Atmosf?re-analyse

Davy G.: "Hvordan i det huleste skal vi kunne si noe om molekylene i atmosf?ren n?r vi ikke er i atmosf?ren en gang?!!"

Prof. Elmi: "Brooo, slapp av, du trenger ikke skrike heller... Husker du ikke hva vi gjorde i fjerde del av bloggen? Vi s? p? Doppler-forskyvingen fra de to stjernene, og hvilken b?lgelengde var det vi brukte som hvilelengden?"

Davy G.: "Ahaaa, ja vi brukte jo en av spektrallinjene til hydrogen! Vi kan se p? spektrallinjer!! Professor, du er et geniiii!!!"

Hva var det med spektrallinjene igjen? Hvis dere ikke husker helt, sjekk her! P? samme m?te som at vi brukte emisjonsspekteret til hydrogen for ? finne Doppler-forskyvingen ved en spesifikk b?lgelengde, kan vi bruke absorbsjonsspekteret til ? vurdere hvilke stoffer atmosf?ren best?r av.?

N?r vi ser p? Armando er det det reflekterte lyset fra sola som gj?r at planeten str?ler som den gj?r. Dette reflekterte lyset m? imidlertid gjennom atmosf?ren, som i praksis betyr at noen b?lgelengder faktisk ikke n?r oss! Dette kommer av gassmolekylenes emisjons-/absorbsjonsspektere.

Et atom eksiteres ved spesifikke b?lgelengder n?r energien til lyset tilsvarer energiforskjellen mellom to energiniv?er. N?r elektronet hopper tilbake igjen fra eksitert posisjon sender det ut fotonet igjen - bare i en helt tilfeldig retning! Mest sannsynlig er ikke det i retning oss, s? vi observerer faktisk at lysfluksen blir bittelitt lavere ved den b?lgelengden. Det er dette som gj?r at vi f?r et absorbsjonsspekter! Opp gjennom historien har vi p? Thestral rukket ? gj?re ganske mye forskning, s? absorbsjonsspekteret til ulike gasser kjenner vi godt til allerede. Men hvordan skal vi i det hele tatt klare ? m?le fluksforskjellen? Her f?r vi hjelp av det gode utstyret vi har ombord. TORTA er nemlig utstyrt med et automagisk fluksmeter som m?ler fluksen av lys med b?lgelengde mellom 600 til 3000 nm. Vi retter fluksmeteret mot atmosf?ren og noterer ned b?lgedalene vi finner. Vi vil jo se hvor lyset ikke slipper gjennom, s? jo dypere dal jo mer sannsynlig er det at vi faktisk ser p? absorbsjonslinja til et stoff. Her m? vi imidlertid v?re litt forsiktige...?

Det er nemlig en faktor som kan forskyve fluksm?lingen v?r: Doppler-forskyvingen. Det er veldig sannsynlig at TORTA har en radiell fart i forhold til Armando, alts? at vi beveger oss litt mot eller fra Armando ved tidspunktet for m?ling, og det kommer til ? forskyve alle b?lgelengdene! Hj?lp, blir det ikke veldig vanskelig ? vurdere hvilke stoffer vi observerer n?r alt er forskj?vet?? Jo, det blir ikke s? lett, men her kan vi bruke noen lure metoder... Disse kommer vi inn p? snart!?

P? en annen side kan faktisk Doppler-forskyvingen hjelpe oss bittelitt. Hvis vi observerer at det omtrent er samme Doppler-forskyving for en potensiell observasjon av to stoffer, men en heelt annen forskyving for tre andre stoffer, kan vi i hvert fall utelukke at begge grupper med stoffer er tilstede i atmosf?ren. Hvis dette var litt uklart, blir det mye klarere n?r vi analyserer den faktiske fluksm?lingen!?

