Problemet var alts? akselerasjon. Vi vil komme tilbake til akselerasjon n?r vi kommer til generell relativitetsteori, men vi er ikke der helt enda. Forel?pig vil vi l?se paradokset ved ? simulere gravitasjon.
I f?rste omgang vil vi restrukturere systemet litt. I stedet for en rakett som beveger seg fra Homey til Destiny, vil vi ha to evig lange heiser, som beveger seg med hastighet \(v = 0.99c \) i forhold til planetene, en i hver retning. Vi kan alts? n? ha personer i forskjellige deler av reisen, som er i samme system. I tillegg, vil vi introdusere en ny planet, Beyond, som befinner seg 400 lys?r unna Homey:
Vi vil ogs? endre litt p? hendelsene. Vi har
- Hendelse A (origo-hendelsen), der Lisa hopper ombord i heisen
- Hendelse B, n?r Lisa ankommer Destiny, og hopper over i den andre heisen
- Hendelse B', som skjer samtidig som B i heis-systemet, som er at en person som ogs? er i samme heis som Lisa ankommer Homey (alts? fra bunnen p? figur 1) og sjekker hva det st?r p? klokkene p? Homey.
(fra n? av vil det bli mange merker, s? hold fast)
Fra n? av vil vi bruke Lorentz-transformasjonene i stedet for formelen for tidsdilatasjon, som er en mer generell variant av denne formelen som ogs? tar med posisjon. De ser slik ut:
\(t = v \gamma x' + \gamma t'\)
\(x =\gamma x' + v \gamma t'\)
\(t' = -v \gamma x + \gamma t\)
\(x' =\gamma x - v \gamma t\)
Disse formlene lar oss alts? regne mellom systemene. Dersom vi bruker Lorentz-transformasjonene, f?r vi fortsatt at \(t'_B = 28.4\) ?r. Vi vil n? pr?ve ? finne \(t_B'\), alts? tiden ved hendelsen B', i planet-systemet. Selve utledningen vil vi hoppe over her, men dersom du har lyst til ? pr?ve selv, bruker vi den tredje formelen, sammen med et lurt triks.
Vi f?r at \(t_B'\) kan uttrykkes som \(\frac {L_0} v - vL_0\), der v er hastigheten til heisen, og \(L_0\) er distansen mellom Homey og Destiny (i planetsystemet). Setter vi tall inn i dette uttrykket, f?r vi at \(t_B' = 4.01\) ?r. Dette tallet ser kanskje kjent ut, siden det er tallet vi fant i forrige innlegg! Da vi fant det sa vi at det var feil, men n? kan vi faktisk begrunne at det er riktig, dersom vi forst?r ordentlig hva \(t_B'\) er.
Hendelse B' er, som nevnt tidligere, at en person i samme system som Lisa tar en titt p? klokkene p? Homey. \(t_B'\) er tiden dette skjer ved, men p? planeten, s? dette er alts? den tiden som st?r p? klokkene! N?r Lisa kommer fram ved Destiny i Heis-systemet har det faktisk bare g?tt 4.01 ?r p? Homey.?
Hvordan kan dette stemme? Vi vet at reisen burde ta ca 201 ?r, s? Lisa kan neppe v?re framme enda, og det er hun ikke heller! Vi har glemt en veldig viktig ting, nemlig at ting ikke skjer samtidig i alle systemer. N?r Lisa kommer fram til Destiny i Heis-systemet, har hun bare s?vidt begynt reisen sin i planet-systemet, og dermed har det bare g?tt 4.01 ?r.
?
N? skal vi begynne ? se p? det tredje systemet v?rt, i den andre heisen. Vi kaller dette det dobbelt-merkede systemet, eller det innkommende heis-systemet. Astronauten Peter begynner sin reise fra Beyond i det inkommende heis-systemet, og vi kaller dette for hendelse D. Hendelse D skjer ved \(t'' = t = 0\) og \(x'' = 0\). Vi legger ogs? til hendelse B'', som skjer samtidig som B, som er at en annen person i Peter sitt system sjekker hva klokkene p? Homey sier (akkurat som i hendelse B', men n? i Peter sitt system).?
F?rst ser vi p? hvor lang tid det tar for Peter ? komme til Destiny, for dette er faktisk ganske lett. Peter beveger seg med samme hastighet som Lisa (dog andre vei), og det er ingen akselerasjon. Det tar alts? like lang tid for Peter og Lisa ? n? Destiny (i sine systemer), og vi f?r \(t''_B = 28.446\) ?r.
