N? skal vi begynne med ? se p? generell relativitet, og da skal vi faktisk starte med noe av det samme vi sluttet med i spesiell relativitet; vi starter med doppler effekten. Som dere har l?rt handler den om hvordan vi beveger oss i forhold til en lyskilden, men vi kan faktisk se at krumningen i romtiden fra masser faktisk ogs? f?rer til samme effekt!
Vi starter med ? tenke oss at rundt ett tungt objekt har vi ett skal vi kan st? p?. P? dette skallet st?r vi og teller b?lgetopper i en lystr?let som vi skyter oppover. Da har vi plutselig noen forskjellige hendelser. Men f?r vi g?r inn i regningen m? vi skj?nne noe viktig, nemlig hva masse gj?r med tidrommet. Som vi har l?rt i spesiell relativitet vet vi at romtiden er formet i det vi kaller Lorentz-geometri, tre dimensjoner pluss tid. Dette er faktisk ikke helt riktig, det gjelder bare n?r vi er i et ikke akselerert system, og geometrien kan variere. Spesielt n?r vi har et kulesymetrisk akselerasjonsfelt som tyngdekraften fra planeter og stjerner har vi Schwarzschild geometri! Istedenfor at \( \Delta S^2 = \Delta t^2 -\Delta x^2 -\Delta y^2 -\Delta z^2\) s? har vi at \(\Delta S^2 = (1 - \frac{2M}r) \Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{1-\frac{2m}r} - r^2 \Delta \phi^2 \) Hvor r er avstanden fra sentrum og \(\phi\) er vinkelen i \(\phi\) retning, m er massen til objektet som skaper krumningen. Vi tenker vi holder oss i samme xy plan s? z = 0. Hvis en person er langt unna og ser p? systemet er dette hvordan de vil best kunne forklare det. Men n?r man selv er inne i tyngdefeltet, kan vi fortsatt bruke Lorentz-geometri. Du tenker kanskje dette er litt rart, men la meg sp?rre deg n?r du skal regne hvor langt huset ditt er, tar du hensyn til at jorden er rund? Antagelig ikke, og dette er fordi feilen vi f?r av ? tiln?rme euklidisk geometri er sv?rt liten. P? samme m?te s? lenge alle avstandene i romtiden, alts? \(\Delta t, \Delta x_i\) (hvor \(x_i\) er kort begrep for xyz) er sm? nok fungerer denne aproksimasjonen.?
N? som vi vet dette kan vi finne ut hvor stor tiden mellom b?lgentoppene er observert for en person som er uendelig langt unna skallet v?rt. Vi ser p? en periode hvor event A er at f?rste topp passerer klokka, og event B er at andre topp passerer klokka. Vi kan da sette opp romtidsintervallet sett fra personen p? skallet og personen langt unna. Vi vet ogs? at de skal v?re like hverandre ? grunn av invarians av romtidsintervaller. Nyttig ? huske p? at klokken ligger i ro for begge referansepunktene, derfor vil \(Delta r = ?\Delta \phi = 0\) (vi bruker ogs? lorentzgeometri i polarkordinater).
\((1 - \frac{2M}r) \Delta t^2 = \Delta t_{shell}^2 ?\implies \Delta t = \frac{\Delta t_{shell} }{\sqrt{1 - \frac {2M}r}}\)?
N? dette gir oss ett utrykk for de forskjellige periodene (P) p? lyset mellom de to observat?rene. Vi kan da bruke ligningen \(f = 1/P\) hvor f er frekvensen til str?len og \(\frac{c/f} = \lambda \) hvor \(\lambda\) er b?lgelengden. Dermed ved ? ha forskjell i periode har vi ogs? forskjell i b?lgelengde. Da vet vi ogs? hvordan krumningen av romtiden har p?virket lyset fra skallet r, som er kilden, frem til vi er uendelig langt unna, alts? utenfor krumningen. Dette er Dopplerefekten fra tyngdefeltet:
\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_{shell}} = \frac{\lambda - \lambda_{shell}}{\lambda_{shell}} ?= \frac{c/f- c/f_{shell}}{c/f_{shell}} = \frac{1/f- 1/f_{shell}}{1/f_{shell}} = ? \frac{P- P_{shell}}{P_{shell}} = \frac P {P_{shell}} -1 ?\)?
\(=\frac { \frac{\Delta t_{shell} }{\sqrt{1 - \frac {2M}r}}} {\Delta t_{shell}} -1 = ?\frac{1} {\sqrt{1 - \frac {2M}r}} ?-1\)
Her sier jeg at alt med subskrift shell er p? skallet og alt uten subskrift er for en obsarvat?r uendelig langt unna.?
Det er litt rart ? tenke at to objekter som st?r stille fortsatt merker en dopplereffekt men som vi s? i spesiell relativetet kommer egentlig dopplereffekten p? lys ikke direkte fra bevegelsen av objektet men at tiden bevegde seg anerledes mellom refferansesystemene, og siden tid ogs? beveger seg anerledes n?r vi er i ett tyngdefelt versus n?r vi ikke er det s? er det forventet at vi f?r en dopplereffekt.?
Til slutt kan vi se p? hvordan denne ligningen ser ut n?r vi Schwarzschild radiusen er betydelig mindre enn kule radiusen. Da blir \(\frac {2M} r\) liten og vi kan taylorutvikle utrykket over. Vi trenger bare ? rekkeutvikle til f?rste grad fordi n?r vi f?r \((\frac M V) ^n n>1\) blir disse betydelig mindre enn f?rste ledd.
Vi f?r da taylorutvidelsen for dopplereffekt med variabel \(\frac{2M}V\) rundt 0. Vi kaller doppler funksjonen D.
\(D(0) = \frac 1 ?{\sqrt{1 - 0} }- 1 ?= 0 ?\)
\(D'(0) = -\frac 1 2 \frac{-1}{\sqrt{1-0}^3} \frac {2M} r = \frac M r\)
Vi f?r da at?
\(T = 0 + \frac M r + \mathcal{O}((\frac{2M} r )^2)\) Hvor \( \mathcal{O}((\frac{2M} r) ^2)\) betyr at det finnes tall med potenser av h?yere orden, men de er un?dvendige siden de blir sm?. Vi lar det leddet g? mot null og f?r en aproksimasjon:
\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_shell} = \frac M r\)
Denne funker n?r Schwarzschild radiusen (2M) er betydelig mindre enn skallet vi er p?, noe som gjelder for de fleste objekter i dette universet som solen v?r. Men med en gang vi snakker om sorte hull stopper dette ? funke.
Vi skal n? g? videre og se hvordan vi kan vise en av de viktigste bevarte st?relsene er ogs? bevart i GR?
Logg inn for ? kommentere