Vi modellerer atmosf?ren til Armandoooo!!

M?let v?rt n? er rett og slett ? lage en modell av atmosf?ren. I praksis betyr det at vi finner ut hvordan temperaturen og tettheten endres med avstanden fra overflaten. Vi vet fra f?r at tyngdekraften trekker p? atmosf?ren, som gj?r at tettheten vil v?re st?rre n?rmere overflaten enn lenger ut. Temperaturen vil ogs? v?re st?rst n?rmere overflaten, for denne varmes jo opp av str?ling fra sola. Vi vet imidlertid ikke n?yaktig hvor stor tettheten eller temperaturen kommer til ? v?re i punktene lenger ut i atmosf?ren! Dette m? vi vite, for ytterdelen av atmosf?ren er jo det f?rste som m?ter romskipet v?rt n?r vi begynner nedgangen mot Armando! Vi har jo snakket om at det er sentralt ? kjenne luftmotstanden n?r vi skal kalibrere fallskjermen, og da m? vi ogs? vite hvordan luftmotstanden varierer med avstanden fra planetens overflate.

En slik modell skal alts? kunne si oss noe om hvor stor atmosf?re-tettheten er ved inngangen til atmosf?ren, og hvordan tettheten deretter ?ker etter hvert som vi n?rmer oss overflaten. Tilsvarende blir det for temperaturen. Dette er ikke bare-bare! For ? gj?re det h?ndterbart, m? vi derfor unne oss noen forenklinger. Den f?rste viktige forenklingen er at vi modellerer atmosf?ren som en ideell gass. Dere husker kanskje fra del 1 at vi snakket om at vi antok gassen i forbrenningskammeret til ? v?re ideell? I en ideell gass er alle kollisjoner mellom partikler elastiske, som betyr at den kinetiske energien deres er bevart. For ideelle gasser har vi en nyttig formel for trykket, nemlig:

\(P=nkT\)

Hvor \(n\) er antall partikler per volumenhet, \(k\) er Boltzmanns konstant og \(T\) er temperaturen til gassen. Hva er det vi vil modellere? Jo, vi vil se p? tettheten og temperaturen til atmosf?ren ved ulike avstander fra overflaten. Det hadde derfor v?rt nyttig for oss om dette uttrykket ikke bare inneholdt temperaturen, men ogs? tettheten \(\rho\), alts? masse per volumenhet!?

Vi har at \(\rho\) og \(n\), fra formelen \(P=nkT\), er definert som

\(\rho=\frac{m}{V}\), og \(n=\frac{N}{V}\)

Hvor \(m\) er massen til partiklene i volumet \(V\), og \(N\) er antall partikler i volumet. Vi kan bruke disse to definisjonene til ? skrive \(n\) uttrykt ved \(\rho\):

\(\rho=\frac{m}{V} \rightarrow V=\frac{m}{\rho}\)

\(n=\frac{N}{V} = \frac{N\rho}{m}\)

Denne \(N\)-en er litt irriterende for oss, det er jo vanskelig ? si hvor mange partikler det er i dette volumet \(V\) hvor vi vil finne trykket! Vi vil alts? gjerne uttrykke partikkel per masse \(\frac{N}{m}\) p? en annen m?te... Det er her gjennomsnittlig molekyl?r vekt kommer inn! Husker dere at vi fant denne i slutten av siste innlegg? Det virka kanskje litt mystisk og rart at vi m?tte beregne et slikt tall, men n? blir det alts? nyttig! Den molekyl?re vekten er definert slik:

\(\mu=\sum\limits_{i=1}^N f_i \frac{m_i}{m_H} \)

Hvor \(f_i\) er hvor stor andel av volumet \(V\) som er gassen med masse \(m_i\), og \(m_H\) er massen til et hydrogenatom. MERK! Her uttrykker \(N\) antall forskjellige molekyler i volumet. Hvis volumet inneholder oksygen og hydrogen blir dermed \(N=2\). For ? gj?re matten mye enklere, antar vi at denne formelen gjelder overalt i atmosf?ren. Det betyr at forholdstallet \(f_i\) er konstant. Den fysiske tolkningen av dette er at vi antar at gassen i atmosf?ren er uniformt fordelt, slik at det i alle omr?der er like mye av en gass: Det er alltid 25% av hver av gassene fra forrige innlegg i alle omr?der av atmosf?ren. Ikke nok med det, det betyr at det i hvert infinitesimalt lille punkt alltid er 25% av hver gass. Dette er jo selvf?lgelig ikke helt realistisk, men for at modellen ikke blir altfor avansert gj?r vi denne forenklingen.

