TORTA STYRTER??!!???!!?? (eller er gutta p? vei mot en lavere bane??)

Som dere h?rte fra reporterne fra Thestral, s? er vi endelig i en stabil bane rundt Armando. Dette betyr at vi n? kan se bort i fra andre astronomiske legemer. Det eneste som p?virker oss n? er Armando. Armando¡¯s utsikt ser er helt nydelig ut og er helt fantastisk in real life. Men vi vet ikke hva som skjuler seg i atmosf?ren. Vi kan dessverre ikke bare kj?re TORTA ned ?mot atmosf?ren til Armando. Det kan bli helt katastrofalt. Hva om atmosf?ren er kjempe tett. Da vil varmeutviklingen bli helt sinnsykt stort!!!!!!! TORTA er virkelig et mesterskap ?av et skip, men selv oss er litt usikker p? om romskipet hadde overlevd om atmosf?ren var kjempe tykt. Eller hva om atmosf?ren ikke har noe oksygen. Det er jo kjempeviktig om vi faktisk har lyst til ? s?ke flyktning til Armando. Eller tenk dere om vi er p? vei ned mot landing, ogs? h?rer vi ?MAYDAY MAYDAY MAYDAY?. Da m? vi bare hoppe ut av romskipet og legge livet v?rt p? fallskjermen. MEEEEEN fallskjerm funker bare hvis Armando har en atmosf?re. For eksempel p? m?nen s? ville ikke en fallskjerm ha funket. S? vi m? ta m?linger av atmsof?ren f?r vi bestemmer oss ? lande p? Armando. Det blir v?r siste side quest f?r vi lander p? Armando.

?

?

Prof.Elmi : ?YOOO David G, hvordan skal vi egentlig f? tatt disse m?lingene av atmosf?ren???

David G: ? Vi m? f?rst og fremst komme i en lavere bane rundt Armando?

Prof.Elmi: ?Yes sir?

David G: ? Om du trykker p? den negativ booooooost knappen, s? b?r farten v?r minke og da vil vi v?re i smuuuuuud lavere bane rundt Armandoo

Prof.Elmi: ?Du kommer alltid p? disse geniale ideene!!!!

?

?

Figur 1 illustrer Hohmann man?veren. Hohmann man?veren inneb?rer 2 BOOOOST. Den f?rste boosten som dere ser p? figuren skal f? TORTA inn i en overgangsbane. Overgangsbanen er en ellipse bane mellom banen som vi er i n? og den banen som vi vil ende opp p?. N?r vi kommer inn p? den nye banen s? booster vi en gang til, og det er for ? holde oss i den nye orbital banen rundt Armando. P? bildet kan dere se at boosten peker i motsatt retning av fartsretningen, og dette er siden vi m? bremse farten for ? redusere energien v?r for ? n? en lavere bane. Akkurat hvorfor vi m? redusere energien v?r kommer vi inn p? senere i posten. Hohmann man?veren er som en heis!!!!! Det f?rste du gj?r f?r du g?r p? en heis hva er det???? Jo trykker p? om du skal opp eller ned. Dette er boost 1. S? trykker du p? etasjen du skal til og beveger deg. Dette er overgangsbanen !!! Og til slutt er det jo Boost 2, og det er n?r du stopper opp p? riktig etasje!!!!

For ? ta m?linger av atmosf?ren til Armando m? vi passe p? at vi ikke detter inn i atmosf?ren. Hvorfor lurer du kanskje p?? Hvis vi ender opp med ? bremse for mye slik at vi er i atmosf?ren, s? er det over og ut?. Da vil plutselig luftmotstanden virke p? oss. Og hvis det er en ting vi som fysikere hater ? regne p? s? er det luftmotstand!!!! ?Den vil starte ? spise opp TORTA som om den faktisk er en TORTA (PS. Vet at vi ikke har sakt det fra f?r, men TORTA betyr kake p? spansk og italiensk). P? de helt ekstreme tilfellene, ?vil luftmotstanden spise opp farten slik som Prof.Elmi slakter en kylling Bianca med ekstra saus p? crazy tuesday fra domino¡¯s. Noe annet som vil skje er at vi vil f? TURBULENSSSSSSSSSSSSSSS. Damnnnnn¡­. Dette betyr ??nei, dette betyr NAVIER-STOKES LIKNING¡­. Plus at luften blir komprimert, det betyr at vi m? ha med trykk delen av likningen. Og IKKE MINST ?MAN M? HA MED DEN KONVEKTIVE AKSELERASJON ?DELEN AV LIKNINGEN. Og jeg skj?nner at mange ikke forst?r hva dette er for noe. Men for de som har jobbet med fluide mekanikk, s? vet man at konvektive delen av NAVIER-STOKES likning er da man begynner ? skj?nne at livet er ganske tungt. Du f?r legit 1 mil dollar f?r ? finne en generell l?sning av likningen. Med det s? skal jeg love dere at vi ikke har noen planer om ? entre atmosf?ren for n??

