Relativistisk Spinn Bevaring

I fysikken har vi mange st?rrelser som ofte er bevart, og dette er utrolig viktig for mye av regningen og forst?elsen v?r. Derfor n?r vi ser p? generell relativitet pr?ver vi ? se om noen av disse st?rrelsene faktisk er bevarte. Det vi ofte finner er at ja en del av de er det men ofte p? en litt annen form en den vi skjenner. For eksempel driv g?r over til \(\gamma mv \)? i stedet for bare \(mv\). Dette er fordi de fleste lover vi har er bare tiln?rminger ved lave hastigheter. En annen veldig viktig konserveringslov som blir brukt mye i alt fra kvantemekk til astronomi er bevaring av spinnet. Spinnet kan bli sett p? som drivet for rotasjoner. Det er i newtonsk fysikk definert som \(L= r \cross p\). Derfor er vi sv?rt interesserte i ? finne ut hvordan dette ser ut i generell relativitet.?

Vi starter med ? se p? en ball som beveger seg gjennom tre punkter (1,2,3, figur 1). Det viktige her er at den ogs? beveger seg i \(\phi\) retning. Vi vet hvor i romtiden start- og slutt-punktene (1,3) er. Alts? vi vet alle kordinatene, men for det punktet i midten vet vi ikke hvilken vinkel den er i. Vi skal n? finne ut hvilken bane den velger og ta. Her er det viktig at alle tre punktene er n?re hverandre slik at vi kan tenke at radien er konstant mellom hvert av punktene, alts? fra 1 til 2 og fra 2 til 3, disse to er ikke n?dvendigvis like hverandre.Vi kan s? sette opp romtidsintervallet mellom 1 og 3. Dette kan deles opp i to intervaller, ett som g?r fra 1 til 2 og ett som g?r fra 2 til 3. Dette kan vi gj?re siden vi vet ballen g?r gjennom 2. Vi vet da fra prinsippet av maksimal aldring at dette intervallet vil velge den veien som maksimerer egentiden. Det bare er en fri variabel alts? (\\phi_2\). Vi maksimerer da intervallet over denne parameteren. Det er en \(\phi_2\) avhengighet i b?de intervallet fra 1 til 2, og intervallet fra 2 til 3. Vi finner at dette intervallet er maksimalt n?r forholdet radius og buelengde mot egentiden i intervallene 1 til 2 og 2 til 3 er like. Dette er utrolig viktig fordi ingenting stopper oss fra ? gj?re akkurat det samme fra 2 til 4 og f? samme likhet mellom intervallene 2 til 3 og 3 til 4 (Figur 2). Det f?lger da at denne st?rrelsen ogs? er lik mellom 1 til 2 og 3 til 4, s?nn kan vi fortsette og vi f?r at dette forholdet er likt for alle tider. Dette er det vi kaller en bevart st?relse!

N? kommer sp?rsm?let hva er egentlig denne st?rrelsen for noe? (Dere kan kanskje gjette utifra navnet p? posten). F?rst kan vi tenke at disse intervallene er utrolig sm?. S? sm? faktisk at vi kan tenke at geometrien lokalt er lorentz geometri og vi kan bruke spesiell relativitet. Vi antar ogs? at st?rrelsene er uendelig sm? slik at endringene delt p? hverandre i virkligheten bare blir den deriverte p? hensyn av hverandre. Siden vi antar spesiell relativitet kan vi da gj?re et lite fysikk triks som relaterer den deriverte av strekning i ett referansesystem over egentiden, til farten i det referansesystemet sammen med lorentzfaktoren. Vi f?r da ett utrykk som er avhengig av radiusen og farten som er tangesiell p? radiusen. Dette ligner utrolig p? kryssproduktet av farten og radiusen som er utrykket v?rt for spinn fra tidligere.?

Kort oppsumert har vi brukt prinsippet om maksimal aldring, alts? at romtidsintervallet (egentiden) skal maksimere for ? finne ut at en st?rrelse er bevart. Vi har s? vist at, n?r man tenker p? intervallet som liten nok og bruker spesiell relativitet, denne st?rrelsen er lik den relativistiske tangensielle drivet fordelt p? massen ganget med radiusen. N?r man s? lar farten v?re lav ser man at dette er ekvivalent med spinn fordelt p? massen. Dermed har vi n? vist at relativistisk spinn fordelt over massen er bevart. Som jeg p?pekte i starten er bevaring av spinn en utrolig viktig egenskap vi har i fysikken som lar oss si mye om bevegelse. Vi har vist at denne konserveringen skjer som en direkte f?lge av prinsippet om maksimal aldring. Senere i bloggen kommer vi til ? bruke blant annent at spinnet er bevart til ? kunne vise banen til lys rundt ett svart hull. Det er bare ett eksempel p? hvor nyttig spinnbevaring kan v?re!?

N? skal vi se p? julenissen som pr?ver ? signalisere oss n?r han faller inn i et svart hull.

?