Vi vil n? pr?ve ? finne \(t_{B''}\), alts? tiden som observeres p? klokkene p? Homey i det Peter kommer fram til Destiny. Klokkene i Peters system er ikke synkronisert med klokkene p? Homey (i motsetning til Lisas system), s? vi m? bruke invariasjon av tidromsintervaller for ? finne \(t_{B''}\). Vi m? da finne et intervall ? se p? og vi velger intervallet mellom hendelse D og hendelse B''. Verdiene blir som f?lger:
- \(\Delta t_{DB''} = t_{B''}\), siden D skjer ved t = 0. Dette er verdien vi vil finne.
- \(\Delta x_{DB''} = 2L_0\), siden D skjer ved Beyond, og B'' ved Homey
- \(\Delta t_{DB''}'' = t_{B''}'' = ?t_B''\), siden B og B'' skjer samtidig
- \(\Delta x''_{DB''} = \frac{L_0}{\gamma}\), som vi f?r fra lengde-kontraksjon.
(Den siste er litt tricky ? skj?nne, men gir fullt mening. Vi ser etter distansen mellom D og B'' i Peter sitt system, og siden D skjer ved Beyond, og B'' skjer ved Homey, er det fristende ? tenke at denne distansen er \(\frac{2L_0}{\gamma}\), men vi m? huske at Peter, som er nullpunktet, ogs? har flyttet seg med en lengde p? \(L_0\))
Dersom vi bruker invariasjon av tidromsintervaller, f?r vi at
\(t_{B''} = \frac{L_0}{v} + L_0 v\)
Setter vi tall inn i dette f?r vi \(t_{B''} = 399.290\) ?r, og dette er litt rart. Vi har allerede regnet ut at Peter og Lisa n?r Destiny samtidig, men i Lisas system har det bare g?tt ca 4 ?r p? Homey! Her ligger faktisk l?sningen p? problemet; n?r Lisa skal snu, m? hun hoppe over i Peter sitt system, og vi antar at dette tar veldig kort tid. Rett f?r hun hopper, har det g?tt 4 ?r p? Homey, og rett etter har det g?tt 400. Det betyr at i det hun hopper over i det andre systemet, g?r det 396 ?r p? Homey! Dette kommer av akselerasjonen, som vi nevnte tidligere.
Vi vet alts? at i det Lisa begynner sin hjemreise, har det g?tt 400 ?r, og vi vet at selve reisen tar 4 ?r (sett fra klokkene p? Homey). Dermed tar den totale reisen 404 ?r, og dette tallet burde se kjent ut. Dette er tiden vi beregnet at reisen burde ta i planetsystemet helt ved begynnelsen!
?
La oss pr?ve ? f? et overblikk over hele reisen til Lisa. Hun forlater Homey ved \(t = t' = 0\), og bruker ca. 28.5 ?r p? ? komme fram til Destiny. P? Homey tar denne reisen 202 ?r, mens dersom vi ser p? klokkene p? Homey fra Lisa sitt system, tar reisen 4 ?r.
Lisa hopper s? over i den andre heisen, bytter system, og akselereres slik at farten snur retning. Klokken ombord i heisen st?r det fortsatt 28.5 ?r p?, og p? Homey har det ikke g?tt mer enn 202 ?r, men dersom vi ser p? klokkene p? Homey fra Lisa sitt nye system, har det g?tt 400 ?r.
I planet-systemet, tar det ogs? 202 ?r ? komme tilbake, s? den totale reisetiden blir 404 ?r. I Lisa sitt system, tar reisen tilbake ogs? 28.5 ?r, og hun kommer hjem etter totalt 57 ?r. Ogs? i Lisa sitt system, g?r det bare 4 ?r p? Homey mellom at hun forlater Destiny og at hun kommer hjem, som betyr at den totale tiden som har g?tt p? Homey siden hun dro, er 404 ?r.
Vi kan alts? se at tiden vi m?ler fra Lisas system, og tiden vi m?ler i planet-systemet, er konsistente, men vi har fortsatt at Lisa oppfatter mye kortere tidsperioder enn de p? Homey, og dette er faktisk sant! Personer som beveger seg n?r lyshastigheten vil faktisk oppleve en kortere tidsperiode enn de som ikke gj?r det!
?
Vi har fortsatt gjort noen forenklinger her som vi ?nsker ? utdype rundt. Vi skal n? pr?ve ? se n?rmere p? perioden der Lisa bytter systemer, for ? pr?ve ? f? en bedre forst?else av alt dette.
Logg inn for ? kommentere