Vi skal n? bli introdusert til enda et verkt?y innen relativitetsteorien (og dette brukes b?de innen spesiell og generell!)
Ta en titt p? dette bildet:
Dette kalles for verdenslinjer, og er en m?te ? representere hvordan et objekt beveger seg gjennom tidrommet. Konseptuellt fungerer de akkurat som en vanlig posisjonsgraf, men med noen f? (ganske store) forskjeller.
Det f?rste man ser er at vi har posisjon langs f?rsteaksen (merk at vi bare ser p? en rom-dimensjon her!), og tid langs andreaksen, selv om vi vanligvis har det andre veien. Dette f?rer til at man m? tenke litt annerledes n?r man skal lese av grafen, siden tiden n? g?r opp! For eksempel kan man her se at linjen med navn S, som bare g?r rett opp, st?r helt i ro gjennom hele denne tidsperioden (i det referansesystemet vi ser p? i dette diagrammet, naturligvis).
Dette diagrammet illustrerer en situasjon der tre romskip (markert 1,2, og 3) flyr vekk fra en romstasjon (markert S), der vi ser p? romstasjonens system (dette er grunnen til at verdenslinjen til romstasjonen g?r rett opp!). Vi kan n? begynne ? tenke oss fram til hva som skjer i denne situasjonen.
Vi ser at alle tre skipene beveger seg vekk fra romstasjonen, men med forskjellige hastigheter. Av de tre, beveger skip 1 seg treigest, siden den peker nesten opp, og skip 2 seg raskest, siden den har st?rst vinkel mellom seg og t-aksen. Skip 3 har en variabel hastighet, som vi kan se ved at linjen er kurvet, og vi kan se at skip 3 p? ett tidspunkt n?r bort til skip 2 (se hvor linjene r?rer hverandre), f?r det sakker ned.
Diagrammet sier ogs? noe om hvordan tiden oppfattes i de forskjellige systemene. Anta at vi plasserer en klokke p? hver av skipene, og p? romstasjonen. Tiden som vises p? denne klokken kalles for egentiden \(\tau\) til dette systemet. Dersom vi velger to punkter i tidrommet (to punkter p? verdenslinjen), har vi at "lengden" p? linjen mellom de to punktene er tidromsintervallet \(\Delta s\), og at \(\Delta s^2 = \Delta \tau^2\). Vi kan alts? se p? "lengdene" til linjene for et objekt, for ? finne ut hvor lang egentiden i systemet som f?lger det objektet er!
Jeg skriver "lengde" fordi dette ikke er lengde s?nn vi tenker p? det tradisjonellt. Vanligvis ville vi i en graf som dette regnet lengde som \(L = \sqrt{t^2 + x^2}\), men n?r vi jobber med tidromsintervaller, jobber vi i det som kalles "Lorentz geometri". Uten ? g? i detaljer, f?rer dette til at vi regner lengde som \(L = \sqrt{t^2 - x^2}\), og dette ser kanskje litt kjent ut. Det er s?nn vi regner tidromsintervaller! Tidromsintervaller og lengde langs verdenslinjen er alts? det samme!
La oss n? definere to hendelser:
- Hendelse A er at alle rakettene begynner ? bevege seg
- Hendelse B er at skip 3 n?r bort til skip 2
Disse hendelsene er illustrert p? bildet med to kryssningspunkter, hendelse A i r?dt, og hendelse B i bl?tt:
F?rst av alt kan vi teste at det vi har l?rt om egentid gir mening. Hvis vi f?rst ser p? romstasjonen, og vi ser p? intervallet mellom hendelse A og C (der C er en hendelse som skjer samtidig med B, men i romstasjonen), f?r vi at?
\(\Delta \tau^2 = \Delta s^2 = (\Delta t^2 - \Delta x^2) = \Delta t^2\)
siden posisjonsendringen er lik 0. Vi f?r alts? at egentiden er lik tiden, som er akkurat som forventet, siden vi ser p? et system der romstasjonen st?r i ro!
P? samme m?te, kan vi se p? skip 2, der det faktisk er en endring i posisjon, som gir oss en mindre egentid enn for romstasjonen, siden vi trekker fra tidsendringen. Dette er ogs? konsistent med det vi har sett tidligere, siden vi vet at objekter i bevegelse vil oppleve en kortere tidsperiode!
Til slutt, skal vi se p? skip 3, som har variabel hastighet.
Vi antar at alle skipene har en stoppeklokke ombord, som tikker hvert millisekund. Hver av disse tikkene som skjer mellom de to hendelsene er markert langs tids-aksen, og langs to av verdenslinjene.
Dersom vi ser p? tikkene markert langs tids-aksen, kan vi se hvor mange ganger klokka p? romstasjonen tikker. Vi ser at det er 10 merker, som betyr at det g?r 10 ms mellom de to hendelsene i romstasjonsystemet.
Vi kan s? se p? tikkene markert langs linjen til skip 2. Vi ser her at det tikker 8 ganger (det skal v?re et merke i det r?de kryssningspunktet, alts? der hendelse A skjer, men dette er litt vanskelig ? se). Akkurat som beskrevet tidligere, opplever romskip 2 en kortere tidsperiode enn romstasjonen. Det er f?rre tikk fordi tikkene er lengre fra hverandre, men hvorfor skjer dette? Vi vet at egentiden m? v?re lik mellom hvert tikk, p? begge aksene, siden denne skal v?re 1 ms. Vi vet ogs? at egentiden er lik lengden langs linja, og der ligger svaret; n?r vi beveger oss langs posisjonsaksen blir lengden mindre! Vi m? derfor ogs? bevege oss litt langs tidsaksen, slik at lengden forblir det samme.
N?r vi s? ser p? linjen for skip 3, ser vi at denne linjen har enda f?rre tikk enn linjen for skip 2. Hvorfor skjer dette? Dette kommer av et veldig viktig prinsipp innen b?de spesiell og generell relativitetsteori: Prinsippet om maksimal aldring. Dette prinsippet sier at et objekt som ikke p?virkes av krefter alltid vil f?lge den verdenslinjen som gir h?yest egentid. Dette betyr at dersom vi har to verdenslinjer som starter og slutter i samme punkt, vil den verdenslinjen som er rettest (den som beskriver et objekt uten akselerasjon) v?re den med h?yest egentid!
P? grunn av dette f?r vi at det akselererte skipet, som har en kurvet verdenslinje, vil ha kortere egentid enn skip 2, som har konstant hastighet (eller som vi ofte sier innen relativitetsteorien, at skip 2 er et fritt flytende objekt).
?
Vi har n? blitt introdusert til verdenslinjer! Dette er et nyttig verkt?y som lar oss representere hvordan objekter beveger seg relativistisk.?
I neste oppgave skal vi se p? sm? partikler, som har en tendens til ? bevege seg veldig fort.
Logg inn for ? kommentere