Da Lisa hoppet over til det andre romskipet og byttet referansesystem antok vi at dette skjedde instantant, at hoppet gikk p? et blunk. Vi s? imidlertid at hun akselerte fra 0.99 til -0.99! Det er jo helt umulig at dette skjer p? et blunk! N? pr?ver vi derfor ? f?lge Lisa mens hun deakselererer og samtidig pr?ve ? f?lge med p? hvordan klokka p? Homey tikker. Da m? vi introdusere nok et fiffig triks!?
Vi antar n? at det under deakselereringen skjer mange liknende hendelser som B og B'. Vi kaller disse Y og Y'. Y refererer til noe som skjer ved den n?v?rende posisjonen til romskipet og Y' refererer til at en astronaut ved Homey i samme referansesystem som romskipet sjekker hva klokka p? Homey er. I romskipets referansesystem skjer Y og Y' samtidig!?
Vi lar n? Lisa deakselerere med konstant akselerasjon \(g\)? sett fra referansesystemet til planetene. Vi definerer videre \(t_{\text{turningpoint}}\) som tidspunktet i planetsystemet hvor romskipet til Lisa har klart ? deakselerere s?pass at hun har null fart i forhold til planetene. Vet dere hva som skjer da? I \(t_{\text{turningpoint}}\) er faktisk Lisa og planetene i samme referansesystem fordi de har samme fart i forhold til hverandre! Da skjer Y og Y' samtidig i BEGGE referansesystemer! Det medf?rer at \(t_Y=t_{Y'}\) n?r \(t_Y=t_{\text{turningpoint}}\). Vi har funnet ut at \(t_{\text{turningpoint}}\) er gitt ved uttrykket:
\(t_{\text{turningpoint}}=t_B-\frac{v}{g}\)
Hvor \(t_B\) er tidspunktet for n?r Lisa ankommer Destiny i planetsystemet, \(v\) er den konstante farten hun reiser til Destiny med, og \(g\) er akselerasjonen hun bremser med etter ? ha n?dd Destiny. Vi vet at:
\(t_B=\frac{L_0}{v}\)
\(v=0.99\)
\(g \approx -3.33 \cdot 10^{-10} \mathrm{s^{-1}}\) ?
Merk at akselerasjonen n? er i relativistiske enheter! Vi m? ogs? passe p? \(L_0\) her. Opprinnelig er denne i lys?r, men vi vil ha tiden i sekunder! Da gj?r vi \(L_0\) om til sekunder slik:
\(L_{0,sek}=L_{0,lys?r}\cdot 3600\cdot 24 \cdot 365\)
Hvor den siste faktoren bare er antall sekunder i et ?r. Vi setter alt inn i uttrykket for \(t_{\text{turningpoint}}\) og f?r at Homey-klokkene viser 296 Homey-?r n?r romskipet har bremset ned fullstendig. Vi vet allerede at hun i planetsystemet bruker 202 ?r bort til Destiny, s? da m? det bety at hun i planetsystemet bruker 296-202=94 ?r p? ? bremse ned den ene veien. Hun fortsetter ? akselerere med konstant akselerasjon, og siden hun beveger seg en like lang strekning n?r hun deakselererer som n?r hun akselererer, kan vi konkludere med at Homey-klokkene viser 296+94 = 390 ?r n?r hun ankommer Destiny igjen. Dermed bruker Lisa, sett fra referansesystemet til Homey, 390+202=592 ?r p? hele reisen n?r vi inkluderer tiden hun bruker p? ? akselerere.
Hva sier astronautene i \(Y'\) samtidig som alt dette skjer da? Vi fant at \(t_{Y'}=t_{Y}\) n?r \(t_Y=t_{\text{turningpoint}}\). Det m? bety at astronautene i Y' i referansesystemet til planeten ogs? ser at det har g?tt 296 ?r p? Homey n?r Lisa har bremset helt opp. Hva ser de at tiden p? Homey er n?r hun har ankommet Destiny igjen? Vi vet at observat?rene i referansesystemet til romskipet teller at det g?r 4 ?r p? Homey-klokka n?r Lisa flyr med konstant fart mellom Homey og Destiny. Da ser vi at Lisa, if?lge disse observat?rene, bruker 296 ?r - 4 ?r = 292 ?r p? ? bremse helt opp. Siden hun flyr en like lang strekning for ? n? Destiny igjen etter vendepunktet, m? hun ogs? bruke 292 ?r p? ? akselerere og komme seg tilbake! Det betyr at observat?rene i dette referansesystemet ser at klokkene p? Homey viser 296 ?r + 292 ?r = 588 ?r n?r hun har n?dd Destiny igjen!
Vi pr?ver ? plotte det hele:
%20Spesiell%20relativitet/deakselerasjon.png)
Vi ser at tiden plutselig g?r superfort for observat?rene i romskipets referansesystem, n?r Lisa begynner ? deakselerere!