F?rst b?r vi forberede oss litt p? Doppler-forskyvingen. Kan vi si noe om hva vi forventer? Vi antar at TORTA ikke har mer enn \(\pm\)10 km/s med radiell fart: Negativ n?r vi beveger oss mot planeten og positiv n?r vi beveger oss vekk fra den. Da kan vi finne fram formelen for Doppler-forskyving:

\(\Delta \lambda = \lambda_0 \frac{v_r}{c}\)

Hvor \(\Delta \lambda\) er Doppler-forskyvingen i b?lgelengde, \(\lambda_0\) er laboratorie-b?lgelengden, \(c\) er lysfarten og \(v_r\) er den radielle farten vi har i forhold til planeten.?

Da blir den maksimale Doppler-forskyvingen:

\(\Delta \lambda_{maks\_skip} = \frac{\lambda_0}{c}v_{maks\_skip}\)

Hvor \(\Delta \lambda_{maks\_skip}\) er den maksimale Dopplerforskyvingen.

Med den gitte antakelsen om at den radielle farten v?r ligger i intervallet \(v_r \in [-10 \mathrm{km/s}, 10 \mathrm{km/s}]\), kan vi forvente at b?lgelengden maksimalt blir forskj?vet slik:

\(\lambda'_{maks} =\lambda_0 \pm \Delta \lambda_{maks\_skip}\)

Hvor \(\lambda'_{maks}\) er den maksimale/minimale b?lgelengden vi ser at lyset har. Siden vi kjenner maksverdiene for den radiell farten, har vi her et uttrykk som beskriver hvor mye absorbsjonslinjene maksimalt blir forskj?vet! Dette er supernyttig informasjon, for n? har vi en liten anelse om hvilket intervall de observerte b?lgelengdene ligger innenfor. Dersom vi finner noe som ser ut som en absorbsjonslinje i flukskurven, men som ligger utenfor intervallet, kan vi konkludere med at det mest sannsynlig ikke kommer fra et stoff i atmosf?ren, men fra st?y!

Flott, n? har vi et inntrykk for hvordan rakettens radielle fart i forhold til planeten p?virker de observerte b?lgelgengdene! Vi kan imidlertid ikke si oss forn?yde der, for vi m? ogs? ta hensyn til farten som de absorberende atomene beveger seg med... Gasspartiklene beveger seg i mange ulike retninger og kan dermed gj?re at vi opplever absorbsjonslinjene de genererer som Doppler-forskj?vet! Dette gj?r at vi i praksis fortsatt f?r en Doppler-effekt selv om vi ikke har noen radiell fart i forhold til planeten!?

Atomenes bevegelse i forhold til oss induserer alts? en Doppler-effekt som i praksis gj?r at vi ikke observerer absorbsjonslinjene som tynne streker, men som brede linjer! Vi f?r alts? variasjoner i Doppler-forskyvingen p? grunn av partiklenes variasjon i hastighet. Her b?r vi dermed pr?ve ? forutsi hvordan hastighetene p?virker de endelige absorbsjonslinjene. Hmmm dette lukter litt som en sannsynlighetsfordeling, gj?r det ikke det? Atomene i gassen beveger seg med masse forskjellige hastigheter, og her m? vi pr?ve ? fiske ut den hastigheten som er mest sannsynlig! Dette ble vi riktig kloke p? i del 1 av bloggen, hvor vi fant et uttrykk for den gjennomsnittlige farten til et molekyl i en gass. N? har vi bruk for et veldig liknende uttrykk, bare for den mest sannsynlige farten til et atom i en gass. Fra forelesningsnotatene til orakelet v?rt Frode har vi at denne hastigheten er gitt som

\(v_{maks}^2=\frac{2kT}{m}\)

Hvor "maks" indikerer mest sannsynlig, og IKKE st?rst fart! \(k\) er Boltzmanns konstant, \(T\) er temperaturen til gassen og \(m\) er massen til gassmolekylet.?

Atomene svirrer alts? rundt i gassen med hastigheter som peker i alle mulige slags retninger. Den retningen som imidlertid betyr noe for oss, er den radielle retningen til farten: Det er den radielle komponenten som gir Doppler-forskyving. Men uttrykket for \(v_{maks}\) illustrerer bare absoluttverdien til hastigheten, alts? hvor fort en partikkel beveger seg. Det tar alts? ikke hensyn til retningen! I praksis betyr det at en partikkel kan ha farten \(v_{maks}\), og likevel ha radiell komponent \(v_r=0\).

