4) Romrace!!

Vi har samlet de tre raskeste romskipene p? Armando og stelt i stand tidenes romkappl?p!! I romskip 1 har vi geniet v?rt prof. Elmi, i romskip 2 sitter Davy G. og i romskip 3 har vi Alberto Einsteindinho. Ja, de har faktisk en tilsvarende Einstein her p? Armando, men han heter Einsteindinho og er faktisk planetens beste fotballspiller... Han skj?nner ingenting av relativitets-eksperimentene vi utf?rer!! Det er ganske morsomt, vi tuller mye med Einsteindinho, for han er egentlig ganske dum. God i fotball da, det skal han ha!

Oppsettet for kappl?pet er slik:

Romskipene begynner ved romstasjonen som g?r i bane rundt Armando. Her st?r de p? en rett linje og gj?r seg klare. N?r startskuddet g?r, er det simpelthen om ? v?re raskest. Her forventer vi r? kraft og masse fart!

Det virker kanskje litt rart at vi organiserer et kappl?p for ? utforske spesiell relativitet, men her f?r vi faktisk mulighet til ? forst? enda bedre hvordan klokker i ulike referansesystemer tikker forskjellig. Dette er ogs? en gylden mulighet for ? bedre forst? hvordan man tegner romtidsdiagrammer! Disse kommer vi inn p? veldig snart, men f?rst m? vi ta det morsomste - selve kappl?pet!

Ooooooog DER G?R STARTSKUDDET!!

Oi, det ser ut som at prof. Elmi i romskip 1 har motortr?bbel! Han kj?rer med konstant sneglefart! Nei og nei... Han som var favoritt! Davy G. i romskip 2 setter i gang med en forrykende fart. Han tok rett og slett klampen i b?nn helt fra start, og g?r med konstant, stor fart! Alberto Einsteindinho i romskip 3 f?r en litt d?rlig start, men klarer virkelig ? f? opp farten mot slutten! WOOOW han klarer nesten ? ta igjen romskip 2! NEIII hva er det som skjer???!! Akkurat da det s? ut som han skulle passere skip 2 mister han masse fart! Ser ut som motortr?bbel der og... Det betyr at Davy G. i romskip 2 vant akkurat!! La oss oppsummere hva som skjedde her:

• Romskip 1 kj?rte med konstant, lav fart
• Romskip 2 kj?rte med konstant, stor fart
• Romskip 3 begynte litt treigt, i samme fart som 1, men klarte ? f? i gang motoren og tok nesten igjen romskip 2. Akkurat da han var p? niv? med 2 fikk han derimot motortr?bbel, og mistet en del fart.

Vi har ryddet vekk banen, og tar en titt p? hva vi kan gj?re med denne informasjonen. N?r vi jobber med relativitetsteori beskriver vi hendelser med to koordinater: rom- og tidskoordinater. For ? kjenne posisjonen til en hendelse, holder det alts? ikke bare ? vite hvor den skjer i rom - vi m? ogs? vite n?r den skjer i tid. I vanlig 3D-rom beskriver vi posisjonen med (x,y,z)-koordinater. For ? gj?re utregninger enklere, og i st?rre grad f? frem essensen av det vi gj?r, ser vi kun p? ¨¦n-dimensjonal bevegelse. Kappl?pet skjedde alts? langs en enkel rett linje. Vi bruker x-aksen!?

Som nevnt i innledningen, vil vi her se litt n?rmere p? romtidsdiagrammer. Vi trenger ? beskrive posisjonen til et legeme i b?de rom og tid, og det er nettopp det et romtidsdiagram gj?r. P? y-aksen har vi tid, og p? x-aksen har vi posisjon i x-retning. I et romtidsdiagram tegner vi inn verdenslinja til et objekt. Verdenslinja best?r av punktene i romtid som et legeme g?r gjennom. For ? forst? det bedre trenger vi en illustrasjon. Vi tegner et romtidsdiagram av kappl?pet v?rt!?