S? hva er det vi har gjort her egentlig? Hvordan kunne vi komme frem til en s? merkelig konklusjon? Vi begynte med ? definere hendelsene Y og Y'. Disse skjer samtidig i referansesystemet til den deakselererende raketten til Lisa. Y er en hendelse som skjer p? romskipet, og Y' er at en astronaut ved Homey i samme referansesystem som romskipet sjekker hva klokka p? Homey viser. P? denne m?ten kunne vi f?lge med p? hvordan tiden utvikler seg p? Homey sett fra romskip-systemet under den akselererte fasen. Dette er interessant ? gj?re fordi vi tidligere antok at Lisas hopp fra ett referansesystem til et annet var instantant. I virkeligheten er det jo ikke slik i det hele tatt: Hun har en fart p? 0.99 og skal f? en fart p? -0.99! Derfor har vi her pr?vd ? lage en mer realistisk modell av referansesystem-byttet og se hva som skjer med tiden p? Homey under den akselererte fasen.
Hva med tiden til Lisa under den akselerte fasen? Husk at vi tidligere fant ut at hun eldes med 57 ?r i l?pet av de to fasene med konstant fart mellom Homey og Destiny. Vi har imidlertid ikke snakket om hvordan hun eldes n?r hun akselerer! For ? komme til bunns i dette definerer vi eventet E som er n?r hun har klart ? bremse fullstendig opp etter ? ha passert Destiny. For enkelhetsskyld setter vi tiden i E lik null, og kaller den for T. Da er tiden i begge referansesystemer, T og T', synkronisert, som gj?r beregninger enklere. Siden romskipet i E har null fart, og det akselerer med konstant akselerasjon sett i planetsystemet kan vi enkelt finne hvor lang tid hun bruker fra E til Destiny i dette systemet. Ved ? bruke sammenhengen for tidsdilatasjon og integrere over tiden hun bruker p? ? akselerere én vei i planetsystemet, kommer vi frem til at hun i sitt eget referansesystem blir 149 ?r eldre under akselerasjonen. Vi vet fra f?r at hun allerede har blitt 28.5 ?r eldre n?r hun ankommer Destiny f?rste gangen, s? etter akselerasjonen har hun totalt blitt 178 ?r eldre! M?lt i sitt eget referansesystem blir hun alts? 206 ?r eldre under hele rundturen. Det er noe litt annet enn de imponerende 57 ?rene vi f?rst kom fram til!
Da er vi klare for ? samle alle funnene vi har gjort i dette innlegget, og ser f?rst p? klokka p? Homey.
Under strekningene med konstant fart fant vi at det p? Homeys klokker tar 202 ?r hver vei. Under den akselererte fasen har Lisa konstant akselerasjon, og bruker \(t_{aks}=\frac{v_0}{g}\approx 94\) ?r p? ? akselerere hver vei. Totalt:
- Homey - Destiny: 202 ?r
- Destiny til vendepunkt: 94 ?r
- Vendepunkt tilbake til Destiny: 94 ?r
- Destiny - Homey: 202 ?r
- Total reisetid: 592 ?r
For beboere p? Homey tar alts? reisen totalt 592 ?r.
S? ser vi p? Lisas klokke. Vi fant ut at hun bruker 149 ?r p? hele akselerasjonen, og 28.5 ?r hver gang hun g?r med konstant fart mellom Homey og Destiny:
- Homey - Destiny: 28.5 ?r
- Destiny til vendepunkt: 74.5 ?r
- Vendepunkt tilbake til Destiny: 74.5 ?r
- Destiny - Homey: 28.5 ?r
- Total reisetid: 206 ?r
Til slutt ser vi p? tiden som observat?ren ved Homey, men i Lisas referansesystem, ser p? klokkene p? Homey. Vi fant tidligere i arbeidet med tvillingparadokset at denne observat?ren ser at det tar 4 ?r p? planetklokka under strekningene med konstant fart. Videre fant vi ved symmetri og at tidspunktet for vendepunktet skal v?re likt i b?de Homeys referansesystem og dette referansesystemet, at det tar 292 ?r for Lisa ? akselerere hver vei. Da f?r vi totalt
- Homey - Destiny: 4 ?r
- Destiny til vendepunkt: 292 ?r
- Vendepunkt til Destiny: 292 ?r
- Destiny - Homey: 4 ?r
- Total reisetid: 592 ?r
Vi ser alts? at observat?rene ved Homey i referansesystemet til romskipet til slutt faktisk er enige med Homeys beboere om hvor lang tid hele reisen tar! Alt blir konsistent til slutt!!
Wow, da var vi faktisk ferdige med tvillingparadokset... Det som tilsynelatende virket som et paradoks ga faktisk konsistente resultater til slutt! Hva var poenget med ? g? s? grundig gjennom dette konseptet da? Jo, fordi her kommer vi helt til kjernen av spesiell relativitet! Med tvillingparadokset blir vi ordentlig vant med at samtidighet er avhengig av referansesystem og at det skjer ordentlig rare ting med tid n?r vi beveger oss fort! Et annet viktig aspekt ved spesiell relativitet som kommer frem her, er at det ikke er gyldig for akselererte systemer. For ? beskrive akselererte systemer med spesiell relativitet m? vi i stedet bryte bevegelsen opp i mange sm? inertielle ?yeblikk, hvor farten kan tiln?rmes til ? v?re konstant. Det var det vi gjorde i dette innlegget!?
Da er vi klare til ? g? videre gjennom dette mystiske universet som er spesiell relativitet. Vi trenger spenning! Vi trenger fart! Sjekk det ut!!?
Logg inn for ? kommentere