Da kan vi finne den gjennomsnittlige massen til ett gassmolekyl:

\(\mu=\sum\limits_{i=1}^N f_i \frac{m_i}{m_H} \rightarrow \mu m_H=\sum\limits_{i=1}^N f_i m_i=\bar{m}\), ettersom vi her summerer massen til hver type gassmolekyl delt p? hvor stor andel gass \(i\) utgj?r av volumet.

Da f?r vi at den totale massen til partiklene i volumet, \(m\), kan uttrykkes som antall partikler \(N\) ganget med gjennomsnittlig partikkelmasse \(\bar{m}\):

\(m=N\bar{m}=N\mu m_H\), siden \(N\) er det totale antallet partikler i volumet. Da f?r vi at:

\(\frac{N}{m}=\frac{1}{\mu m_H}\)

Og \(\mu\) og \(m_H\) kjenner vi fra f?r! Da setter vi det inn i det endelige uttrykket for trykket:

\(P=\frac{N\rho kT}{m}=\frac{\rho kT}{\mu m_H}\)

Da har vi en formel for trykket til et volumelement gitt av tettheten \(\rho\) og temperaturen \(T\)!! Dette er et godt steg i riktig retning. Trykket er nemlig helt sentralt i neste steg av modelleringen.?

Vi ser p? et volumelement \(dV\) av atmosf?ren. Tenk p? det som at vi observerer en liten boks av atmosf?ren. Da kan vi introdusere tredje viktige antakelse for modellen: Vi antar hydrostatisk likevekt. Ja, det er et litt rart ord, men det har den enkle fysiske betydningen at atmosf?re-boksen v?r er i ro! Mer presist: Den beveger seg hverken mot eller fra planeten. Vi antar dermed at trykkreftene og tyngdekrafta nuller hverandre ut. Hvis det er litt vanskelig ? forst?, er det bare ? se ut p? atmosf?ren til deres egen hjemplanet, jorda. Denne beveger seg jo ikke s? mye utover mot verdensrommet eller inn mot overflaten! Den har med andre ord ganske konstant tjukkelse, som gj?r at vi kan si at denne er i hydrostatisk likevekt. Ellers hadde den blitt komprimert til en tynn strek ved overflaten eller forsvunnet ut i verdensrommet!

La oss se litt n?rmere p? atmosf?re-boksen v?r:

De mest observante av dere tenker kanskje p? trykkreftene p? sidekantene av boksen? Disse trenger vi ikke ? ta hensyn til, for de nuller hverandre ut! Trykkraften p? venstre sidevegg dytter mot h?yre, mens en like stor trykkraft dytter mot venstre p? h?yre sidevegg. Vi vet at trykkreftene p? hver side er like store fordi trykket er gitt av \(P=\frac{\rho k T}{\mu m_H}\), hvor b?de \(\rho(r)\) og \(T(r)\) er konstante i alle punkter ved en avstand \(r\) fra planetsenteret (se figur 3).

Volumelementet i figur 2 har et lokk og en bunn med areal \(dA\), hvor bunnen dyttes oppover av trykkraften \(\vec{F}_P(r)\) og lokket dyttes nedover av trykkraften \(\vec{F}_P(r+dr)\), hvor \(dr\) er h?yden til boksen og \(r\) er avstanden fra planetens sentrum. Ogs? tyngdekraften \(\vec{F}_G\) er med i spill her.?

?

?

?

?

Siden vi antar hydrostatisk likevekt m? summen av kreftene bli null: \(\vec{F}_P(r)\) m? dytte oppover like mye som \(\vec{F}_P(r+dr)\) og \(\vec{F}_G\) dytter nedover. Hvis vi definerer positiv retning oppover, f?r vi:

\(F_P(r)\) - \(F_P(r+dr)\) - ?\(F_G\) = 0 ?(1)

N? ser vi bare p? st?rrelsen til kreftene, og tar derfor ikke med vektorpilene.?

Tidligere i dette blogginnlegget fant vi en formel for trykket til en ideell gass, og denne formelen vil vi gjerne bruke!! Da kan vi uttrykke trykkkreftene ut ifra definisjonen av trykk:

\(P=\frac{F_P}{dA}\), hvor \(F_P\) er trykkraften og \(dA\) er arealementet trykkraften dytter p?.