Her har vi tegnet et romtidsdiagram sett fra referansesystemet til romstasjonen. Husk at alle romskipene begynner ved romstasjonen n?r \(t=0\)! Videre definerer vi nullpunktet for kappl?pet som \(x=0\). Romstasjonen, som alts? utgj?r startpunktet, ser at romskipene beveger seg i positiv x-retning med ulik fart. Det er derfor alle verdenslinjene peker mot h?yre. Hadde det ene skipet trykket inn reversen i stedet for gass, hadde vi sett at verdenslinja hadde pekt mot venstre! Hvis det var uklart, hjelper det ? v?re bevisst p? hvilket referansesystem vi har tegnet romtidsdiagrammet for. I dette tilfellet er det romstasjonen, som tilsvarer startstreken. Vi definerte kappl?pet slik at alle skulle kj?re i positiv x-retning vekk fra romstasjonen, og derfor peker verdenslinjene mot h?yre.?

Videre p? figur 1 ser vi at skipet med st?rst fart, skip 2, kommer seg lengst vekk fra romstasjonen i l?pet av racet. Hvor mye verdenslinja er tilta sier alts? noe om hvilken fart legeme beveger seg med. Det kommer fra den velkjente formelen:

\(v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\) ? ?(1)

Jo st?rre tilt, jo st?rre fart. Beveger man seg med konstant fart, er forholdet i likning (1) konstant, og verdenslinja ser ut som en rett linje. Slik er det for skip 1 og 2 - disse beveger seg med konstant fart. Dette kan vi fra skolefysikken. Men!! Dette er ikke et vanlig koordinatsystem! I spesiell relativitet bruker vi Lorentz-geometri. I praksis betyr det at et linje-element av en verdenslinje IKKE er gitt ved den vanlige Pythagoras-sammenhengen vi er vant med:

\(\Delta s^2=\Delta t^2+\Delta x^2\)

Dette er Euklidsk geometri, og beskriver ikke geometrien til romtid! N?r vi jobber med spesiell relativitet er geometrien til romtid Lorentz-geometri, og et linjeelement er i stedet gitt ved uttrykket:

\(\Delta s^2=\Delta t^2 - \Delta x^2\)

Denne nye \(\Delta s\)-en kaller vi for et romtidsintervall. Den sier alts? hvor langt et legeme beveger seg i romtid mellom to hendelser, og minustegnet har store konsekvenser... Si at vi har to eventer A og B, og tegner verdenslinja til et legeme mellom A og B. Hva skjer n?r \(\Delta x\) er st?rre enn \(\Delta t\)? Jo, det betyr at A og B ikke kan v?re i en kausal relasjon: A kan ikke ha for?rsaket B. Og hva mer er, hva skjer n?r \(\Delta x=\Delta t\)? Da er forflyttingen i tid like stor som forflyttingen i rom, og verdenslinja er tilta med 45 grader i forhold til x-aksen. Dette gjelder kun for lys! For lys er alts? romtidsintervallet null. Dette legger en klar begrensning p? hvordan vi kan tegne verdenslinjer: Legemer som ikke er lys kan aldri ha en verdenslinje som har en vinkel med x-aksen p? 45 grader eller mindre - da g?r de over lysfarten!! Lysfarten er den absolutte ?vre fartsgrensen i universet: Ingenting g?r fortere. Det m? vi alts? passe p?!

Vi ser p? figur 1 igjen, og legger merke til at romskip 3, som akselererer, har en ulik verdenslinje enn 1 og 2. I starten har den omtrent samme stigning, og dermed samme fart, som 1. N?r den akselererer, beveger den seg etter hvert over en st?rre avstand i x-retning i l?pet av et tikk p? klokka. Da er verdenslinja tilta mer i x-retning. Vi ser videre at verdenslinjene til skip 2 og 3 m?ter hverandre i et punkt! Det var her skip 3 s? ut til ? ta igjen 2, f?r det fikk motortr?bbel og deakselerte igjen. Derfor endte 2 opp til h?yre for 3.

