Kjikvadrat g?r CRAZY HARD

Det er snart p? tide at vi gj?r en m?ling av atmosf?ren til Armando. Som nevnt i forrige innlegg, er det veldig viktig ? vite noe om hvilke gasser atmosf?ren best?r av f?r vi g?r inn for landing. Sammensetningen av gasser kommer nemlig til ? ha mye ? si for luftmotstanden, som igjen p?virker TORTAs bane f?r landing og kalibreringen av fallskjermen v?r - hvis vi antar for stor luftmotstand kan vi risikere ? dundre rett inn i det nye hjemmet v?rt! Det kan vi ikke ha noe av, s? vi gj?r en lysfluks-analyse av atmosf?ren for ? identifisere absorbsjonslinjer og dermed hvilke gasser atmosf?ren best?r av.

Solsystemet v?rt BLABLA er ganske unikt. Vi kan nemlig forvente at atmosf?ren til Armando kun best?r av 6 gasser:

• Oksygen, \(O_2\)
• Vanndamp, \(H_2O\)
• Karbondioksid, \(CO_2\)
• Metan, \(CH_4\)
• Karbonmonoksid \(CO\)
• Dinitrogenoksid (lystgass), \(N_2O\)

Disse gassene er viktige p? hver sine m?ter. Karbondioksid og metan er viktige for ? holde p? varmen fra sola, gjennom drivhuseffekten. Lystgass kommer ofte som et biprodukt av organiske prosesser, akkurat som metan og karbondioksid. Hvis vi oppdager forekomster av disse gassene kan vi alts? tro med st?rre sikkerhet at det er liv p? planeten! Oksygen vil vi jo veldig gjerne ha for ? puste, og vann er helt fundamentalt n?r det gjelder liv, s? forh?pentligvis klarer vi ? finne tegn etter disse stoffene i m?lingene v?re...

Hvert stoff har hver sine absorbsjonslinjer, som kommer av energiforskjellen mellom elektronskallene i Bohrs atommodell. Disse ser slik ut:

Som vi n? allerede vet, er det stor sannsynlighet for at disse b?lgelengdene kommer til ? bli forskj?vet b?de p? grunn av TORTAs fart i forhold til Armando, og molekylenes fart. Disse b?lgelengdene gir oss alts? bare et utgangspunkt! Det gjenst?r for oss ? vurdere hvorvidt fluksdalene i m?lingen faktisk kommer av absorbsjonslinjer eller st?y.?

Fluksmeteret v?rt er normalisert slik at fluksen er 1 n?r vi ikke har noe absorbsjon, og g?r ned i en dal n?r vi har absorbsjon. Det er imidlertid ikke heeelt perfekt, selv om Prof. Elmi gj?r alt han kan for ? minimere instrumentfeil. Dette betyr i praksis at vi kommer til ? f? ganske mye st?y p? flukskurven v?r, som gj?r det til en tiln?rmet umulig oppgave ? f? noe fornuftig ut av m?lingen uten litt lur matematikk. Husker dere formelen for absorbsjonslinja fra forrige innlegg? Vi fant ut at denne f?lger en Gauss-kurve gitt ved:

\(f(\lambda)=F_{min}e^{-\frac{(\lambda-\lambda')^2}{2\sigma ^2}}\) ? (1)

Hvor \(\lambda\) er en b?lgelengde vi m?ler for, \(\sigma\) er standardavviket i m?lingen og \(\lambda'\) er den forskj?vede b?lgelengden fra rakettens fart i forhold til planeten. \(F_{min}\) er fluksverdien til det dypeste punktet i absorbsjonsdalen.

