Den neste situasjonen vi skal se p? handler om hvordan legemer g?r i bane rundt sorte hull. Vi skal l?re litt om potensial, og hvordan dette p?virker et objekts bevegelse.
Situasjonen ser slik ut:
Vi har et sort hull med masse \(M\) og hendelseshorisont 2M (Husk at vi n? ogs? gir masse i meter). 20M unna sentrum til det sorte hullet skyter vi opp en rakett, med vinkel \(\theta\) i forhold en linje trukket radiellt ut fra sentrum av det sorte hullet (se fig 1), og en hastighet \(v_{shell}\) (alts? sett fra en skall-observat?r). Vi har at \(\theta = 167^{\circ}\) og \(v_{shell} = 0.993c\).
?
For ? beskrive hvordan en bane rundt et sort hull ser ut, er det nyttig ? se p? det effektive potensialet til objektet. Grafen til det effektive potensialet ser slik ut:
Det effektive potensialet gir oss en m?te ? sjekke hvordan et legeme vil bevege seg rundt det sorte hullet. Vi gj?r dette ved ? se p? objektets relativistiske energi \(\frac E m\). ? forklare hvordan vi ser det er vanskelig, s? la oss visualisere det i stedet. Anta at vi har et objekt med en gitt \(\frac E m\) som beveger seg mot det sorte hullet, alts? i negativ \(r\) retning. Vi kan se for oss en ball som beveger seg langs r-aksen, ved h?yden lik \(\frac E m\):
Ballens posisjon p? r-aksen representerer distansen objektet har fra det sorte hullet. Siden \(\frac E m\) er konstant, vil h?yden alltid forbli det samme.?
Dersom ballen kommer i kontakt med grafen, spretter den og snur andre veien:
Dette skjer ogs? hvis ballen treffer grafen mens den beveger seg i positiv \(r\)-retning. Vi f?r da tre mulige tilfeller basert p? hva \(\frac E m\) er.
Det f?rste tilfellet er der \(\frac E m < 1\). Grafen konvergerer mot 1 n?r vi beveger oss uendelig langt i positiv \(r\)-retning, s? dersom \(\frac E m\) er mindre enn 1, vil ballen alltid kr?sje i grafen begge veier, og dermed sitte fast i "gropen". Siden ballen representerer hvor langt unna det sorte hullet legemet er, f?r vi at legemet i dette tilfellet vil bevege seg n?rmere og s? lengre unna det sorte hullet for alltid, men aldri forsvinne ut av systemet eller falle inn i det sorte hullet. Legemet g?r alts? i en bane rundt det sorte hullet!
Det andre tilfellet er der \(1 < \frac E m < \frac {E_{crit}} {m}\). Vi f?r da at ballen vil sprette en gang mot grafen n?r den kommer i negativ \(r\)-retning, men s? vil den aldri treffe grafen igjen. Ballen vil bevege seg mot \(\infty\) langs \(r\)-aksen, som betyr at legemet vil bevege seg evig langt unna det sorte hullet. Vi f?r at legemet forlater hele systemet, alts? at det bare flyr innom det sorte hullet, og s? flyr vekk (for eksempel med en parabolsk eller hyperbolsk bane!)
N?r vi ser p? baner rundt for eksempel en planet, er disse de to tilfellene vi har. Da g?r grafen mot uendelig n?r \(r \rightarrow 0\), slik at det dannes en "vegg" ballen aldri kan krysse. Som vi ser p? fig 6, har grafen til det sorte hullet i stedet et toppunkt i \(r = r_{crit}\), som gir oss en tredje mulighet:
Dersom \(\frac E m > \frac{E_{crit}}{m}\), vil ballen forsvinne forbi toppunktet til grafen, og bevege seg mot \(r = 0\). Vi har alts? at legemet vil falle inn i det sorte hullet. Merk ogs? at fordi grafen faller s? fort n?r \(r < r_{crit}\), at alle legemer som befinner seg n?rmere det sorte hullet enn \(r_{crit}\) vil falle inn i det, uavhengig av energi (vi f?r da en "vegg" mot h?yre, i stedet for mot venstre p? grafen). \(r_{crit}\) er alts? den distansen der dette legemet ikke lenger kan slippe unna, hvis det kommer s? n?rme.
Dessverre for astronauten, stopper motorene ? fungere rett etter skipet begynner ? bevege seg, slik at raketten kun har den energien den begynte med. Heldigvis for oss, betyr dette at energien er bevart, slik at vi kan plotte en potensialkurve, og finne ut hva som vil skje med astronauten!?
?
Potensialkurven avhenger av rakettens relativistiske spinn \(\frac L m\), massen til det sorte hullet \(M\), og distansen raketten er fra det sorte hullet \(r\) (dette er variabelen i funksjonen):
\(V_{eff}(r) = \sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \left(1 + \frac{(L/m)^2}{r^2}\right) }\)
Massen beholder vi som \(M\), og det relativistiske spinnet kan vi finne ved hjelp av vinkel \(\theta\) og rakettens initielle hastighet i skall-systemet (\(v_{shell}\)) (vi hopper over hvordan vi beregner dette for at innlegget ikke skal bli veldig langt)
Vi plotter det effektive potensialet for astronauten:
Merk her at vi m?ler distansen fra det sorte hullet i antall \(M\), som er massen til det sorte hullet.
F?rst av alt kan vi se at denne grafen skiller seg litt fra de vi har sett p? tidligere; hvor er gropen? Frykt ikke, den finnes, men den er bare veldig langt unna! Den er ogs? ikke veldig dyp, som betyr at det kreves ekstremt spesielle tilstander for at raketten skal begynne ? g? i bane.
Vi ser dog at grafen har det karakteristiske toppunktet som vi vet det skal ha! Siden betingelsene for ? g? i bane er s? strenge her, kan vi anta at raketten enten vil forlate systemet, eller falle inn i det sorte hullet (for astronautens skyld, h?per vi det er f?rste tilfellet!).
Dessverre for astronauten er de ikke veldig heldige. Vi kan se p? grafen at \(\frac E m\) er h?yere enn toppunktet p? grafen, som betyr at raketten vil falle inn mot det sorte hullet, forbi \(r_{crit}\), og til slutt over hendelseshorisonten.
?
Hva skjer med astronauten etter det? N?r raketten har fallt forbi hendelseshorisonten vil den p?virkes av et enormt sterkt gravitasjonsfelt (vi antar her at astronauten overlever dette, i hvertfall en liten stund). Vi vet at feltet er sterkere jo n?rmere man er singulariteten (sentrum i det sorte hullet). N?r astronauten faller mot singulariteten, vil deler av kroppen deres bli akselerert raskere enn resten!
Her har vi tegnet inn det variable feltet som kraft-piler av forskjellige st?rrelser (Husk p? at gravitasjon ikke er en kraft!!! Dette er bare for ? visualisere). Vi ser at feltet er sterkere mot astronautens bein enn ved deres hode. Dette betyr at beina dras inn mot singulariteten raskere enn det hodet gj?r! Dette leder til et veldig kjent fenomen ved sorte hull, som har f?tt det kj?re navnet spaghettifisering. Astronauten vil strekkes ut som sphagetti (derav navnet).
Det ender alts? ikke s? bra for v?r kj?re astronaut.
Vi har n? sett p? hvordan et legeme kan bevege seg rundt et sort hull ved ? se p? det effektive potensialet. Enda mer interessant er hvordan lyset beveger seg! Vi skal n? ta en titt p? en liknende situasjon, men denne gangen med lyset i fokus.
Logg inn for ? kommentere