Da skj?nner vi forh?pentligvis litt mer om hva romtidsdiagrammer og verdenslinjer er. Da vi jobbet med tvillingparadokset i de forrige innleggene, merket vi tydelig hvordan fart p?virker tid: Jo fortere du beveger deg, jo treigere g?r tiden for deg i forhold til en observat?r i ro. F?r kappl?pet utstyrte vi romstasjonen, skip 2 og skip 3 med like stoppeklokker som vi synkroniserte i starten. De var alts? alle satt til null til ? begynne med. Klokkene ble deretter satt i gang da startskuddet gikk, og stoppet i det ?yeblikket skip 3 n?dde bort til skip 2. Da s? vi noe interessant! P? romstasjonen hadde det g?tt 10 millisekunder og p? skip 2 hadde det bare g?tt 8 millisekunder! Dette er nok et eksempel at tiden g?r saktere for de i bevegelse i forhold til de som st?r i ro. Siden skip 2 beveget seg med konstant fart, kunne observat?rer i romstasjonen se at det var like lang tid mellom hvert tikk p? klokka, bare at de kom med st?rre mellomrom! Men hva med tiden i romskip 3?? Det akselerte jo, og da m? jo tiden endre seg flere ganger!! Oi, det virker vanskelig ? vurdere hvordan bidragene fra akselerasjon og deakselerasjon p?virker tiden til skip 3...

Men her m? vi ikke fortvile, for bak relativitetsteorien ligger det et viktig prinsipp, nemlig prinsippet om maksimal aldring. Dette sier at legemer som ikke p?virkes av krefter f?lger den verdenslinja som gir st?rst mulig egentid. Egentiden er tiden som m?les p? armb?ndsuret til legemet som har den verdenslinja. S? hvordan finner vi egentiden da? Jo, her har vi en nyttig sammenheng: Romtidsintervallet tilsvarer egentiden!

\(\Delta s^2=\Delta \tau^2 = \Delta t^2 -\Delta x^2\)

Hvor \(\Delta \tau \) er egentiden. Dette virker kanskje litt rart til ? begynne med, men det er faktisk ikke s? mystisk. Hvis vi setter oss i romskip 2 med Davy G. og definerer event A og B som to tikk p? armb?ndsuret hans, innser vi fort at \(\Delta x=0\) fordi tikkene skjer p? samme sted! Armb?ndsuret er p? samme sted i event A som i event B. Da f?r vi rett og slett at \(\Delta s^2=\Delta t^2=\Delta \tau^2\), som betyr at egentiden tilsvarer romtidsintervallet!

Prinsippet om maksimal aldring sier alts? at armb?ndsuret p? Davy G.s klokke skal tikke flest mulig ganger n?r han er i et referansesystem som ikke p?virkes av krefter. Men hva med Alberto i romskip 3? Han akselererer jo, og p?virkes dermed av krefter! Prinsippet om maksimal aldring sa jo at egentiden for legemener som ikke p?virkes av krefter maksimeres, og derfor kan vi konkludere med at egentiden for et akselerert romskip IKKE maksimeres. Det m? bety at armb?ndsuret til Alberto tikker f?rre ganger enn armb?ndsuret til Davy G. i romskip 2. Det at egentiden til romskip 3 er mindre enn egentiden til romskip 2 kan vi faktisk ogs? se direkte fra romtidsdiagrammet. Dette kommer fra en fascinerende konsekvens av minustegnet i linjeelementet for romtidsintervallet:

\(\Delta s^2=\Delta t^2 - \Delta x^2\)

Dette uskyldige lille minustegnet gj?r faktisk at den LENGSTE avstanden mellom to punkter i Lorentz-geometri er den RETTE linja mellom punktene!!?