Dette uttrykket beskriver hvordan vi forventer at en absorbsjonsdal skal se ut, og representerer dermed forventningsverdien. Men her vet vi faktisk ikke helt hva vi forventer... Forventningsverdien er jo avhengig av \(F_{min}\), \(\sigma\) og \(\lambda'\), og disse kjenner vi faktisk ikke fra f?r! \(F_{min}\) for en fluksdal er jo avhengig av hvor mye av molekylet som finnes i atmosf?ren, men det er jo nettopp det vi pr?ver ? finne! \(\sigma\) og \(\lambda'\) er ogs? avhengige av parametere vi ikke kjenner p? forh?nd, bare se her:

• \(\lambda' = \lambda_0(1 + \frac{v_r\_skip}{c})\)
• \(\sigma = \frac{\lambda'}{c}\sqrt{\frac{kT}{m}}\)

Hvor \(\lambda_0\) er laboratorie-b?lgelengden for absorbsjonslinja, \(T\) er temperaturen til gassen, \(m\) er massen til en gasspartikkel og \(v_r\_skip\) er den radielle farten vi har i forhold til Armando. Farten v?r og temperaturen til gassen vet vi ikke sikkert hva er, s? da gjelder det for oss ? finne tallene for \(T\), \(v_r\_skip\) og \(F_{min}\) som passer best overens med den m?lte flukskurven. Dette kan vi gj?re med et veldig nyttig uttrykk...

Etter ? ha lest overskriften lurer dere kanskje p? hva kjikvadrat er? N? skal dere h?re! Kjikvadrat-minimalisering er en formel som hjelper oss med ? identifisere det riktige signalet inni det st?yete datasett, og ser slik ut ut:

\(\chi ^2=\sum\limits_{i=1}^N \left[\frac{f_i-f(t_i)}{\sigma_i} \right]^2 \) ?(2)

Jo mindre \(\chi^2\) er, jo bedre stemmer den forventede kurven med den m?lte kurven. I uttrykket indikerer \(N\) antall datapunkter i m?lingssettet.?

Legg merke til differansen \(f_i-f(t_i)\). Dette er differansen mellom den m?lte fluksen (med st?y) i punkt \(i\), \(f_i\), og forventet fluks, \(f(t_i)\). Jo st?rre differanse, jo d?rligere passer forventningsverdien med m?lt verdi, og \(\chi^2\) blir st?rre. Men hva er \(\sigma_i\) her da? \(\sigma_i\) er standardavviket til st?yen i m?ling \(i\). Den sier alts? noe om hvor mye st?yen kan f? fluksm?lingen til ? vike fra forventningsverdien.?

Da kan vi studere formel (2) litt n?rmere for ? se om vi klarer ? skj?nne den litt bedre. St?y er definert som nettopp differansen \(\delta_i = f_i-f(t_i)\) mellom m?lt verdi og forventet verdi. Da antar vi at st?yen er normalfordelt, med forventningsverdi lik 0, og standardavvik lik \(\sigma_i\). Da kan vi skrive:

\(\delta_i = f_i-f(t_i)\), ? ? ? \(\delta_i \sim N(0, \sigma_i^2)\)

Hvor \(\delta_i\) er st?yen i punkt \(i\), forventningsverdien er 0 og \(\sigma_i\) er standardavviket til st?yen.

Normalfordelingen er bare en Gauss-kurve, s? da kan vi finne et uttrykk for sannsynligheten for ? f? en gitt st?y \(\delta_i\):

\(P(\delta_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i}e^{-\frac{\delta_i^2}{2\sigma_i^2}}\)

Vi antar videre at st?yen i ett punkt er uavhengig av st?yen i neste punkt. Det vil si at hvis st?yen er uvanlig stor i et punkt er det like stor sannsynlighet for at den er uvanlig stor i neste punkt. St?yverdiene for de \(N\) punktene \(1, 2, 3, ..., N\) er alts? uavhengige. Da kan vi skrive at sannsynligheten for ? m?le en flukskurve med st?yverdier \(\delta_1, \delta_2, ..., \delta_N\) er gitt som produktet av sannsynligheten for hver st?yverdi:

\(P(\delta_1, \delta_2, ..., \delta_N) = P(\delta_1)P(\delta_2)...P(\delta_N)\)

\(P(\delta_1, \delta_2, ..., \delta_N) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}\Pi_{i=1}^N\sigma_i} e^{-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^N \left(\frac{\delta_i^2}{\sigma_i^2}\right)} \) ?(3)

Siden \(\delta_i=f_i-f(t_i)\) er st?yen i punkt \(i\), gir (3) oss sannsynligheten for ? observere alle de st?yete fluksm?lingene \(f_1, f_2,..., f_i\), gitt de underliggende forventede m?lingene \(f(t_1), f(t_2),..., f(t_i)\). Vi vil at de observerte datapunktene skal v?re de mest sannsynlige datapunktene n?r vi forventer \(f(t_i)\). Derfor ?nsker vi ? finne verdiene for \(f(t_i)\) som maksimerer sannsynligheten til funksjonen i (3).