Siden det er veldig mange partikler som beveger seg i tilfeldige retninger, kan vi konkludere med at det er like sannsynlig at partikkelen har radielle fart \(v_r=v_{maks}\) som at \(v_r=0\), og faktisk for alle hastigheter innenfor intervallet \(\pm v_{maks}\)! Da kan vi skrivet det som at den radielle farten ligger i intervallet \(v_r=[-v_{maks}, v_{maks}]\). Dette kan vi sette inn i uttrykket for Doppler-forskyving, og f? at absoluttverdien til den maksimale forksyvingen blir:

\(\Delta \lambda_{maks}=\frac{\lambda_0}{c}v_{maks}=\frac{\lambda_0}{c}\sqrt{\frac{2kT}{m}}\)

M?let med alt dette er ? ha et teoretisk grunnlag som kan gi oss en indikasjon p? hvordan absorbsjonslinjene til ulike stoffer kommer til ? se ut. Som nevnt tidligere er det like sannsynlig at \(v_r=v_{maks}\) som at \(v_r=0\), s? her kan vi ikke tegne absorbsjonslinja som en tynn strek... I stedet f?r vi et intervall, \(\lambda_0 \pm \Delta \lambda_{maks}\).?

De observerte absorbsjonslinjene blir alts? mer som m?rke intervaller i flukskurven, enn de ideelle tynne strekene vi er vant med fra eksperimenter. Merk at bredden til intervallet blir \(2\Delta \lambda_{maks}\) fordi grensene er \(\lambda_0 \pm \Delta \lambda_{maks}\).

Her hadde det jo v?rt superkult ? kunne lage et plott av hvordan en mulig absorbsjonskurve hadde sett ut! Vi kjenner jo uttrykket for Gaussiske kurver, og har allerede tall p? hvile-b?lgelengden \(\lambda_0\). Hva mer trenger vi? Vi skriver opp uttrykket for Gauss-fordelingen!

\(f(\lambda)=F_{min}e^{-\frac{(\lambda-\lambda_0)^2}{2\sigma ^2}}\)

Her er \(F_{min}\) fluksen i midten av spektrallinjen, alts? den laveste fluksen i en absorbsjonsdal. Vi kan vi forutsi hvor stor denne er p? forh?nd, ettersom det er s? mange faktorer som spiller inn her. Vi vet for eksempel ikke hvor mye det er av gassen som for?rsaker absorbsjonslinja; jo st?rre andel, jo lavere blir \(F_{min}\). Derfor m? vi bare sette den som en ukjent forel?pig.

Uttrykket for Gauss-kurven er kanskje litt stort og vanskelig ? forst? seg p?, men det eneste vi trenger her er ? identifisere st?rrelsen vi ikke kjenner fra f?r. Ser dere hva det er? Det er standardavviket, \(\sigma\)! Vi m? alts? finne et uttrykk for \(\sigma\). Vi kjenner allerede avstanden i x-retning fra bunnpunktet til Gauss-kurven til punktet hvor fluksen er normal igjen, \(\Delta \lambda_{maks}=\frac{\lambda_0}{c}\sqrt{\frac{2kT}{m}}\). Fra forelesningsnotatene til orakelet Frode f?r vi at at standardavviket ikke er riktig s? stort som denne bredden, men heller har dette uttrykket:

\(\sigma = \frac{\lambda_0}{c}\sqrt{\frac{kT}{m}}\).

Hvor vi minner om at \(\lambda_0\) er absorbsjons-b?lgelengden som m?les i et laboratorium, \(c\) er lysfarten, \(k\) og \(T\) er henholdsvis Boltzmanns konstant og gasstemperaturen, og \(m\) er massen til molekylet.?

Da kan vi kombinere alt vi har funnet til n? og lage et uttrykk for fluksendringen i en absorbsjonslinje! Doppler-forskyvingen fra rakettens radielle fart gj?r at \(\lambda_0\) forskyves. I praksis betyr det at hele absorbsjonsdalen forskyves mot lavere eller h?yere b?lgelengder.

