De to siste oppgavene vi skal se p? f?r vi g?r videre til generell relativitetsteori handler om en generalisering av ting vi gj?r i vanlig ikke-relativistisk fysikk. Vi skal n? begynne ? se p? relativistisk driv (bevegelsesmengde) og energi.
Situasjonen er som f?lger: Et n?ytron beveger seg langs x-aksen (i laboratoriesystemet) med konstant positiv hastighet n?r \(c\)?. Etter en liten stund, brytes n?ytronet opp til et proton og et elektron som fortsetter ? bevege seg langs x-aksen (egentlig kommer det ogs? et n?ytrino her, men vi har ikke tenkt til ? regne med det. Hvis du er partikkelfysiker s? beklager jeg).
Vi arbeider med to systemer:
- Laboratoriesystemet, som n?ytronet beveger seg gjennom (ikke-merket)
- N?ytron-systemet, der n?ytronet ligger i ro (merket)
For ? f? en ide om hvordan situasjonen ser ut i de sto systemene, kan vi bruke et verkt?y fra tidligere. Vi tegner verdenslinjer:
Her brytes linjen opp i to deler samtidig som n?ytronet brytes opp i to partikler (vi antar at dette skjer instantant).
Vi kan se at protonet har en hastighet veldig lik n?ytronet (senere skal vi finne ut at farten faktisk er annerledes, men forskjellen er s? liten at dette ikke er mulig ? lese av grafen), mens elektronet f?r en h?yere hastighet, og vil bevege seg vekk fra protonet.
Vi skal n? bruke den relativistiske varianten av bevaring av energi, til ? beregne hva disse hastighetene faktisk er (i begge systemer), men f?rst m? vi vite litt teori. Fra n? av vil vi representere posisjoner, hastigheter, og relativistisk driv som 4-vektorer. Vi har faktisk sett noe liknende tidligere, n?r vi s? p? punkter \(t,x\), men n? skal vi generalisere dette. Vi f?r at posisjoner og hastigheter er gitt ved
- \(X_{\mu} = (t,x,y,z)\)
- \(V_{\mu} = \gamma \cdot (1,v_x, v_y, v_z)\)
(Vi vil komme tilbake til relativistisk driv).
Notasjonen \(X_{\mu}\) er bare en konvensjon vi bruker i relativitetsteorien i stedet for vektorpil. Det sier ifra om at det er en 4-vektor, og at vi jobber med Lorentz-geometri. Akkurat hva som er i subscript her er ikke s? viktig, s? lenge det er et gresk tegn. Vi vil som regel bruke \(\mu\), men i de tilfellene vi trenger flere, vil vi ogs? bruke \(\nu\).
Vi kan se at \(V_{\mu}\) nesten bare er den deriverte til \(X_{\mu}\) (som fors?vidt er forventet), men at det har dukket opp en lorentz faktor i alle komponentene. Hvor kommer denne fra? Trikset her er ? huske p? hva vi deriverer p? hensyn med. Her deriverer vi ikke med \(t\), men med \(\tau\), alts? egentiden til objektet. Vi gj?r dette fordi \(t\) er forskjellig utifra hvilket system du er i, mens alle er enige om hva \(\tau\) er for et gitt legeme. Derfor bruker vi \(\tau\) som tidsvariabel, og n?r vi deriverer med hensyn p? \(\tau\), introduseres denne \(\gamma\) inn i utrykket.
Det som er fint (og egentlig ganske magisk) med 4-vektorene er at vi veldig lett kan transformere mellom to systemer. Vi har:
\(X_{\mu}' = c_{\mu\nu} X_{\nu}\)
Der \(c_{\mu\nu}\) er en stor matrise.
Dette gjelder alle 4-vektorer, som gj?r det mulig for oss ? transformere mange forskjellige typer verdier mellom systemer. Lorentz-transformasjonene, som vi har sett p? tidligere, er en forenkling av denne transformasjonen.
?
