Vi skal n? se p? hva som skjer med lys n?r en observat?r (julenissen) faller inn i et sort hull, og l?re noe nytt om lyset i prosessen.
Vi har f?lgende situasjon: Vi har et sort hull. 1 AU unna g?r en planet i bane rundt det sorte hullet, med en observat?r som flyter i rommet rett ved (i ro i forhold til planeten). Samtidig, har vi en annen observat?r i et romskip som beveger seg mot sentrum av det sorte hullet. Romskipet har hastigheten \(0.214c\)n?r det passerer planeten, som skjer i t = 0 (for begge systemene). De to observat?rene sender lyssignaler mot hverandre med gjevne mellomrom (i sine egne systemer)
Det er ogs? viktig ? p?peke at vi i f?rste omgang antar at lysets hastighet er uendelig over alt, slik at vi vil observere lyssignalene med en gang de sendes ut (vi kommer til konsekvensene av dette senere).
?
La oss begynne med ? klassifisere hvilke typer observat?rer vi har.?
Romskip-systemet beveger seg rett mot det sorte hullet, alts? har det kun radiell hastighet i forhold til det sorte hullet. Vi har da at denne observat?ren er en fritt fallende observat?r.
Planet-systemet beveger seg ogs? vinkel-retning, og er n?rme nok det sorte hullet til at observat?ren ikke er en langt-vekk observat?r. Vi har da at dette er en skall-observat?r.
?
Vi skal n? utlede noen formeler vi trenger for ? se p? denne situasjonen. Anta at vi ser p? det fallende skipet fra et langt-vekk system. Vi f?r at den relativistiske energien til skipet er gitt ved
\(\frac{E}{m} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\frac{dt}{d\tau}\)?
der M er massen til det sorte hullet, r er distanse fra sentrum av det sorte hullet (sett fra langt-vekk systemet), \(dt\) er et tidselement i langt-vekk systemet, og \(d\tau\) er et egentidelement i romskip systemet. Vi har ogs? at?
\(\Delta t_{shell} =\sqrt{1 - \frac{2M}{r}} \Delta t\)
der M og r det samme som f?r i formelen for energi, mens \(\Delta t_{shell}\) og \(\Delta t\) er tidselementer i skallsystemet og langt-vekk systemet. Dette siste utrykket gjelder kun dersom vi arbeider med et lokalt inertialsystem, og dette vet vi at b?de fritt fall systemer og skallsystemer tilfredsstiller dersom vi har et lite nok tidsintervall! Dermed kan vi legge dette utrykket inn i utrykket v?rt for energi (etter vi bytter \(\Delta\) med \(d\), naturligvis). Vi snur p? det og f?r
\(\frac{E}{m} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r}} \frac{dt_{shell}}{d\tau}\)
Vi vet ogs? at denne energien er konstant (siden det ikke er noen krefter her), s? hvis vi kan beregne den i et gitt punkt, har vi den for alltid!
Siden romskip-systemet er et lokalt-inertialsystem, gjelder spesiell relativitetsteori for veldig sm? perioder. Fra spesiell relativitetsteori har vi at
\(\frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} = \gamma\)
som er en annen m?te ? utrykke tidsdilatasjon. Hvis vi definerer \(\gamma_{shell} = \frac{1}{\sqrt{1-v_{shell}^2}}\) f?r vi
\(\frac{E}{m} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r}} \gamma_{shell}\)
?
Vi kan n? begynne ? regne p? systemet. Vi har f?lgende informasjon oppgitt:
| M | \(2.8113\cdot 10^7\) kg? | ?\(4.151373\cdot 10^{10}\) m |
| \(r_0\) | 1 AU? | \(1.495979\cdot 10^{11}\) m |
| \(v_0\) | \(0.214c\)? | 0.214 |
Dette er akkurat de tallene vi trenger for ? anvende utrykket v?rt! Punktet vi bruker til ? beregne energien er alts? det punktet der raketten flyr forbi planeten og skall-observat?ren. Vi setter inn tall og f?r:
\(\frac E m = 0.699\)
Ved ? igjen bruke utrykkene for energi og skall-tid, sammen med denne energien vi n? har beregnet (som er konstant!!) kan vi lage et utrykk for \(r\), alts? distansen fra raketten til sentrum i det sorte hullet (sett fra et langt-vekk system).