Det er kun eksponenten som er avhengig av st?yverdiene. Vi ser n?rmere p? dette leddet:

\(e^{-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^N \left(\frac{\delta_i^2}{\sigma_i^2}\right)} = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^N \left(\frac{\delta_i^2}{\sigma_i^2}\right)}}\)

For at \(P(\delta_1, \delta_2, ..., \delta_N)\) skal vi bli st?rst mulig, m? vi alts? s?rge for at eksponenten blir minst mulig! Hva er eksponenten avhengig av? Jo, vi ser tydelig at det er summen som har noe ? si her:

\(\sum\limits_{i=1}^N \left( \frac{\delta_i^2}{\sigma_i^2} \right)\).

Denne s? kjent ut... Vi skriver den om med \(\delta_i = f_i - f(t_i)\):

\(\sum\limits_{i=1}^N \left(\frac{ f_i - f(t_i)}{\sigma_i} \right)^2=\chi^2\).

Som jo nettopp er formelen for \(\chi^2\)! Her skj?nner vi alts? hvorfor vi vil minimalisere dette uttrykket; det kommer fra sannsynlighetsmodellen for st?y!

Aha, da har det blitt tydeligere hvorfor \(\chi^2\) ser ut som den gj?r. Da er vi klare for ? studere selve uttrykket litt n?rmere. Hvorfor deler vi p? \(\sigma_i\)?

Vi antar at gjennomsnittlig st?y er null, s? \(\sigma_i\) gir oss faktisk et intervall som det er stor sannsynlighet at st?yen er innafor:

\(\sigma_i\) er derfor med for ? vekte hvor p?litelig en m?ling er. Dersom \(\sigma_i\) er veldig stor, er m?lingen mindre p?litelig ettersom det indikerer mer st?y. Da b?r denne m?lingen "straffes"!! Det gj?r vi ved ? dele p? \(\sigma_i\). Dette gj?r at punkter med stort standardavvik bidrar mindre til summen, mens punkter med mindre standardavvik bidrar mer.

Hvorfor blir det riktig ? kvadrere her da? ?n ting er at det faller ut fra matten, men hva har det ? si i praksis??

Dette kommer av fortegnet til st?yen. Noen differanser \(f_i-f(t_i)\) vil bli negative, og noen blir positive. Hvis vi ikke tar hensyn til dette kan vi plutselig f? et lite tall for \(\chi\) n?r den faktiske forskjellen er veldig stor! Tenk bare p? at \(5.5 + (-4.5)=0.5\). Da virker det som at vi f?r et lite tall, men det er jo tydelig her at det er stor forskjell mellom m?ling og forventningsverdi! Dette l?ser vi enkelt ved ? kvadrere: Da blir alle negative verdier positive.

Ok, da har vi blitt ganske godt kjent med verdens kuleste type, \(\chi^2\). F?r vi f?r bruk for ham m? vi gj?re noen viktige forberedelser for analysen av fluksdataen.

Fluksmeteret v?rt kommer til ? gj?re m?linger for b?lgelengder fra 600 nm til 3000 nm. Vi f?r alts? et veldig stort datasett som vi m? dele opp slik at vi kun ser p? de relevante b?lgelengdene. Vi definerer dermed intervallene vi sjekker over som \(\lambda\in [\lambda_0 - margin, \lambda_0 + margin]\). Vi trenger alts? en margin som s?rger for at vi f?r det relevante b?lgelengdeintervallet, men som ikke er for stor! Da tar vi utgangspunkt i den maksimale forskyvingen til absorbsjonsdalen, gitt ved

\(\Delta \lambda_{maks}=\lambda_0 \frac{v_r\_maks}{c}\).