Setter vi dette inn i (1) f?r vi:

\(P(r)dA - P(r+dr)dA-F_G=0\)

Vi deler alle ledd med \(dA\): ?\(P(r) - P(r+dr)-\frac{F_G}{dA}=0\)

Videre kan vi si at endringen i trykk, \(dP\), kan uttrykkes ved \(dP=P(r+dr) - P(r)\). Da f?r vi denne sammenhengen:

\(dP=-\frac{F_G}{dA}\) (2)

Da kan vi skrive ut \(F_G\). Denne kjenner vi godt fra f?r, dette er Newtons gravitasjonslov!

\(F_G=G\frac{M(r)dm}{r^2}\)?

Hvor \(G\) er gravitasjonskonstanten (dere er kanskje vant til ? bruke \(\gamma\)?), \(M(r)\) er massen til alt som befinner seg innenfor radiusen \(r\), alts? b?de selve planeten og massen til atmosf?ren, og \(dm\) er massen til volumelementet v?rt. N?r vi ser p? dette uttrykket er det liksom noe som mangler... Ahaa, vi har ingen \(\rho\)! M?let v?rt er jo ? finne uttrykk for \(\rho\) og \(T\) til slutt, og da er det nok lurt at formlene v?re inkluderer disse! Hvor kan vi lure inn en \(\rho\) her da?

Vi ser p? massen \(dm\). Dette er massen til atmosf?reboksen, som jo kommer til ? v?re avhengig av hvor stor massetettheten til lufta i boksen er. Da kan vi uttrykke denne som \(dm=\rho(r)dAdr\). Dette kommer fra definisjonen av massetetthet \(\rho=\frac{dm}{dV}\), hvor \(dV=dAdr\). Setter vi dette inn i (2), f?r vi:

\(dP=-G\frac{M(r)dm}{r^2dA}=G\frac{M(r)\rho(r)dAdr}{r^2dA}\)

\(dP=-G\frac{M(r)\rho(r)dr}{r^2}\)

Deler med \(dr\) p? begge sider:

\(\frac{dP}{dr}=-\rho(r)g(r)\), hvor \(g(r)=G\frac{M(r)}{r^2}\) er gravitasjonsakselerasjonen.

Da har vi et uttrykk for hvordan trykket varierer med \(r\)! Ikke nok med det, vi uttrykker det ved tettheten \(\rho\), som jo er det vi vil finne til slutt. Her oppdager vi alts? nyttige sammenhenger som vi f?r bruk for i modellen!

Neste viktige antakelse for modellen er at vi antar atmosf?ren til ? v?re adiabatisk opp til et visst punkt. Dette punktet definerer vi som punktet hvor temperaturen er \(T=\frac{T_0}{2}\), hvor \(T_0\) er temperaturen ved overflaten.?

Det at atmosf?ren er adiabatisk betyr at atmosf?regassen kan endre temperatur uten ? miste eller f? varme fra omgivelsene sine. Da kan vi bruke en nyttig sammenheng:

\(P(r)^{1-\gamma}T(r)^\gamma = Konstant\)

Her st?r det at trykket ved \(r\) opph?yd i en konstant ganget med temperaturen ved \(r\) opph?yd i en konstant er konstant! Dette uttrykket kan vi vri og vende for ? finne nyttige formler for b?de tettheten og temperaturen. Vi kan gj?re litt formelmassasje her og finne en formel for trykket gitt ved \(\rho\)!

Dette er ikke vanskelig algebra, men hopp gjerne over det hvis det blir uinteressant!

Vi begynner med sammenhengen mellom trykk og temperatur i en adiabatisk gass:

\(P^{1-\gamma}T^\gamma = C\)

Setter inn uttrykket for trykket:

\((\frac{\rho kT}{\mu m_H})^{1-\gamma}T^\gamma = C \)

Trekker ut \(T\) fra br?ken:

\((\frac{\rho k}{\mu m_H})^{1-\gamma}T^{1-\gamma}T^\gamma=C\)

?\((\frac{\rho k}{\mu m_H})^{1-\gamma}T=C\)

Skriver n? om \(T\) med formelen for trykket:

?\((\frac{\rho k}{\mu m_H})^{1-\gamma}\frac{P\mu m_H}{\rho k}=C\)

L?ser s? dette for \(P\)

\(P=C(\frac{\rho k}{\mu m_H})^{\gamma-1}\frac{\rho k}{\mu m_H}\)

Trekker ut \(\rho\)

\(P=C\rho^\gamma (\frac{k}{\mu m_H})^{\gamma-1}\frac{k}{\mu m_H}\)

Dette kan vi skrive enklere som?

