2) Kosmisk bordtennis

Kosmisk bordtennis har p? mange m?ter blitt den nye favorittsporten v?r her p? Armando. Det ble liksom litt for stusslig og sm?tt ? bare gj?re det p? bakken! I stedet spiller vi med romskip. To romskip beveger seg mot venstre relativt til romstasjonen vi observerer eksperimentet fra (romstasjonen og planeten er i samme referansesystem - de er i ro i forhold til hverandre). Romskipene har samme fart, slik at avstanden mellom dem er konstant. Vi kaller romskipet til venstre romskip 1 og romskipet til h?yre romskip 2. Ved tid lik null skyter romskip 1 en laserstr?le mot romskip 2. Romskip 2 er utstyrt med et speil, s? laserstr?len fra 1 reflekteres tilbake til 1 n?r den treffer speilet til 2. Vi definerer de relevante hendelsene:

• Hendelse A
  • Romskip 1 skyter mot romskip 2
• Hendelse B
  • Romskip 2 reflekterer laserstr?len tilbake mot 1
• (Hendelse C)
  • Her skjer det noe vi ikke forventet p? forh?nd!
• Hendelse D
  • Den reflekterte laserstr?len fra 2 treffer 1

Vi ser f?rst det hele fra romskipenes referansesystem:

I romskipenes referansesystem, kan vi si noe om tiden det tar fra A til B og fra B til D? Har de noen sammenheng? Ja, og her tenker vi intuitivt at tiden mellom A og B er like lang som tiden mellom B og D. Vi vet at lysfarten er den samme i alle referansesystemer, og at lyset beveger seg like langt fra A til B som fra B til D. Siden strekningen er like lang og farten er like stor kan vi konkludere med at?

\(\Delta t'_{AB}=\Delta t'_{BD}\)

Legg merke til at vi kaller referansesystemet til romskipene for det merkede referansesystemet! Posisjonene skjer alts? ved \(x'\) og tidene skjer ved \(t'\).

Legg ogs? merke til at da vi gjennomf?rte eksperimentet skjedde det en eksplosjon p? romstasjonen (hendelse C)! I romskipenes referansesystem skjedde dette samtidig som hendelse B.

Ok, det var litt om romskipenes referansesystem. Hvordan ser den kosmiske bordtennisen ut i romstasjonens referansesystem da? Husk at i forhold til stasjonen beveger romskipene seg med konstant fart mot venstre!

N?r vi tenker litt p? det innser vi fort at romskip 2 beveger seg mot laserstr?len fra A.

?

?

?

?

?

?

?

Vi vet at hendelse A skjer ved tid lik null ogs? sett fra romstasjonen. Hva skjer etter A da? Romskipene fyker mot venstre, s? romskip 2 beveger seg mot laserstr?len fra 1 (se figur 5). Det betyr i praksis at lyset beveger seg en kortere strekning fra A til B enn fra B til D! Konsekvensen av det m? jo bli at \(\Delta t_{AB}\) er mindre enn \(\Delta t_{BD}\):

\(\Delta t_{AB}\)<\(\Delta t_{BD}\)

Men i romskipenes referansesystem var jo \(\Delta t'_{AB}=\Delta t'_{BD}\)! S?nn er det rett og slett n?r vi bytter referansesystem. Vi ser det igjen, tidene forandrer seg. Og desto st?rre fart romskipene har, desto st?rre blir forskjellen mellom tidsintervallene: Romskip 2 beveger seg fortere mot str?len fra 1 og romskip 1 beveger seg fortere vekk fra str?len reflektert i 2.?

Det blir skikkelig rot med store hastigheter alts?! Kanskje det er best ? roe ned litt? Vi spiller med bordtennisball i stedet! Det er hyggeligere. S? i stedet for lysfart, beveger ballen seg med fart p? 80 km/h mellom romskipene sett fra deres referansesystem. Relativt til romstasjonen beveger romskipene seg n? med fart p? 50 km/h mot venstre.