Da er det fristende ? sette \(margin = \Delta \lambda_{maks}\), men etter ? ha gjort noen tester med denne marginen fant vi ut at vi risikerer ? kutte halve absorbsjonslinja! Pr?v ? tenke litt p? det; dersom den laveste/h?yeste b?lgelengden i intervallet tilsvarer bunnpunktet i en fluksdal, mister vi plutselig halve absorbsjonsdalen. For ? forsikre oss om at vi ikke mister noen potensielle fluksdaler setter vi derfor?

\(margin = \frac{3}{2}\Delta \lambda_{maks}\)

Da kj?rer vi i gang de kraftige datamaskinene p? TORTA og gj?r oss klare for ? beregne noen \(\chi^2\)-verdier! Som nevnt kjenner vi ikke den radielle farten v?r i forhold til planeten, ei heller temperaturen til gassen. Vi kjenner imidlertid hvilke intervaller disse kommer til ? v?re i:

• \(v_r \in [-10 \mathrm{km/s}, 10 \mathrm{km/s}]\)
• \(T \in [150 K , 450 K]\)

Da beregner vi verdien til \(\chi^2\) for mange ulike hastigheter og temperaturer innenfor dette intervallet. Mer presist: For hver hastighet beregner vi \(\chi^2\) for alle utvalgte \(T\) i intervallet. For ? ikke fritere datamaskinene v?re altfor mye, velger vi "bare" hundre jevnt fordelte verdier i hvert intervall for \(v_r\) og \(T\).

Vi har videre at forventningsverdien, \(f(\lambda_i)\) er gitt som:

\(f(\lambda_i) = F_{min}e^{-\frac{(\lambda_i-\lambda')^2}{2\sigma ^2}}\)

N?r vi beregner \(\chi^2\) f?r vi dermed at differansen \(f_i-f(\lambda_i)\) blir?

\(f_i - F_{min}e^{-\frac{(\lambda_i-\lambda')^2}{2\sigma ^2}}\)

Her er \(f_i\) den m?lte fluksen ved b?lgelengden \(\lambda_i\), hvor \(\lambda_i\) ligger i intervallet for absorbsjonslinja \(\lambda_0\) til gassen vi ser etter: \(\lambda_i\in [\lambda_0 - margin, \lambda_0 + margin]\).

Vi har videre at:

• \(\lambda' = \lambda_0(1 + \frac{v_r\_skip}{c})\)
• \(\sigma = \frac{\lambda'}{c}\sqrt{\frac{kT}{m}}\)

Uttrykket for kjikvadrat blir dermed:

\(\chi^2 = \sum\limits_{i=1}^N \left(\frac{ f_i - F_{min}e^{-\frac{(\lambda_i-\lambda')^2}{2\sigma ^2}}}{\sigma_i} \right)^2\)

Prof. Elmi har studert fluksm?leren n?ye, s? vi kjenner \(\sigma_i\) fra f?r! Til ? begynne med setter vi \(F_{min}\) konstant lik 0.7. Etter ? ha regnet ut verdien for \(\chi^2\) for mange ulike hastigheter og temperaturer, sparer vi p? verdiene for \(v_r\) og \(T\) som gir minst \(\chi^2\)-verdi, og tegner kurven til den forventede fluksdalen sammen med kurven for den m?lte dataen. Fluksen skal v?re normalisert til ? v?re 1, s? n?r vi tegner den forventede kurven bruker vi dette uttrykket:

\(F=1+(F_{min}-1)e^{-\frac{(\lambda-\lambda')^2}{2\sigma ^2}}\)

Da tester vi ut denne metoden og ser hvilke tall den gir oss for absorbsjonslinja til \(O_2\) ved \(\lambda_0=632 \mathrm{nm}\)!

Her f?r vi at \(\chi^2\) er minst n?r \(v_r=-5960 \mathrm{m/s}\) og \(T=150 \mathrm{K}\). Det virker jo som at vi har funnet en absorbsjonsdal, men vi ser ogs? tydelig at det er flere andre daler i fluksm?lingen! Hmmmm... For ? f? litt bedre oversikt ser vi p? kjikvadrat-minimaliseringen for de to andre absorbsjons-b?lgelengdene til \(O_2\), \(\lambda_2=690 \mathrm{nm}\), \(\lambda_3= 760 \mathrm{nm}\).

