I denne oppgaven skal vi se p? tvillingparadokset, et kjent eksempel p? hvordan ting fort blir rart n?r man jobber med spesiell relativitetsteori. Tvillingparadokset introduserer en situasjon der to personer begynner ? eldes med forskjellige hastigheter, slik at to tvillinger ikke lenger er like gamle.?
Vi kommer til ? g? gjennom situasjonen ganske n?yaktig, steg for steg, slik at det blir mulig ? forst? hva som skjer.
Situasjonen er som f?lger: Astronauten Lisa skal reise fra sin hjemplanet Homey til planeten Destiny som ligger 200 Lys?r unna. Raketten hennes har en hastighet p? 0.99c i forhold til planetene, og vi antar at planetene er i ro i forhold til hverandre. Systemene v?re er det ikke-merkede systemet der origo ligger ved Homey (vi kaller dette for laboratoriesystemet), og det merkede systemet som f?lger raketten til Lisa.
Vi har to hendelser: Hendelse A som er at Lisa forlater Homey, og hendelse B som er at Lisa ankommer Destiny.
Vi begynner med ? regne ut hvor lang tid det tar for Lisa ? komme fram til Destiny. Som tidligere, ?nsker vi ? regne med alt i en enhet, og vi velger sekunder. Dette gir oss at distansen mellom Homey og Destiny er \(\Delta x_{AB} = 6.3 \cdot 10^9\) s. Vi regner p? tiden og f?r \(\Delta t_{AB} = \frac {\Delta x_{AB}} v = 6.36 \cdot 10^9\) sekunder, som er ca. 201.5 ?r. Vi vil n? finne ut hvor lang tid dette tar for Lisa, og for ? gj?re dette vil vi bruke formelen for tidsdilatasjon:
\(\Delta t = \gamma \Delta t' = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1-v^2}}\)
Vi bruker denne formelen og f?r at \(\Delta t_{AB}' = 8.97 \cdot 10^8\) s, som er ca 28.4 ?r. Vi antar n? at Lisa snur n?r hun kommer fram, og drar tilbake til Homey med samme hastighet. Vi f?r da at den samme tiden g?r p? veien tilbake. N?r Lisa kommer hjem har det alts? g?tt \(2\Delta t_{AB} = 404\) ?r p? klokkene p? Homey, og \(2\Delta t_{AB}' = 57\) ?r p? klokka til Lisa.
Vi vil n? bytte system, slik at Lisas system er det umerkede systemet der vi er i ro, og planetene er i det merkede systemet. Vi f?r da at planetene beveger seg med en hastighet \(v\) i forhold til Lisa, og Lisa er i ro. Vi vet at det tar 57 ?r for Lisa ? reise til Destiny og tilbake, som betyr at det n? tar 57 ?r for Destiny ? reise til Lisa, og tilbake. Dersom vi bruker formelen for tidsdilatasjon igjen, for ? finne tiden som har g?tt p? Homey, f?r vi at denne tiden er 4.01 ?r en vei, alts? 8.02 ?r begge veier. Hvordan kan dette stemme? Vi vet at det skal ta 404 ?r p? Homey, s? her er det noe som ikke er riktig.
Det viser seg at det har noe ? si hvilket system vi lar v?re laboratoriesystemet. formelen for tidsdilatasjon antar konstant hastighet, men Lisa har ikke konstant hastighet! Hun m? akselerere for ? snu, alts? bytter hun referansesystem halvveis gjennom turen. Vi kan alts? ikke bruke Lisa sitt system som laboratoriesystem, siden det endrer system midt i bevegelsen.?
Tidsdilatasjonsformelen er alts? ikke nok til ? l?se denne situasjonen. Alle vennene til Lisa p? Homey (hvis vi antar at de fortsatt lever) har blitt 404 ?r eldre, mens hun har bare blitt 57 ?r eldre! Dette er selve paradokset, som vi n? m? pr?ve v?rt beste ? l?se.
Logg inn for ? kommentere