Hvordan ser dette ut fra romskipenes referansesystem? Jo, her er alt i den skj?nneste orden. Ballen spretter mellom skipene med en fart p? 80 km/h:

\(\Delta t'_{AB}=\Delta t'_{BD}\)

Hvordan ser observat?ren p? planeten dette da? Her er det viktig at vi legger merke til en sentral distinksjon! Lysfarten er konstant i alle referansesystemer, men hvem sa at dette ogs? gjelder for bordtennisballer? Ingen!! S? her m? vi faktisk legge sammen hastighetene, og finne ballens relative hastighet i forhold til planeten.

N?r romskip 1 skyter bordtennisballen mot h?yre, f?r bordtennisballen en fart p? (vi definerer positiv fart til ? v?re mot h?yre):

\(v_{rel\_planet}=80 km/h - 50 km/h = 30 km/h\) mot h?yre, sett fra planeten.

N?r romskip 2 skyter bordtennisballen tilbake mot venstre, f?r bordtennisballen en fart p?:

\(v_{rel\_planet}=-80 km/h - 50 km/h = -130 km/h\)?mot venstre, sett fra planeten.

N?r romskipet beveger seg mot bordtennisballen ser det alts? ut som at ballen har lavere fart, sett fra planeten. N?r romskip 1 beveger seg vekk fra ballen, g?r ballen fortere mot romskip 1, sett fra planeten. Betyr det at \(\Delta t_{AB}=\Delta t_{BD}\)? Vi gj?r noen enkle beregninger! F?rst finner vi \(\Delta t_{AB}\). Vi setter nullpunktet ved romskip 1 og definerer positiv retning mot h?yre. Definerer ogs? at avstanden mellom romskipene sett fra planeten er \(L\).

Strekningen bordtennisballen beveger seg over tidsrommet er

\(S_{ball}=30km/h\cdot \Delta t_{AB}\).

Strekningen romskip 2 beveger seg over tidsrommet er?

\(S_{romskip2}=L-50km/h\cdot \Delta t_{AB}\)

Setter uttrykkene lik hverandre for ? finne tiden hvor ballen treffer romskip 2:

\(S_{ball}=S_{romskip2}\)

\(30km/h\cdot \Delta t_{AB}=L-50km/h\cdot \Delta t_{AB}\)

\(80km/h\cdot? \Delta t_{AB}=L\)

\(\Delta t_{AB}=\frac{L}{80km/h}\)

N? sjekker vi tidsintervallet \(\Delta t_{BD}\). Vi definerer n? igjen at romskip 1 begynner ved strekning lik null, og at ballen begynner ved strekning lik \(L\).?

\(S_{romskip1}=-50km/h\cdot \Delta t_{BD}\)

\(S_{ball}=L-130km/h\cdot \Delta t_{BD}\)

Setter disse lik hverandre for ? finne tiden hvor ballen treffer romskip 1.

\(-50km/h\cdot \Delta t_{BD}=L-130km/h\cdot \Delta t_{BD}\)

\(\Delta t_{BD} =?\frac{L}{80km/h}\)

Vi ser n? at?\(\Delta t_{AB}=\Delta t_{BD}\)! S? n?r det ikke er lys som beveger seg mellom romskipene blir tidsintervallet likt, ogs? sett fra planetens referansesystem. Det at lysfarten er lik i alle referansesystemer skaper skikkelig kluss med tiden alts?!!

Det var jo hyggelig med et litt enklere scenario, men n? g?r vi tilbake til lysfart! Igjen ser vi p? laserstr?len som skytes mellom romskipene. Vi har s? vidt nevnt hendelse C: Sett fra romskipenes referansesystem skjer det en eksplosjon ved romstasjonen samtidig som hendelse B. Men som vi n? har erfart kan vi ikke forvente at B og C ogs? er samtidige sett fra romstasjonens referansesystem!??