Her fanger kjikvadratminimaliseringen opp en ordentlig dyp b?lgedal n?r \(v_r=-8586\) m/s og \(T=150 \mathrm{K}\). Temperaturen er den samme her som i det forrige plottet, og de radielle hasitighetene er noenlunde liknende. De er ikke identiske akkurat, men litt i samme gate kan man si! Det er dessuten tydelig p? figur 3 at det er en fluksdal rett til venstre for den oransje-merkede, alts? ved en hastighet som ligger n?rmere -8586 m/s. Kan det bety at vi har oppdaget oksygen i atmosf?ren?? Vi ser til slutt p? den siste absorbsjonsb?lgelengden til oksygengass!

N? er plutselig farten en helt annen! For de to forrige potensielle absorbsjonslinjene beveget vi oss mot Armando, men her beveger vi oss vekk fra Armando... Til gjengjeld er det jo en noks? tydelig og bred fluksdal - tydeligere enn de to forrige! Det virker kanskje kontraintuintivt, men det er faktisk ikke gitt at vi klarer ? finne alle spektrallinjene til en gass - det holder ? finne ¨¦n. Det virker egentlig som at fluksdalen i figur 5 er mer riktig enn dalene i figur 3 og 4. Dybden er omtrent i omr?det vi forventer at den skal v?re, rundt \(F_{min}\approx 0.7\), og den skiller seg noks? tydelig ut fra resten av flukskurven. Det er riktignok vanskelig ? si noe veldig klokt kun ut ifra disse tre plottene. Vi har i praksis (omtrentlig vurdert) 3 muligheter:

1. Fluksdalen i figur 3 og 4 er ekte, men ikke i figur 5
2. Fluksdalen i figur 5 er ekte, men ikke i figur 3 og 4
3. Ingen av fluksdalene er ekte

For ? bli mer selvsikre rundt denne vurderingen, ser vi p? kjikvadrat-minimeringen for de andre gassene i atmosf?ren:

Oi, her skjer det en del interessante ting!! For det f?rste legger vi tydelig merke til at temperaturen 150 K er veldig gjentakende - det virker som at omtrent alle gassene har samme temperatur! For det andre er det en hastighet som stikker seg litt ekstra ut her, nemlig \(v_r=2929 \mathrm{m/s}\).?

Til ? begynne med tar vi en titt p? \(T=150 \mathrm{K}\). Dette tilsvarer omtrent -123 grader Celsius... Det var da fryktelig kaldt! Da vi f?rst studerte temperaturen til Armando i del 3, krysset vi fingrene for at Armando ikke skulle v?re altfor kald, men her virker det jo som at planeten er helt Sibir... N? skal vi ikke fortvile for tidlig, det er fortsatt mulig at Armando har en behagelig temperatur alts?! Som dere lesere sikkert vet godt fra f?r, er atmosf?ren til hjemplaneten deres jorda delt opp i flere lag. Temperaturen varierer stort fra lag til lag, hvor det i noen lag er temperaturer helt ned p? -100 grader Celsius. Selv om det fortsatt ikke er like kaldt som -123 grader Celsius, kan det jo v?re at atmosf?retemperaturen til Armando varierer stort fra lag til lag...?

En annen ting vi m? huske p? er hvordan st?yen p?virker tallene. Dere ser jo tydelig at det er masse st?y her, s? vi m? alltid ta parameterverdiene vi f?r med en klype salt. M?let her er jo tross alt ikke ? beregne temperaturen til atmosf?ren, men finne ut av hvorvidt den inneholder den gassen eller ikke! N?r modellen sier oss at temperaturen til gassen er 150 K, b?r vi alts? ikke bruke for mye energi p? ? fortvile over det.

Det er dessuten derfor vi ikke har snakket s? mye om ? endre p? \(F_{min}\), alts? den laveste fluksen i en b?lgedal. Det viktigste for oss har ikke v?rt ? finne ut n?yaktig hvor dyp en fluksdal er, men heller ? se hvorvidt kjikvadrat-minimeringen klarer ? finne noen tydelig daler eller ikke.?