Vi legger oss forel?pig i planet-systemet, og ser p? raketten som flyr forbi. Raketten skrur p? et lyssignal, venter en veldig kort periode, og skrur den av igjen, slik at vi vil observere lyset n?r det kommer til oss. Perioden mellom at et lyssignalet skrus p?, og neste lyssignal sendes, er konstant for observat?ren i romskipet (dette er da intervallet i denne observat?rens egentid!). Vi har \(\Delta \tau = 6.104794 \cdot 10^9\) m, gjennom hele situasjonen. ?Vi ?nsker n? ? finne distansen \(r\) mellom raketten og det sorte hullet rett etter raketten flyr forbi planeten, og rett f?r raketten krysser Schwarzchild-radien (etter raketten krysser denne radien, vil ikke lenger lyset kunne forlate det sorte hullet, og vi vil ikke lenger kunne observere signalene). Vi ser p? de to f?rste og to siste signalene vi observerer:
| Signal indeks | tid \(t_{shell}\) observert [s] |
| 1 | 20.0138 |
| 2 | 43.3633 |
| n-1 | 1020.71 |
| n | 1444.33 |
Disse tidene gir oss f?lgende intervaller \(\Delta t_{shell}\):
| Intervall | tid \(\Delta t_{shell}\) [m] |
| \(\Delta t_{shell_{1}}\) | \(7.00 \cdot 10^{9}\) |
| \(\Delta t_{shell_{n}}\) | \(1.27 \cdot 10^{11}\) |
Merk at vi n? har transformert fra sekunder til meter. Vi kan n? sette inn i formelen vi fant for r:
| ? | Distanse [AU] | Distanse [Schwarzchild-radier] |
| \(r_1\) | \(0.935\) | \(1.686\) |
| \(r_n\) | \(5.677\) | \(1.023\) |
Gir dette mening??
Dersom vi ser p? den f?rste beregnede distansen, er den litt mindre enn 1 AU. Vi vet at romskipet er 1 AU unna det sorte hullet ca 20 sekunder f?r det f?rste signalet observeres, s? det er naturlig at den er litt n?rmere ved de to f?rste m?lingene.
N?r vi ser p? den siste beregnede distansen, ser vi at vi er s?vidt utenfor Schwarzchild-radien. Som nevnt tidligere, vil vi ikke lenger kunne observere signalene fra romskipet etter det krysser denne radien, siden lyset vil bli fanget av det sorte hullet. Det gir alts? helt mening at det siste signalet blir sendt ut rett f?r romskipet krysser denne radien. S? langt ser alt riktig ut!
?
La oss n?, uten ? beregne noen tall, tenke oss hva som skjer fra det andre systemet. Igjen har vi at observat?ren sender ut signaler med et gjevnt mellomrom, denne gangen er dette \(\Delta t_{shell}\). Vi f?r da at tidslinjen for observasjon av disse signalene blir slik:
(Vi har her at \(\Delta t_{shell}\) p? figuren er dette intervallet slik det observeres fra romskipet, som betyr at det egentlig er en \(\Delta \tau\))
Vi vet at n?r romskipet kommer dypere i feltet vil tiden g? raskere, alts? vil intervallet \(\Delta t_{shell}\) observert fra romskipet bli kortere over tid. Vi f?r
Vi kan alts? forvente at det vil ta mindre tid mellom at signalene observeres i romskipet n?r skipet beveger seg inn mot det sorte hullet. Siden vi har antatt at lysets hastighet er uavhengig av hvor vi er, vil periodene lyset er p? ikke endre seg. Her kommer det store problemet: N?r raketten n?rmer seg Schwarzchild-radien, vil dette tidsintervallet (observert fra raketten) g? mot 0, og dette blir et problem. Vi f?r
Vi f?r alts? at \(\Delta t_{shell}\) observert fra romskipet blir kortere enn tidsintervallet der lyssignalet er p?! Det betyr at bryteren som skrur p? lyset, skrus p? igjen for andre gang f?r den skrus av den f?rste, og det er ikke mulig.
Denne antagelsen om uendelig lyshastighet f?rer til at situasjonen blir umulig, men faktisk hadde det ogs? v?rt s?nn om vi lot hastigheten var konstant lik \(c\)! Det er det at den er konstant som f?rer til tr?bbel. Det viser seg at vi n? m? forkaste prinsippet fra spesiell relativitetsteori som sier at lyshastigheten alltid er konstant!
Vi skal n? se p? hva som skjer n?r vi introduserer en variabel lyshastighet, og hvordan dette l?ser problemet som n? har oppst?tt.
Logg inn for ? kommentere