Endelig skal vi snakke om relativistisk driv. Vi definerer relativistisk driv naturlig nok ved ? multiplisere hastighets-4-vektoren med masse. I motsetning til det man l?rer i Fysikk 2, er masse er det vi kaller en invariant st?rrelse i relativitetsteorien, alts? at det ikke endrer seg utifra system. Vi f?r
\(P_{\mu} = mV_{\mu} = \gamma m (1,v_x, v_y, v_z)\) = ?\gamma (m,p_x, p_y, p_z)\)
der \(p_x,p_y,p_z\) er ikke-relativistisk driv (som vi kjenner fra klassisk mekanikk).
I v?r situasjon beveger vi oss bare langs x-aksen, som gir oss en lettere vektor ? arbeide med:
\(P_{\mu} = ?\gamma (m,p,0,0)\)
der m er massen til objektet, og p er det ikke-relativistiske drivet. Et viktig resultat (som vi ikke har tenkt til ? g? gjennom) sier at det f?rste koordinatet i denne vektoren, \(\gamma m\), faktisk er objektets totale energi \(E\). Vi kommer til ? bruke dette fremover.
Dersom vi anvender 4-vektorenes transformasjonsevner som beskrevet tidligere (og fjerner tredje og fjerde koordinat, siden vi bare ser p? bevegelser langs x-aksen), f?r vi f?lgende transformasjoner mellom systemer:
\(E' = \gamma_{rel} E - v_{rel} \gamma_{rel} p\)
\(p' = \gamma_{rel} p - v_{rel} \gamma_{rel} E\)
Der \(\gamma_{rel}\) og \( v_{rel}\) er Lorentz-faktoren og hastigheten mellom systemene, og ikke til selve objektet. S? m? vi bare huske at \(E = \gamma m\) og \(p = \gamma m v\).
?
N? er vi klare til ? h?ndtere situasjonen! En liten refresher; n?ytron beveger seg med positiv hastighet i lab-systemet, og splittes til et proton og et elektron, som fortsetter ? bevege seg. Vi har to systemer, et lab-system som n?ytronet beveger seg gjennom, og et system som f?lger n?ytronet (alts? at n?ytronet ligger i ro).
Vi skal hovedsakelig se p? n?ytron-systemet. Anta at elektronet har en hastighet \(v_e'\). Vi kan da definere \(\gamma_e' = \frac{1}{\sqrt{1-{v_e'}^2}}\). Vi f?r da en relativistisk driv gitt ved
\(P_{\mu}'(e) = \gamma_e' (m_e , p_e', 0, 0)\)
Der \(p_e =m_e v_e\). Igjen, siden vi vet at partikkelen kun beveger seg langs x-aksen, har vi 0 p? tredje- og fjerde- koordinat, og dermed er all hastighet (og all ikke-relativistisk driv) er samlet i x-koordinatet. Relativistisk driv for protonet, \(P_{mu}'(p)\), er gitt p? samme m?te (naturligvis med protonets variabler i stedet for elektronets).
For n?ytronet blir utrykket enda enklere. Siden vi har \(v_n' = 0\) i dette systemet, f?r vi \(\gamma_n' = 1\), og vi f?r?
\(P_{\mu}'(n) = (m_n,0 ,0 ,0)\).
som gj?r det veldig lett ? regne med.
?
Det har seg slik, at akkurat som med ikke-relativistisk driv, s? er relativistisk driv en bevart st?rrelse (faktisk er bevaring av ikke-relativistisk driv et spesialtilfelle av bevaring av relativistisk driv!). Det betyr at total relativistisk driv f?r n?ytronet deler seg m? v?re likt total relativistisk driv etter n?ytronet deler seg. Vi kan bruke dette til ? finne ut hastighetene til partiklene. Vi f?r f?lgende likning:
\(P_{\mu}'(n) = (P_{\mu}'(p) + P_{\mu}'(e))\)
Denne vektorlikningen gir oss f?lgende likningssystem:
I : \(m_n = \gamma_p' m_p + \gamma_e' m_e\)
II : \(0 = \gamma_p' m_p v_p' + \gamma_e' m_e v_e '\)
Igjen kan vi ignorere likning III og IV, siden alle ledd i disse likningene er 0.