For ? forst? situasjonen litt bedre tenker vi oss et alternativt scenario: En observat?r M beveger seg med samme fart som romskipene midt mellom B og C. Hvordan vil hun oppleve at laserstr?len fra B og lysglimtet fra C n?r henne?

Sett fra romskipenes referansesystem vil jo observat?r M se lyset fra B og C samtidig. Hvordan ser dette ut fra romstasjonens referansesystem da? Jo, i forhold til romstasjonen vil jo observat?ren bevege seg mot lyset fra C og vekk fra lyset i B. Husker dere det forrige eksperiment vi gjorde? Ved et tilsvarende scenario fant vi ut at lysglimtene m? krysse ved personen i midten if?lge observat?rer i begge referansesystemer. Vi har alts? to sentrale momenter her:

• Observat?r M beveger seg mot lysglimtet fra C og vekk fra lysglimtet i B
• Sett fra begge referansesystemer?skal lysglimtene krysse hverandre ved observat?r M

Det tvinger oss til ? trekke nok en kontraintuitiv konklusjon: Sett fra romstasjonens referansesystem m? hendelse B skje f?r hendelse C! Slik s?rger vi for at begge punktene ovenfor oppfylles.

Men vi har jo faktisk ikke gjennomf?rt eksperimentet og sett det fra romstasjonens referansesystem enda! Frem til n? har vi bare sett p? det i romskipenes referansesystem og synset oss i vei om romstasjonens opplevelse av eksperimentet. Vi pr?ver ? samle den informasjonen vi har synset oss frem til. Romstasjonen ser at:

• \(\Delta t_{AB} < \Delta t_{BD}\)
• Hendelse B skjer f?r hendelse C?

Vi gjennomf?rer eksperimentet og ser om vi har tenkt riktig! ?h, n? er jeg helt utrolig spent...

Vi har alts? tenkt riktig om hvordan den kosmiske bordtennisen oppleves fra romstasjonens referansesystem! N? vil vi gjerne g? enda mer i detalj i hva som skjer, og regne ut de faktiske tidene... Det virker kanskje litt komplisert, men vi har heldigvis noen utrolig nyttige prinsipper vi kan bruke! Kanskje noen av dere har lest litt popul?rvitenskapelig fysikk? Da har dere nok st?tt p? et morsomt lite begrep, nemlig romtid!! Romtid er foreningen av de tre romdimensjonene og den fjerde dimensjonen, tid: \(t,x,y,z\)! N? har vi alts? fire koordinater, og beskriver ikke lenger bare hvor noe skjer i rommet, men ogs? hvor det skjer i tid. Husker dere at vi i dette eksperimentet definerte referansesystemet til romstasjonen for \(t,x,y,z\) og referansesystemet til romskipene for \(t',x',y',z'\)? Disse kan vi visualisere som to koordinatsystemer, hvor det ene er rotert i forhold til det andre!

Med en slik modell av verden blir det tydeligere hvorfor samtidige hendelser i referansesystemet \(t,x,y,z\) ikke er samtidige i referansesystemet \(t',x',y',z'\). Hvis det ene referansesystemet har en fart i forhold til det andre systemet, roteres de alts? i forhold til hverandre! Det virker litt spr?tt at virkeligheten skal v?re slik, men husk at dette bare er en modell. Romtidsdiagrammer gj?r det enklere for oss ? forst? kompliserte begreper som tid og rom! Legg ogs? merke til at vi kun har med x-dimensjonen av romdimensjonene - ¨¦ndimensjonal bevegelse er nemlig litt enklere ? forholde seg til enn flerdimensjonal bevegelse...

Med et slik romtidsdiagram blir det enklere ? forst? neste fundamentale konsept, nemlig romtidsintervallet! Fra figur 13 kan vi hente ut tidsintervallet mellom B og C i de to referansesystemene, samt avstanden i rom:

• \(\Delta t_{BC}, \Delta x_{BC}\)
• \(\Delta t'_{BC}, \Delta x'_{BC}\)

Med avstanden i tid, og avstanden i rom, kan vi finne avstanden mellom hendelsene. Dette gj?r vi faktisk med Pythagoras' setning (egentlig ikke, vi kommer tilbake til det...), bare se her!

