N? skal vi se litt n?rmere p? akselerasjonsprosessen. Vi kan selvsagt ikke gj?re dette helt ordentlig enda, men vi skal pr?ve s? godt vi kan med de verkt?yene spesiell relativitetsteori gir oss.
Vi holder oss fortsatt til en dimensjon, og vi antar en konstant akselerasjon \(g\), som er negativt rettet. Vi vet at spesiell relativitetsteori ikke kan jobbe med akselerasjon, s? vi m? anvende et lite triks. I stedet for ? tenke p? en heis som sakker ned, tenker vi p? uendelig mange heiser, der hver heis har litt mindre hastighet enn heisen f?r. I stedet for at heisen sakker ned, g?r Lisa fra en heis til den neste, alts? hun bytter system til ett som er treigere. Dersom vi bytter til et system som har veldig forskjellig hastighet, da gjennomf?rer vi en akselerasjon (og det har vi ikke lov til!), men dersom vi gj?r forskjellene mellom systemene ekstremt sm?, kan vi komme forbi denne begrensningen, i hvert fall til en grad. Slik kan vi simulere akselerasjon!
Dersom vi holder oss til planet-systemet, kan vi se at tidspunktet der vi snur, alts? der hastigheten er 0, er gitt ved \(t_{turningpoint} = t_B + \Delta t\), der \(\Delta t\) er tiden det tar for oss ? sakke ned. Vi kan lett finne denne tiden:
\(v_0 + g\Delta t = 0 \Rightarrow \Delta t = -\frac{v_0} g\)
,der \(v_0\) er hastigheten Lisa har n?r hun n?r Destiny. Dette er fra klassisk mekanikk, ingen relativistiske mysterier her. Vi f?r
\(t_{turningpoint} = t_B - \frac{v_0} g\)
S? m? vi huske at g < 0, som gir oss at dette er et tidspunkt etter \(t_B\), som gir mening. Lisa vil alts? fly et stykke forbi Destiny f?r hun snur, mens hun sakker ned. N?r hun passerer Destiny andre vei, vil hun naturligvis ha samme fart som \(v_0\), men rettet andre vei, siden hun akselererer over samme strekning, bare andre veien.
?
Vi vil n? definere en litt rar hendelse, eller faktisk to. Vi definerer hendelse Y og Y' som to hendelser akkurat som B og B', men som skjer etter en gitt tid \(t_Y > t_B\). Vi har alts? at Y skjer et sted litt forbi Destiny, og Y' skjer samtidig, men rett ved Homey. Vi skal bruke hendelsene Y og Y' til ? beskrive hva som skjer med klokkene p? Homey igjennom hele akselerasjonen, for ? finne ut hvordan vi ender opp med den veldig hyppige tidsendringen. Vi vil kunne bruke invariasjon av tidromsintervaller, som betyr at vi m? beregne noen verdier, b?de for Y og Y'. Vi begynner med Y
- \(x_Y = L_0 + v_0(t_Y - t_B) + \frac 1 2 g (t_Y - t_B)^2\). Dette utrykket ser litt skummelt ut, men det kommer fra klassisk mekanikk. \(L_0\) er distansen fra Homey til Destiny, og resten av utrykket er bare hvor langt Lisa har kommet etter det.
- \(t_Y = t_Y\). Vi kan ikke beregne noe her, men det trenger vi ikke heller. For alle situasjoner der vi vil bruke \(t_Y\) vil vi ha den gitt.
- \(x'_Y = 0\), siden origo f?lger Lisa
- \(t'_Y = t'_Y\). Denne verdien kan vi rett og slett ikke beregne, men det g?r fint. Denne variabelen forsvinner helt fra utrykket vi lager senere.
Vi kan s? se p? Y'
- \(x_{Y'} = 0\), siden Y' skjer ved Homey, og Homey ligger i origo i planet-systemet.
- \(t_{Y'} = t_{Y'}\). Denne verdien kan vi ikke beregne n?, men vi vil f? den ut av tidromsintervallet senere
- \(x'_{Y'} = -\frac{x_Y}{\gamma (t_Y)}\). \(x_Y\) er distansen mellom Homey og Lisa i planetsystemet, s? vi kan finne distansen mellom Lisa og Homey i Lisa sitt system ved lengde-kontraksjon. \(\gamma (t_Y)\) er her verdien for Lorentz faktoren ved tiden \(t_Y\), siden denne er avhengig av hastigheten, som er avhengig av tiden.
