h?yre mot venstre, vil venstre rakett bevege seg vekk fra den! Strekningen som str?len m? dekke er alts? kortere mot h?yre enn mot venstre, slik at tiden mellom hendelse A og B (\(\Delta t_{AB}\)) er kortere enn tiden mellom hendelse B og D (\(\Delta t_{BD}\)). Jo raskere skipene beveger seg, jo st?rre vil forskjellene mellom disse tidene bli (det tar kortere tid for str?len fly inn i h?yre skip, og lengre tid for str?len ? ta igjen venstre skip).

For ? virkelig poengtere hvor viktig lysets hastighet er, kan vi se p? situasjonen ikke-relativistisk. Dersom vi i stedet for lys, skyter en ball mellom skipene, som beveger seg med 80 km/t i romskip-systemet, og s? lar skipene bevege seg med 50 km/t i forhold til romstasjonen, kunne vi argumentert for at tiden vil v?re kortere n?r ballen skal fra venstre til h?yre? I denne situasjonen fungerer dette ikke! Den viktige antakelsen som f?rer til slike tidsforskjeller mellom systemer er det at lyshastigheten er konstant. I romstasjon-systemet beveger ikke ballen seg med 80 km/t, men med 120 km/t, siden den adopterer hastigheten til romskipene.

?

N? skal vi se p? eksplosjonen, alts? hendelse C. Vi vet at B og C skjer samtidig i romskip-systemet, men hva med i romstasjon-systemet? For ? finne ut av det skal vi bruke et triks som vi har sett tidligere.

Vi legger til en observat?r M slik at de ligger midt i mellom romstasjonen og h?yre skip i det B og C skjer i romskip-systemet:

Vi lar ogs? denne observat?ren f?lge romskipene. Vi har da to str?ler, en fra h?yre skip, og en fra romstasjonen, som begge beveger seg mot M. I romskip-systemet ligger da M i ro, og strekningen til punktene str?lene kommer fra er like, s? dermed observerer M at str?lene krysser dem samtidig. Dersom du er observant, vil du se at dette er akkurat samme situasjon som oppgave 1! Hvis vi husker resulatet fra oppgave 1, f?r vi at i romstasjon-systemet, m? str?len fra raketten begynne ? bevege seg f?rst, siden M beveger seg vekk fra denne str?len. Dermed har vi at hendelse B skjer f?r hendelse C i romstasjonsystemet.

Vi kan n? visualisere hele bevegelsen i romstasjon-systemet:

F?rst skjer hendelse A, der venstre skip skyter en str?le. Str?len beveger seg fort bort til h?yre skip, som reflekterer str?len (hendelse B). Litt etter str?len er reflektert, sprenger romstasjonen, som er hendelse C, og s? til slutt, en stund etterp?, treffer str?len venstre skip, som er hendelse D (det er naturlig at hendelse D tar sted etter hendelse C, siden str?len fra eksplosjonen og str?len fra h?yre skip m? n? observat?ren M samtidig, og det er mye kortere fra h?yre skip til M enn fra h?yre skip til venstre skip).

N? har vi visualisert hele situasjonen, men det er p? tide ? gj?re litt matematikk for ? sjekke at alt stemmer. Julenissen gir oss et datasett som inneholder informasjon om st?rrelser og tider i romskip-systemet:

Her er det viktig ? introdusere et nyttig verkt?y innen relativitetsteorien. Vi har lyst til ? regne med meter og sekunder som en enhet. Dette h?res litt rart ut, men det lar oss gj?re viktige ting, som ? legge sammen strekninger og tider (vi kommer tilbake til dette). Vi kan da velge enten meter eller sekunder, og konvertere mellom dem som vi vil. Denne konversonen er slik:

\(x = ct \iff t = \frac x c\)

N? som vi har etablert denne konvensjonen, kan vi skrive om dataen slik at den st?r kun som en enhet (vi velger her milli-sekunder):

(En viktig konsekvens av dette, er at hastighet, som f?r var m?lt i meter / sekund, n? m?les i sekund / sekund, som er enhetsl?st! Vi kommer tilbake til dette)

N? skal vi introdusere et annet viktig verkt?y, noe vi kaller tidromsintervaller. Vi definerer tidromsintervallet \(\Delta s\) slik:

\(\Delta s = \sqrt{\Delta t^2 - \Delta x^2}\)

Her er \(\Delta x\) rom-avstanden mellom to hendelser, og \(\Delta t\) tid-avstanden mellom to hendelser. Hvorfor bryr vi oss om dette? Fordi det har seg slik at for to hendelser A og B s? er

\(\Delta s_{AB}^{2} = \Delta {s'}_{AB}^{2}\), alts?