Det som er g?y n? er at vi sitter p? litt informasjon som dere enda ikke gj?r, nemlig plottene av kjikvadrat-kurven sammen med den m?lte flukskurven for de andre gassene. Her s? vi faktisk noe oppsiktsvekkende, spesielt for karbonmonoksid \(CO\), og dinitrogenoksid \(N_2O\)! Bare se her:

Sjekk her da! Denne fluksdalen er ikke til ? ta feil av - det m? jo bare v?re en absorbsjonslinje! Noe annet hadde v?rt utrolig skuffende... Noe liknende gjelder \(N_2O\):

Her ble det litt trangt... Vi zoomer inn litt mer for ? vise fluksdalen tydeligere!

B?de \(CO\) og \(N_2O\) kan i praksis kun gi oss ¨¦n absorbsjonslinje, og n?r vi har ¨¦n noks? tydelig dal ved samme radielle hastighet for hver gass, gir det oss sterke indikasjoner p? at det faktisk er ekte absorbsjonslinjer vi ser p?. Her har vi alts? tre forskjellige plott - figur 5 (\(O_2\)), figur 6 (\(CO\)) og figur 7 (\(N_2O\)) - som generer tydelige absorbsjonslinjer n?r raketten har radiell fart \(v_r=2929\) m/s i forhold til planeten. Hvis disse er sanne linjer betyr det at kjikvadrat-resultatene med helt andre hastigheter ikke kan v?re ekte; vi kan jo ikke bevege oss mot og fra Armando samtidig!

N?r vi ser p? resultatene finner vi at det er fire gasser hvor vi har absorbsjonslinjer med tilsvarene radiell hastighet:

• \(O_2\)
• \(H_2O\)
• \(CO\)
• \(N_2O\)

Til n? har vi latt oss overbevise til en ganske stor grad at vi har funnet ekte absorbsjonlinjer for \(N_2O\), \(CO\) og \(O_2\) ved ? se p? plottene av kjikvadrat-kurven sammen med den m?lte flukskurven. Vi har imidlertid enda ikke sett p? \(H_2O\)-kurvene. Ser vi noe overraskende her?

Vi finner en ganske tydelig fluksdal i omtrent samme radiell-hastighetsomr?de som for de andre gassene.?

For denne b?lgelengden dukker \(v_r=2929\) m/s opp igjen! Da kan vi nok med en viss sikkerhet konkludere med at vi dermed har funnet ekte absorbsjonslinjer, ikke bare rampete st?yfluktueringer! Da lister vi opp resultatet v?rt. If?lge kjikvadrat-minimeringen (og litt magef?lelse) best?r Armandos atmosf?re av:

• \(O_2\)
• \(H_2O\)
• \(CO\)
• \(N_2O\)

YESSS!!! Det virker som at det er oksygen p? Armandoooo!! S? utrolig deilig. Denne atmosf?re-komposisjonen kan dessuten ogs? hinte om at det finnes liv p? den nye hjemplaneten v?r! Da sier vi at atmosf?re-blandingen er 25% av hver av de ovennevnte gassene. Med dette kan vi finne den gjennomsnittlige molekyl?re vekten til Armandos atmosf?re. Denne er gitt som summen av nukleonene til hver gass delt p? fire:

\(\mu = \frac{n_{nuk\_O_2}+n_{nuk\_H_2O} + n_{nuk\_CO}+n_{nuk\_N_2O}}{4}\)

\(\mu = \frac{2\times 16+(2\times1 +16) + (12+16) +(2\times14+16)}{4}=30.5\)

Dette tallet f?r vi bruk for veldig snart!?

Det virka som en umulig oppgave til ? begynne med, men n? har vi en indikasjon p? atmosf?re-komposisjonen til Armando. Dette er virkelig nyttig informasjon ? ha f?r vi lander, slik at vi kan kalibrere landings-fallskjermen riktig. N? kan vi g? videre enda et hakk i unders?kelsen av atmosf?ren, og pr?ve ? modellere den!! Sjekk det ut her!

?