- \(t'_{Y'} = t'_Y\), siden disse to hendelsene skjer samtidig i Lisa sitt system. Dette er grunnen til at disse variablene faller bort senere, siden vi f?r at \(\Delta t'_{YY'} = 0\).
Dersom vi bruker invariasjon av tidromsintervaller (vi hopper over selve utledningen her) f?r vi at \(t_{Y'}\) er gitt ved
\(t_{Y'} = t_Y - x_Y(v_0 + g(t_Y - t_B))\)
der \(x_Y\) er det lange leddet skrevet ?verst i listen tidligere. Vi kan n? finne ut hva som st?r p? klokkene p? Homey (sett fra Heis-systemet) til enhver tid! Vi skal bruke dette til ? finne ut hva som skjer med tiden under akselerasjons-prosessen.
Fra n? av vil vi anta en konstant akselerasjon p? \(g = -0.1\) m/s^2. For ? f? dette over til v?re relativistiske enheter, deler vi p? c, og f?r \(g = -3.4 \cdot 10^{-10}\) 1/s. Vi kan bruke denne akselerasjonen til ? finne ut hva tiden er n?r Lisa snur (i planet-systemet):
\(t_{turningpoint} = t_B - \frac{v_0} g = 9.33 \cdot 10^9\) s. Dette er ca 295 ?r.?
Vi kan n? ogs? finne ut hva tiden p? Homey er sett fra heis-systemet, ved ? bruke formelen vi utledet:
\(t_{turningpoint'} = t_{turningpoint} - x_Y(v_0 + g( t_{turningpoint} - t_B)) = 295\) ?r. Dette er utrolig spennende! I punktet der Lisa snur, er alts? hun enig med de p? Homey om hva tiden er der! Hvordan kan dette skje? Jo, n? som Lisa er i et system der \(v \approx 0\), er hun egentlig i samme system som Homey! Da m? de naturligvis se det samme p? klokkene (hvis ikke hadde vi hatt et problem med den klassiske mekanikken!). Vi vet at ved \(t_B\), n?r Lisa begynner ? sakke ned, mener observat?ren i hennes system at det bare har g?tt 4 ?r p? Homey, s? akuratt som vi s? i forrige innlegg, m? det skje noe i akselerasjonsprosessen som f?r tallene til ? endre seg. Vi kan plotte verdier for \(t_{Y'}\) over verdier for \(t_{Y}\) for ? observere dette:
Hva kan vi egentlig se her? Mellom 0 og 200 ?r ser vi at tiden p? Homey sett fra Heissystemet beveger seg ekstremt lite, og dette er forventet. Vi vet at klokkene vil v?re p? 4 ?r n?r vi kommer fram til Destiny, og dette gjenspeiler seg i grafen. Vi kan s? se at tiden p? Homey sett fra Heissystemet skyter opp med en gang vi begynner akselerasjonsprosessen, nesten for ? "ta igjen" tiden i planetsystemet, som er akkurat det vi forventet skulle skje!
I forrige innlegg fant vi ut at tiden p? Homey sett fra Heissystemet faktisk l? foran tiden i planetsystemet etter hun hadde snudd. Vi burde n? ha den samme situasjonen, men det er lurt ? sjekke. Vi har at \(t_{turnpoint} = 295.650\) ?r (i planet-systemet). Dette gir oss ?\(\Delta t_{turnpoint} = t_{turnpoint} - t_B = 94.114\) ?r, som er tiden det tar for Lisa ? n? null hastighet. Det vil naturligvis ta like lang tid for henne ? n? den samme hastigheten andre vei, som gir oss at hun er tilbake ved Destiny med hastighet \(-v_0\) ved \(t = t_{turnpoint} + \Delta t_{turnpoint} = 389.763\) ?r. Vi setter dette inn i formelen v?r, og f?r at tiden ved Homey, sett fra heis-systemet n?r Lisa forlater Destiny igjen, er 587.402 ?r, som er mer enn 389.763 ?r, akkurat som vi hadde h?pt.