Fra figur 14 ser vi at avstanden i tid og rom danner en rettvinklet trekant. Vi kan dermed finne avstanden mellom hendelsene B og C med Pythagoras:

\(\Delta s^2_{BC}=\Delta t^2_{BC}+\Delta x^2_{BC}\)? (1)

\(\Delta s'^2_{BC}=\Delta t'^2_{BC}+\Delta x'^2_{BC}=0+\Delta x'^2_{BC}\)? (2)

Fra tegningen ser vi at avstanden er den samme i begge referansesystemer!

\(\Delta?s^2_{BC}=\Delta s'^2_{BC}\)

De mest ?rv?kne av dere legger kanskje merke til noe rart med uttrykk (1) og (2)? I vanlig (euklidsk) geometri vil jo katetene i en trekant v?re i lengdeenheter, men her er plutselig den ene kateten i tidsenheter! Hvordan kan vi legge sammen tid og lengde og f? en avstand? N?r vi regner relativistisk kan vi faktisk gj?re om en st?rrelse lengeenheter til en lengde i tidenheter! Dette gj?r vi slik:

• \(L(s)=\frac{1}{c}L(m)\)
• \(t(m)=ct(s)\)

Her er \(c\) lysfarten i m/s. S? vi kan regne tid i meter og lengde i sekunder! Dette er nok et eksempel p? hvor rar relativistisk fysikk er.?

Men n? er det p? tide at vi innr?mmer noe... Uttrykkene (1) og (2) er faktisk feil. Hvis romtid hadde fulgt den geometrien vi er vant med fra skolen (euklidsk geometri) hadde det v?rt riktig, men romtid er noe for seg selv! Romtid f?lger en annen type geometri, som kalles Lorentz-geometri. Lorentz-geometri er heeelt merkelig - med denne geometrien er den LENGSTE avstanden mellom to punkter den rette linja mellom punktene!!! S? uttrykk (1) og (2) m? omskrives litt:

\(\Delta s^2_{BC}=\Delta t^2_{BC}-\Delta x^2_{BC}\)? (1)

\(\Delta s'^2_{BC}=\Delta t'^2_{BC}-\Delta x'^2_{BC}=0-\Delta x'^2_{BC}\)? (2)

Vi tar alts? tidskomponenten i annen?minus?romkomponenten i annen. Her ser vi med ¨¦n gang en av konsekvensene av minustegnet. Bare se p? uttrykk (2):

\(\Delta s'^2_{BC}=\Delta t'^2_{BC}-\Delta x'^2_{BC}=0-\Delta x'^2_{BC}\)

Romtidsintervallet kvadrert blir et negativt tall!! Hvordan er det mulig? N?r dette skjer, har vi med romlike eventer ? gj?re. N?r \(\Delta x > \Delta t\), betyr det at hendelsene ikke er i en kausal relasjon: Den ene hendelsen kunne ikke for?rsaket den andre! Det gir mening i v?rt tilfelle! Husk at i romskipenes referansesystem (merket referansesystem), skjer B og C samtidig. Da kan de ikke v?re i en kausal relasjon!

Vi skj?nner hvis dere lesere synes det er rart - det synes vi ogs?! Lorentz-geometri bryter med all geometrisk intuisjon vi har fra f?r. Men heldigvis er det ogs? her slik at romtidsintervallene i de to referansesystemene er like!

\(\Delta?s^2_{BC}=\Delta s'^2_{BC}\)

Og slik vil det v?re for alle hendelser, ikke bare B og C. Denne sammenhengen er utrolig nyttig n?r vi skal finne de eksakte tidspunktet for B, C og D i romstasjonens referansesystem. Vi setter bare opp uttrykket for ulike romtidsintervaller og finner sammenhengene mellom hendelsene vi kjenner fra f?r, og hendelser vi ikke kjenner fra f?r.?