\(\Delta t_{AB}^2 - \Delta x_{AB}^2 = \Delta {t'}_{AB}^2 - \Delta {x'}_{AB}^2\)

Dette gir oss en sammenheng mellom de to systemene! Vi sier at vi har invariasjon av tid-rom. Vi kan da bruke informasjonen vi vet om romskip-systemet, til ? finne informasjon om romstasjon-systemet.

?

Vi begynner med ? skrive opp det vi vet om romstasjon-systemet (i ms selvsagt)

Ved t = 0, n?r str?len skytes ut, ligger venstre skip opp? romstasjonen, s? vi vet n?r og hvor dette skjer. B er forel?pig helt ukjent, mens for C kan vi finne hvor (denne hendelsen er tross alt at romstasjonen sprenger, som ligger i origo!). For D, er tiden ukjent, men vi kan finne posisjonen fra tiden! Hvordan gir dette mening??

N? har jeg droppet ? si en viktig bit med informasjon, nemlig at rakettene beveger seg med hastighet 0.65c i forhold til romstasjonen (mot venstre, og vi legger positiv retning mot h?yre). Allerede n? er vi nesten i m?l. Tidligere nevnte jeg at vi ikke lenger har enhet p? hastighetene v?re. I tillegg, n?r vi regner med bare en enhet, representerer vi hastigheter som et tall mellom 0 og 1, der 1 er lyshastigheten. Endelig kan vi forst? \(x_D\). Vi bruker at \(x = vt\), og siden lyshastigheten er 1, f?r vi at den ordentlige hastigheten er kun 0.65! Dette gir oss \(x_D = 0.65 \cdot t_D\), som er det vi har i tabellen.

Vi skal n? begynne ? bruke invariasjon av tidromsintervaller til ? finne de resterende verdiene. Vi vil hoppe over selve utledningene her, og i stedet si hva prinsippet er.

F?rst bruker vi \(\Delta s_{AB}^{2} = \Delta {s'}_{AB}^{2}\) som gir oss at \(x_B = t_B\), fordi hele h?yre side av utrykket blir 0 (Dette kunne vi faktisk gjettet oss fram til allerede, ved et argument ganske likt det vi gjorde for x_D. Kan du se hvordan?).

Vi bruker s? \(\Delta s_{AC}^{2} = \Delta {s'}_{AC}^{2}\) til ? finne at \(t_C = 1.016528\) ms. I dette utrykket kjenner vi alle andre verdier, som gj?r utledningen triviell.

S? bruker vi \(\Delta s_{BC}^{2} = \Delta {s'}_{BC}^{2}\) til ? finne at \(t_B = 0.614660\) ms. Denne var ikke mulig ? l?se tidligere, men n? som vi har \(t_C\) g?r det helt fint.

Til slutt, bruker vi \(\Delta s_{AD}^{2} = \Delta {s'}_{AD}^{2}\) til ? finne det at \(t_D = 2.152333\) ms.

N? har vi alle verdiene! Vi setter dem inn i tabellen:

Stemmer dette med det vi forventet? F?rst, kan vi se at det tar kortere tid mellom A og B, enn mellom B og D, akkurat som vi trodde. Vi kan ogs? se at hendelse C skjer etter hendelse B, siden \(t_C > t_B\), som igjen er akkurat det vi forventet skulle skje. Fantastisk!

Vi har n? blitt introdusert for tidromsintervaller og konversjonen mellom meter og sekund, to viktige verkt?y n?r man jobber innenfor spesiell relativitetsteori. Julenissen er veldig stolt av oss, og som en bel?nning (eller en straff, utifra hvordan du ser p? det), gir han oss den tredje oppgaven, som handler om tvillingparadokset.