\(P=\rho^\gamma K\), hvor \(K=C(\frac{k}{\mu m_H})^{\gamma-1}\frac{k}{\mu m_H}\)

Da har vi et flott uttrykk for sammenhengen mellom trykket og tettheten!

\(P=\rho^\gamma K\)

Hvor \(K\) bare er en konstant. Men hvorfor gjorde vi all den utregningen for ? f? dette uttrykket? Jo, se n?ye p? det en gang...

Kjenner dere igjen st?rrelsene? Vi har tettheten \(\rho\), en konstant \(K\) og trykket \(P\). Vi fant jo en fin formel for trykket til en ideell gass helt i starten av innlegget, i tillegg til at vi med antakelsen om hydrostatisk likevekt kunne se at den deriverte til trykket er n?rt knytta til tettheten! Det uskyldige uttrykket over kan alts? hjelpe oss med ? finne det endelige uttrykket for tettheten!?

Men f?r vi gj?r det oppsumerer vi det vi har gjort til n?:

• Antar at atmosf?regassen er en ideell gass, s? trykket f?lger formelen: \(P=\frac{\rho kT}{\mu m_H}\)
• For at uttrykket over skal gjelde, antar vi at atmosf?regassen er uniform, alts? at det er samme andel av en gass i alle omr?der i atmosf?ren.
• Vi antar hydrostatisk likevekt slik at \(\frac{dP}{dr}=-\rho(r)g(r)\).
• Vi antar at atmosf?ren er adiabatisk opp til punktet hvor \(T=\frac{T_0}{2}\), hvor \(T_0\) er temperaturen ved overflaten. Etter dette punktet er temperaturen konstant lik \(\frac{T_0}{2}\).
• For adiabatiske gasser har vi sammenhengen \(P(r)^{1-\gamma}T(r)^\gamma = C\) og \(P=\rho^\gamma K\).

Til slutt m? vi inkludere en annen antakelse som kanskje virker triviell, men som i praksis ikke er det! Det er at tettheten \(\rho\) og temperaturen kun er avhengige av avstanden fra planetens sentrum, og alts? er konstant for alle punkter i atmosf?ren ved h?yden \(r\).?

Da kan vi endelig anvende disse sammenhengene for ? lage modellen v?r! Vi begynner med sammenhengen mellom trykk og tetthet. Kanskje vi klarer ? finne \(\rho\)???

\(P=\rho^\gamma K\)

Da kan vi si at \(\frac{dP}{dr}=\frac{d}{dr}(\rho^\gamma K)\)

Her finner vi fram formelen for hydrostatisk likevekt:

\(\frac{dP}{dr}=\frac{d}{dr}(\rho^\gamma K)=-\rho(r)g(r)\).

N? m? vi unders?ke faktoren \(g(r)\), tyngdeakselerasjonen, litt n?yere. Vi har at \(g(r)=G\frac{M(r)}{r^2}\), hvor \(M(r)\) er massen innenfor h?yden \(r\). Her skal vi alts? i teorien b?de ta hensyn til massen til planeten og massen til atmosf?ren innenfor denne h?yden. Da b?r vi vurdere viktigheten av ? gj?re det, for dersom vi faktisk m? ta hensyn til atmosf?rens masse blir matematikken myyyye vanskeligere.?

Vi tar utgangspunkt i atmosf?ren til hjemplaneten deres, jorda. Da vet vi at massen til atmosf?ren er p? omtrent ¨¦n milliondel av jordas masse (Britannica). Dette er forsvinnende lite! Sagt p? en annen m?te: Hvis jorda var en basketball kunne vi modellert atmosf?ren som et tynt lag med plastfolie rundt ballen (NASA)! Hvis vi antar at det er omtrent samme st?rrelsesforhold p? Armando som p? jorda, kan vi ha som en grei antakelse at \(M(r)\approx M\), hvor \(M\) er massen til planeten. Phuff, heldigvis virker det ikke s??? ulovlig ? forenkle uttrykket for tyngdeakselerasjonen slik at \(M(r)\) kun blir til \(M\). Da kan vi skrive opp hele uttrykket:

\(\frac{d}{dr}(\rho^\gamma K)=-\rho(r)G\frac{M}{r^2}\)

Dette er en f?rsteordens differensiallikning! Disse har dere ikke l?rt ? l?se, s? vi forventer ikke at dere skj?nner matten... Men ut fra likningen over kan vi faktisk finne et uttrykk for \(\rho(r)\)! Vi tar med utregningen, men oppfordrer dere til ? hoppe over.