Vi kan sette opp initialbetingelsene for referansesystemet til romskipene. Her definerer vi positiv fart til ? v?re mot h?yre. Sett fra romstasjonen beveger romskipene seg med fart p? \(-0.65\). Merk at fart er enhetsl?st n?r vi regner relativistisk! Vi definerer lysfarten til ? v?re 1, s? legemer kan kun ha fart med en st?rrelse mellom 0 og i n?rheten av 1. Aldri lik 1 for legemer med masse! S? vi har at romskipene har en fart p? \(-0.65\) sett fra romstasjonen. Sett fra romskipene har romstasjonen dermed konstant fart p? \(0.65\) i positiv x-retning.

Event A:

• \(x'_A=0\), ? \(t'_A=0\)

Event B:

• \(x'_B=L'\), \(t'_B=\frac{L'}{1}\)

\(L'\) er avstanden mellom romskipene i romskipenes referansesystem. Tidspunktet for event B er bare tiden lyset bruker p? ? reise strekningen \(L'\) mellom romskipene. Husk at vi m? gj?re om \(L'\) fra lengdeenheter tidsenheter! \(L(s)=\frac{1}{c}L(m)\).

Da ser vi at:

• \(x'_B=L'(s)\), \(t'_B=x'_B\)

Event C:

• \(x'_C=0.65\cdot t'_B\), \(t'_C=t'_B\)

Posisjonen til event C er alts? hvor langt romstasjonen har forflyttet seg frem til tidspunktet for event C. Vi vet videre at C og B skjer samtidig, s? \(t'_C=t'_B\).

Event D:

• \(x'_D=0\), \(t'_D=2t'_B\)

I romskipenes referansesystem er origo alltid plassert ved romskip 1, s? \(x'_D=0\). Videre fant vi ut at det tar like lang tid fra A til B som fra B til D. Derfor blir \(t'_D=2t'_B\).

For romstasjonens referansesystem har vi:

Event A:

• \(x_A=0\), \(t_A=0\)

Dette er origoeventet; vi starter ved x=0 og t=0 i begge referansesystemer.

Event B:

• \(x_B=?\), \(t_B=?\)

Disse kjenner vi ikke!

Event C:

• \(x_C=0\), \(t_C=?\)

Event C skjer p? romstasjonen, s? i romstasjonens referansesystem er dette i origo.

Event D:

• \(x_D=-0.65 t_D\), \(t_D=?\)

Event D skjer ved romskipet til venstre, som begynte i origo og har beveget seg med fart p? -0.65 frem til event D. Da er posisjonen til event D sett fra romstasjonen \(-0.65 t_D\).

Her gjorde vi eksperimentet f?rst sett fra romskipenes referansesystem, s? vi kunne notere ned tidene og avstandene i dette referansesystemet. Derfra kunne vi ganske enkelt finne tidene i det andre referansesystemet!

Vi fant da at:

• \(t_B=0.615 ms\)
• \(t_C = 1.014 ms\)
• \(t_D = 3.512 ms\)
• \(\Delta t_{BD}=2.897 ms\)

Her ser vi alts? tydelig at hendelse B skjer f?r hendels C i romstasjonens referansesystem! Man ser ogs? tydelig at \(\Delta t_{AB} < \Delta t_{BD}\)! Romtidsintervallet er alts? supernyttig n?r man skal beregne tiden mellom to hendelser i ulike referansesystemer!

Det at romtidsintervallet er det samme i alle referansesystymer, kalles romtidstinervallets?invarians.?Invarians handler bare om at det ikke endrer seg, at romtidsintervallet mellom to hendelser er konstant mellom referansesystemer. Med denne kunnskapen i bagasjen kan vi bryne oss p? noe av det kuleste og rareste vi kommer til ? v?re borti denne uka (kanskje dette ?ret)! Bli med p? en paradoksal reise.......!!!!?

?

?

?