Dersom vi l?ser disse likningene, f?r vi et utrykk for \(\gamma_p'\) og \(\gamma_e'\):
\(\gamma_p' = \frac{m_n^2 + m_p^2 - m_e^2}{2 m_p m_n}\)
\(\gamma_e' = \frac{m_n^2 + m_e^2 - m_p^2}{2 m_e m_n}\)
som vi kan hente \(v_p'\) og \(v_e'\) ut av.
?
?
F?r vi g?r videre og setter inn tall, skal vi argumentere for hvorfor massen ikke er bevart, alts? at noe av massen forsvinner og blir til energi n?r n?ytronet deler seg. Anta at massen er bevart, alts? at \(m_n = m_p + m_e\). Dersom vi setter dette inn i \(\gamma_p'\), f?r vi
\(\gamma_p' = \frac{m_n^2 + m_p^2 - m_e^2}{2 m_p m_n}\)
\(= \frac{(m_p + m_e)^2 + m_p^2 - m_e^2}{2 m_p (m_p + m_e}\)
\(= \frac{m_p^2 + 2 m_p m_e + m_e^2 + m_p^2 - m_e^2}{2 m_p^2 + 2 m_p m_e}\)
\(= \frac{2m_p^2 + 2 m_p m_e}{2 m_p^2 + 2 m_p m_e}\)
\(= 1\)
\(\gamma_p' = 1\) gir oss \(v_p' = 0\), og vi f?r det samme dersom vi setter inn i \(\gamma_e'\), alts? at \(v_e' = 0\). Dette betyr alts? at n?ytronet deler seg og blir til to partikler som til sammen har n?ytronets masse, og som begge opptar n?ytronets posisjon (husk at n?ytronet er i ro i dette systemet). Men da har jo ikke n?ytronet delt seg! For at n?ytronet faktisk skal dele seg, s? m? partiklene bevege seg fra hverandre, som betyr at \(v_e' \neq 0\), \(v_p' \neq 0\).
?
P? tide ? legge inn tall! Vi har at
- \(m_n = 1.67492747 \cdot 10^{-27}\)
- \(m_p = 1.67262158 \cdot 10^{-27}\)
- \(m_e = 9.10938188 \cdot 10^{-31}\)
Fra uttrykkene v?re for \(\gamma_p'\) og \(\gamma_e'\), f?r vi
- \(v_p' = -0.00127\)
- \(v_e' = ?0.91856\)
Dette ser lovende ut! Fra verdenslinjene kunne vi se at elektronet flytter seg vekk, mens protonet st?r tiln?rmet stille i forhold. Her ser vi det samme! Elektronets fart er mye st?rre enn protonets.
Vi har at n?ytronet beveger seg med en hastighet \(v_n = 0.8930\). Fra 4-vektorenes transformasjonsevner kan man utlede en formel som transformerer disse hastighetene til lab-systemet. Vi setter inn og f?r:
- \(v_p = 0.895\)
- \(v_e = 0.995\)
Dette ser ogs? ut s?nn vi forventer! Hastigheten til protonet er mindre enn hastigheten til n?ytronet, og hastigheten til elektronet er st?rre. Vi har ogs? at forskjellen mellom \(v_e\) og \(v_n\) er nesten 400 ganger st?rre enn forskjellen mellom \(v_p\) og \(v_n\), som stemmer med tidligere observasjoner.
?
Vi har n? blitt introdusert til 4-vektorer, relativistisk driv, og vi har blitt litt introdusert for hvordan 4-vektorer kan transformeres mellom systemer. Dette vil bli viktig n?r vi jobber med generell relativitetsteori, men ogs? for v?r neste (og siste!) oppgave med spesiell relativitetsteori, der ting blir litt farlig.
Logg inn for ? kommentere