?\(\frac{d}{dr}(\rho^\gamma K)=-\rho(r)G\frac{M}{r^2}\)

Deriverer uttrykket til venstre med kjerneregelen

\(\gamma K\rho(r)^{\gamma-1}\frac{d\rho(r)}{dr}=-\rho(r)G\frac{M}{r^2}\)

Deler p? \(\rho(r)\)

\(\gamma K\rho(r)^{\gamma-2}\frac{d\rho(r)}{dr}=-G\frac{M}{r^2}\)

Integrerer begge sider med hensyn p? \(r\)

\(\gamma K \int \rho^{\gamma-2} d\rho = -\int G\frac{M}{r^2}dr\)

\(\gamma K \frac{\rho^{\gamma -1}}{\gamma -1}=\frac{GM}{r} + C_0\)

L?ser dette for \(\rho\)

\(\rho(r)=(\frac{GM(\gamma -1)}{\gamma rK}+C_1)^{\frac{1}{\gamma-1}}\)

Finner \(C_1\) med initialbetingelsen, \(\rho(R)=\rho_0\), hvor \(R\) er radiusen til planeten. Vi kjenner \(\rho_0\) fra f?r.

\(C_1 = \rho_0^{\gamma-1}-\frac{GM(\gamma-1)}{\gamma RK}\)

Setter alt inn i uttrykket for \(\rho(r)\):

\(\rho(r)=(\frac{GM(\gamma-1)}{\gamma rK}-\frac{GM(\gamma-1)}{\gamma RK}+\rho_0^{\gamma-1})^{\frac{1}{\gamma-1}}\)

Trekker ut felles faktorer:

\(\rho(r)=\left( \frac{GM(\gamma-1)}{\gamma K} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right) + \rho_0^{\gamma-1} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\)

Etter litt regning finner vi alts? ut at massetettheten til atmosf?ren f?lger uttrykket:

\(\rho(r)=\left( \frac{GM(\gamma-1)}{\gamma K} \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right) + \rho_0^{\gamma-1} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\)

Her er \(\gamma\) en konstant i sammenhengen for adiabatiske gasser, \(G\) er gravitasjonskonstanten, \(R\) og \(M\) er henholdsvid radiusen og massen til planeten og \(K=C(\frac{k}{\mu m_H})^{\gamma-1}\frac{k}{\mu m_H}\).

Wow!!!! Da er f?rste del av modellen faktisk klar!

Da er det faktisk ikke s? vanskelig ? komme frem til uttrykket for temperaturen. Her kan vi ta utgangspunkt i sammenhengen for adiabatiske gasser:

?\(P(r)^{1-\gamma}T(r)^\gamma = C\)

Vi skriver ut uttrykket for trykket:

\((\frac{\rho(r)kT(r)}{\mu m_H})^{1-\gamma}T(r)^\gamma = C\)

Trekker ut temperaturen fra br?ken

\((\frac{\rho(r)k}{\mu m_H})^{1-\gamma}T(r)^{1-\gamma}T(r)^\gamma = C\)

\((\frac{\rho(r)k}{\mu m_H})^{1-\gamma}T(r) = C\)

L?ser for temperaturen

\(T(r)=C(\frac{\rho(r)k}{\mu m_H})^{\gamma-1}\)

Hvor \(k\) er Boltzmanns konstant, \(m_H\) er massen til et hydrogenatom, \(\mu\) er den gjennomsnittlige molekyl?re vekten til atmosf?ren og \(\gamma\) er fra sammenhengen for adiabatiske gasser. Dette er st?rrelser vi kjenner fra f?r! \(C\) finner vi av uttrykket for adiabatiske gasser:

\(P_0^{1-\gamma}T_0^\gamma=C\)

Hvor \(P_0\) og \(T_0\) er henholdsvis trykket og temperaturen ved overflaten. Disse kjenner vi fra f?r!

Olala!! Da har vi rett og slett funnet uttrykkene vi trenger for ? beskrive atmosf?rens massetetthet \(\rho(r)\) og temperatur \(T(r)\) som funksjon av avstanden \(r\) til Armandos kjerne.

Da er det teoretiske rammeverket lagt for ? studere hvordan atmosf?ren ser ut!! Dette innlegget har blitt langt nok allerede, s? vi sparer resultatene til det neste innlegget... F?lg med videre!!

Kilde for forholdstall mellom atmosf?remasse og jordmasse:

Britannica, (u.?.). How mouch does earth's atmosphere weigh? Tilgjengelig fra: https://www.britannica.com/story/how-much-does-earths-atmosphere-weigh

?

?

?

?