Prof.Elmi: ?Yo, david vet at dette er kanskje noe jeg b?r kunne, men hvorfor m? vi senke farten f?r ? n? en lavere orbital bane rundt Armando?

David G: ? Slapp helt av bruttern, kom til tavla ogs? viser jeg deg hvorfor.

?

N?r vi beveger oss i en bane rundt Armando har vi to former for energi, som dere er nok kjent med fra f?r. Den ene er kinetisk energi og den andre er potensiell energi. Den totale energien p? TORTA er summen av disse to energiene. Det vi m? finne er en m?te ? utrykket denne sammenhengen med radiusen \(r\) for ? se hva slags effekt farten \(v\) har. :

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \(E_{tot} = E_k +E_p\) , (1)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??\(E_k = \frac{1}{2} mv^2\)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \(E_p = -\gamma \frac{Mm}{r}\)

• \(M\rightarrow\) massen til Armando
• \(m\rightarrow\) massen til TORTA
• \(r\rightarrow\) avstanden fra Armando til TORTA
• \(\gamma\rightarrow\) Newton¡¯s (BroddaNW) gravitasjoskonstant

• \(v\rightarrow\) farten til TORTA

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

  N? er det p? tide ? kj?re triksing og miksing med formlene. Planen er ? utrykket \(E_{tot}\) p? to ulike metoder. Det ene utrykket som potensiell energi og den andre som kinetisk energi, og da m? vi trikse litt med formlene. Alts? litt cheeky joga bonito. Dere er kjent med BroddaNW¡¯s likning for gravitasjonskraft. Hvis ikke s? har vi vist den i ?Post 2. Men hvorfor har vi bruk for den lurer du kanskje p?. Det er n? triksingen kommer inn. Vi kan sette at gravitasjonskraften er lik sentripetalkraften. Dette kan vi gj?re siden vi s? og si er i en stabil sirkul?r bane rundt Armando. Vi f?r da dette utrykket her:?

  \( \gamma \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r}\). Alle symbolene betyr det samme som de gj?r for energilikningene over. Utrykket til venstre er BroddaNW¡¯s likning for gravitasjonskraft og likningen til h?yre er sentripetalkraften. N? kommer joga boniton inn. Hvis vi ganger utrykket med \(r\) p? begge sider, s? skjer det noe spesielt. Klarer dere ? se hva??? Utrykket ser slikt ut:

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \( \gamma \frac{Mm}{r} = m v^2\)

  Lite hint er ? se p? energilikningene over :)

  ?

  Kanskje noen klarte ? se at venstre siden er det samme som \(- E_p\), og h?yre siden er jo det samme som \(2E_k\). BOMBACLAYT. Dette betyr at vi kan utrykket den potensielle energien som \(-2E_k\). La oss sette dette inn i likning (1):

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \(E_{tot} = E_k +E_p\)?

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \(E_{tot} = E_k - 2E_k\)?

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \(E_{tot} = -E_k\)?

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \(E_{tot} = - \frac{1}{2}mv^2\)

  Nydelig da er vi ferdy med og utrykket likning (1) som kinetisk energi. N? er det p? tide ? gj?re det samme for potensiell energi. Vi har jo n? at \(E_p = -2E_k\). Vi vil n? utrykket for \(E_k\) istedenfor \(E_p\). Da f?r vi at \(E_k = - \frac{E_p}{2}\). Da er det bare ? gj?re det samme som vi gjorde i stad. Vi starter med likning (1) f?rst:

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \(E_{tot} = E_k +E_p\)?

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \(E_{tot} = - \frac{E_p}{2} + E_p\)?

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \(E_{tot} = \frac{E_p}{2}\)?

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \(E_{tot} = -\gamma \frac{Mm}{2r}\)

  LETSGOOOO. N? har vi to utrykk for \(E_{tot}\). Da er det bare ? sette dem like hverandre:

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?\(-\gamma \frac{Mm}{2r} = - \frac{1}{2}mv^2\)

  N? er det bare ? finne et utrykk for \(r\). Herifra er det egentlig bare bbq chiken, og vi st?r igjen med:

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?\(r = \gamma \frac{M}{v^2}\) (2)

  ?

  Prof.Elmi: ? Men denne formelen sier jo at radiusen blir mindre desto st?rre fart TORTA har. Skulle du ikke vise hvorfor TORTA m?tte senke farten f?r n? en lavere orbital bane¡­?

  David G: Jo, det har du helt rett i¡­ La meg tenke litt¡­ hmmm¡­ hmmmm. Hmmm..

  Prof.Elmi: ?VENTTTTTTTT, jeg skj?nte hva feilen er. Du antar at jo at vi er i en sirkel bane. MEEEN hvis vi ?ker eller synker farten s? forlater vi jo sirkel banen. Vi kan da ikke lenger si at vi er i en sirkelbane n?r vi senker eller ?ker farten?