?
Endelig skal vi se p? hvordan tiden oppfattes for Lisa. Vi vet at det tar 28.5 ?r for Lisa ? dra fra Homey til Destiny, og det samme tilbake. Det betyr at det tar Lisa totalt 57 ?r ? gjennomf?re hele reisen dersom vi ignorerer akselerasjonperioden. Vi vil n? regne ut hvor lang tid det tar for Lisa ? akselerere, og legge til disse 57 ?rene, for ? finne ut hvor lang tid hele reisen tar.
Vi definerer n? hendelse E, som er det punktet der Lisa har hastighet = 0, og vi vil restarte klokkene v?re slik at vi f?r T = 0 her (vi vil bruke stor T s? lenge vi snakker om denne delen av bevegelsen). Vi f?r da at T = T' = 0 i hendelse E.
N? kan vi g? tilbake til tanken om de evige heisene. Vi sier at Lisa er i en heis for en veldig liten tidsperiode \(\Delta T'\), og s? g?r hun videre til neste heis. Vi kan ved hjelp av tidsdilatasjon utrykke denne \(\Delta T'\) ved hjelp av \(\Delta T\), og s? integrere over alle \(\Delta T\), siden vi vet hvor lang tid det tar for Lisa ? akselerere i planet-systemet. Dette gir oss uttrykket
\(T' = \frac{v_0 \sqrt{1-{v_0}^2} + \arcsin(v_0)}{2g}\)
Dersom vi setter tall inn i dette utrykket f?r vi at Lisa bruker \(T' = 74.574\) p? ? komme tilbake til Destiny. Fra symmetri kan vi f? at hun bruker like mye tid fra hun ankommer Destiny, til hun n?r hastighet \(v = 0\).
?
Dette er alts? hele situasjonen, fra start til slutt, i begge systemer:
I planet-systemet, bruker Lisa 202 ?r p? ? komme til Destiny. Hun bruker 94 ?r til ? sakke ned til 0 hastighet, og 94 til ? akselerere igjen, slik at hun forlater Destiny (mot Homey) etter 340 ?r. Til slutt, tar det 202 ?r ? komme tilbake til Homey, som gir en total tid p? 592 ?r.
N?r vi ser p? tiden p? Homey fra Lisa sitt system, tar det 4 ?r for henne ? n? Destiny. I l?pet av akselerasjonen, beveger tiden seg veldig fort p? Homey (sett fra Lisa sitt system), slik at Lisa og personene p? Homey er enige om at det har g?tt 296 ?r n?r Lisa har null hastighet. N?r Lisa har akselerert igjen, ligger tiden som observeres p? Homey (fra hennes system) n? foran tiden som m?les i planet-systemet, p? 588 ?r. S?, tar det 4 ?r tilbake til Homey, som gir en total tid p? 592 ?r, akkurat som i planet-systemet (dette var forventet, vi fant ut av dette i forrige innlegg).
Til slutt, ser vi p? tiden i Lisa sitt system. Fra tidligere vet vi at det tar 28.5 ?r for Lisa ? n? Destiny i dette systemet. S?, vet vi at det tar 75 ?r for henne ? n? null hastighet, og s? 75 ?r ? akselerere. Til slutt, tar det 28.5 ?r ? komme tilbake til Homey, som gir en total tid p? 206 ?r. Vi ser at dette er mindre enn 592 ?r, som forventet, men at vi er n?rmere tiden i planet-systemet n? enn det vi var f?r, og dette gir mening. Mens Lisa er i akselerasjons-prosessen, vil hastigheten alltid v?re lavere en 0.99c, som betyr at tiden g?r med en hastighet som er n?rmere planet-systemets tid, enn n?r vi bare hadde konstant hastighet.
?
Det var tvillingparadokset! Det har seg faktisk slik at to personer som beveger seg i forhold til hverandre vil ha forskjellige oppfatninger av tid, b?de ang?ende n?r ting skjer, men ogs? hvor lang tid som har g?tt i helheten er! Vi har n? blitt ganske gode p? ? regne innen spesiell relativitetsteori, og heldigvis for oss vil ingen av de andre oppgavene vi skal l?se v?re fullt s? omfattende. Vi kan da g? videre.
Logg inn for ? kommentere