\(\lambda' = \lambda_0 + \frac{\lambda_0}{{c}}v_{r\_skip}\)

Hvor \(v_{r\_skip}\) er den radielle farten til romskipet i forhold til planeten. Vi setter inn \(\lambda'\) for \(\lambda_0\):

\(f(\lambda)=F_{min}e^{-\frac{(\lambda-\lambda')^2}{2\sigma ^2}}\)

Siden vi har satt den normale fluksen uten noe absorbsjon lik 1 kan vi skrive at uttrykket for fluksen blir

\(F=1+(F_{min}-1)e^{-\frac{(\lambda-\lambda')^2}{2\sigma ^2}}\)

N? har vi faktisk alt vi trenger for ? lage noen teoretiske flukskurver for ulike gasser! Vi tegner en teoretisk kurve for oksygen. Forh?pentligvis er det oksygen i Armandos atmosf?re (hvis ikke sliter vi litt...), s? n?r vi gj?r m?lingene av atmosf?ren forventer vi ? se noen "dips" i fluksurven ved b?lgelengder som tilsvarer absorbsjonslinjene til oksygen. For ? modellere denne kurven trenger vi f?rst ? vite noe om oksygen. Vi m? vite massen til oksygenmolekylet, og hvilke b?lgelengder det eksiteres ved. Dette har vi i katalogene v?re!

• \(m_{O_2}\approx 5.31\cdot10^{-26} \mathrm{kg}\)
• \(\lambda_{0,1}=632 \mathrm{nm}\)
• \(\lambda_{0,2}=690 \mathrm{nm}\)
• \(\lambda_{0,3}=760 \mathrm{nm}\)

Da gjenst?r det ? vurdere hvilken temperatur vi kan forvente at gassene har. Vi gjorde et estimat av planettemperaturen tidligere i bloggen, men her er det nok lurere at vi bruker katalogene v?re. Som vi nevnte den gangen tok vi jo ikke hensyn til atmosf?ren! Da kan vi forvente at gasstemperaturen er et sted mellom 150 \(K\) til 450 \(K\). I del beregnet vi temperaturen til Armando til ? v?re p? 274 \(K\) (sjekk her!!). Da gj?r vi et gjett til ? begynne med, og sier at temperaturen er 300 \(K\). Da har vi nesten alt vi trenger for ? tegne kurven, det gjenst?r bare ? definere konstantene \(k\) og \(c\). Disse har vi ogs? fra katalogene v?re!

• \(k\approx1.38\cdot 10^{-23} \frac{\mathrm{m^2kg}}{\mathrm{s^2K}}\)
• \(c\approx 3.00\cdot 10^8 \mathrm{m/s} \)

Til slutt antar vi at fluksen i b?lgedalen er \(F_{min}=0.7\). Det er ikke sikkert at dette er den ekte verdien fra m?lingene, vi setter den bare som det n? for ? gj?re en kjapp visualisering! Da plotter vi fluksdalen for tre radielle hastigheter for romskipet:

\(v_r=-10000\) m/s, \(v_r=0\) m/s, \(v_r=10000\) m/s

Her ser vi at vi f?r noen smale daler der ved absorbsjonsb?lgelengdene. N?r \(v_r=-10000\) m/s blir absorbsjonsb?lgelengden forskj?vet mot lavere b?lgelengder, og motsatt n?r \(v_r=10000\) m/s. Siden disse radielle hastighetene er ekstremene i intervallet, kan vi forvente at absorbsjonsdalene i den faktiske fluksm?lingen ligger et sted mellom den bl? og den gr?nne dalen. Legg ogs? merke til at vi fortsatt f?r en effekt fra Doppler-forskyvingen selv om \(v_r=0\) m/s (oransje kurve). Som nevnt tidligere kommer dette av gassmolekylenes hastighet i forhold til oss.?

Det kan med andre ord bli utfordrende ? finne disse fluks-dalene i de faktiske m?lingene!! Men ikke fortvil, vi har v?rt gjennom s? mye frem til n? s? litt vanskelige datasett skal ikke ?delegge for oss! Vi har nemlig noen gode approksimerings-metoder vi kan bruke... F?lg med videre!!!