  David G: ?JA, selvf?lgelig!!!!?

  S? feilen ligger i at vi har sett p? energien i en sirklbane, men i det ?yeblikket vi senker farten s? er vi ikke lenger i en sirkelbane. Det vi lurte p? var hvorfor vi m?tte senke farten for ? komme i en lavere bane rundt Armando¡­

  David G: ?Jeg har en megamind ide, prof.Elmi er du klar!!!!?

  Prof.Elmi: ?OFC er jeg klar, sleng det ut da!!!?

  David G: ? Greia istad var at jeg pr?vde ? finne et utrykk for \(E_{tot}\) utrykket som \(E_{p}\) og et som \(E_{k}\) . Dette gjorde jeg for ? kunne senere finne en formel for \(r\)?

  David G: ? Men her tenkte djeg ikke p? hva som skjedde med energien n?r vi n?r en lavere orbital bane. Blir energi forskjellen negativ eller positiv?? Vi m? heller se p? hva som skjer med energien n?r vi g?r i en lavere bane, og finne en kobling med det og farten.?

  Prof.Elmi: ? Dette er deg akkurat n??

  

  David G: ?hahhahahahhahaha?

  La oss angripe oppgaven litt annerledes denne gangen. Det vi gj?r er ? se p? total energien i de ulike sirkel banene. Her bruker vi definisjonen v?r fra tidligere \(E_{tot} = \frac{E_p}{2}\)

• ENERGI BANE 1: ?\(E_{tot} = -\gamma \frac{Mm}{2r_1} \)

• ENERGI BANE 2: ?\(E_{tot} = -\gamma \frac{Mm}{2r_2} \)

  Her er bane 1 banen vi er i n? og bane 2 er den lavere banen vi skal til. Da kan vi si med engang at \(r_1 > r_2\). ?Men her m? vi huske p? at \(r_1\) og \( r_2\) ligger begge i nevneren. Dette betyr at vi har hatt \( \frac{1}{r_1} < \frac{1}{r_2}\).

  La oss se p? forskjellen p? energien n?r vi g?r fra bane 1 til bane 2. Om den er negativ betyr det at den totale energien m? synke for ? n? en lavere bane. Hvis den er positiv betyr det at den totale energien m? ?ke.?

  ?\(\Delta{E_{tot}} = -\gamma \frac{Mm}{2r_2} - (-\gamma \frac{Mm}{2r_1}) \)

  ? ? ? ? ? ? \(= -\gamma \frac{Mm}{2r_2} + \gamma \frac{Mm}{2r_1}) \)

  \( \frac{1}{r_1} < \frac{1}{r_2}\), dermed vil l?sningen v?re:?

  \(\Delta{E_{tot}} < 0 \)

  N? har vi vist at den totale energien m? synke for at vi skal n? en lavere orbital bane . Det kan v?re veldig fristende n? ? konkludere med at farten ogs? m? synke siden den totale energien m? synke, men la oss ikke g? p? en smell som i stad. I det ?yeblikket vi endrer farten, s? kan vi v?re ening om at vi ikke endrer radiusen \(r\). Det betyr at vi ikke ?har noe endring i potensiell energi : \(\Delta{E_p} = 0\). Men i det lille ?yeblikket s? endrer farten seg, som betyr at vi f?r en endring i kinetisk energi. S? endringen i total energi i det lille ?yeblikket kan beskrives som :

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?\(\Delta{E_{tot}} = \Delta{E_{k}}\)

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?\(= \frac{1}{2} mv_2^2- \frac{1}{2} mv_1^2\)

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?\(= \frac{1}{2} m(v_2^2 - v_1^2)\)

  La oss tenke litt sammen n?. Hva er det vi vet m? skje med den totale energien for at vi skal n? en lavere bane? Jo, det er rett og slett at den m? bli negativ. Dermed kan vi at \(\Delta{E_{k}} < 0\).

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \(= \frac{1}{2} m(v_2^2 - v_1^2) < 0\)

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \( \Rightarrow v_2^2 - v_1^2 < 0 \)

  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \(v_2^2 < - v_1^2\)

  David G: ?BOOM, n? har vi vist dem hvorfor vi m????????? senke farten for ? n? en lavere bane!!!!!!!!!?

  N? vet vi at vi m? senke farten for ? komme oss n?rmere atmosf?ren til Armando. MEEEEEN hvor n?rme er dette???? Vi vil jo ikke entre atmosf?ren helt enn?. Da er det bare ? gj?r seg klar til neste post HVOR S?REN STARTER ARMANDO¡¯S ATMOSF?RE!!!

  ?

  Kilde

  ---

  Hohmann transfer orbit, (2025,11), wikipedia : https://en.wikipedia.org/wiki/Hohmann_transfer_orbit

  ?

  ?

?