Vi definerer event 0 til ? v?re startskuddet, og event 1 til ? v?re n?r skip 3 akkurat er p? samme h?yde som 2. Da sier prinsippet om maksimal aldring at legemet som f?lger den rette linja mellom event 0 og event 1 f?r den st?rste egentiden, for da er romtidsintervallet st?rst. Det betyr at romskip 2 m? ha st?rre egentid enn skip 3!

All denne informasjonen kan vi bruke til ? tegne inn noe ganske interessant p? verdenslinjene til romstasjonen, skip 3 og 2, nemlig tikkene p? klokkene i deres referansesystem!

Legger dere merke til noe interessant? For det f?rste, ser vi at klokka p? romstasjonen tikker flest ganger. Husk at vi har tegnet romtidsdiagrammet sett fra referansesystemet til romstasjonen, og da befinner denne seg alltid i \(x=0\)! Etter kappl?pet s? vi at stoppeklokka p? romstasjonen viste 10 millisekunder i event 1, s? da har vi tegnet inn 10 prikker p? tidsaksen. Det betyr at ett tikk tilsvarer ett millisekund. For klokka p? romskip 2 s? vi at den viste 8 millisekunder i event 1, s? da tegnet vi inn 8 prikker p? verdenslinja. Her vil det v?re konstant avstand mellom tikkene fordi romskipet beveger seg med konstant fart! Sett fra romstasjonen er det alts? lenger tid mellom hvert tikk p? skip 2 enn p? romstasjonen! Dette er tidsdilitasjon, som vi er kjent med fra f?r.

For skip 3 blir det litt mer komplisert, for denne akselererer. Her m? vi se p? hvordan verdenslinja er tilta. I starten har 3 ganske lav fart, og intervallet mellom tikkene tilsvarer i st?rre grad intervallet mellom tikkene p? romstasjonen. Men etter hvert som skip 3 f?r st?rre fart, vil tiden mellom to tikk ?ke i forhold til tiden mellom to tikk p? romstasjonen. Da f?r vi en st?rre avstand mellom prikkene! N?r skip 3 beveger seg fortere enn 2, vil det alts? v?re st?rst avstand mellom dottene p? skip 3. Dermed: Jo st?rre fart, jo saktere g?r tiden for deg i forhold til romstasjonen, og avstanden mellom hvert tikk blir st?rre.

Her m? vi forresten innr?mme en liten un?yaktighet i tegningen! Vi sa tidligere i innlegget at egentiden til skip 3 m? v?re mindre enn egentiden til skip 2 fordi 3 akselererer. I praksis betyr det at klokka p? skip 3 tikker f?rre ganger enn klokka p? skip 2, men her har vi faktisk klart ? tegne inn like mange tikk... Her m? vi bare beklage, vi burde tegnet inn F?RRE dotter p? verdenslinja til 3 enn 2!?

Hva har vi f?tt ut fra alt dette da? Jo, n? har vi blitt enda klokere p? romtidsdiagrammer og verdenslinjer. Et romtidsdiagram er et koordinatsystem for ? beskrive hvor hendelser skjer i romtid. Da har vi tid p? y-aksen og x-posisjon p? x-aksen. For enkelhetsskyld ser vi kun p? endimensjonal bevegelse! En verdenslinje er en linje i et (t,x)-koordinatsystem som beskriver bevegelsen til et legeme i romtid. Vi m? imidlertid v?re forsiktige n?r vi tegner verdenslinjer for objekter med masse, for disse kan ikke g? fortere enn lys! Det betyr i praksis at vinkelen mellom verdenslinja deres og x-aksen aldri kan v?re lik eller mindre enn 45 grader.?

N?r vi arbeider med spesiell relativitet er romtid i Lorentz-geometri, s? et linjeelement p? en verdenslinje er gitt ved en annen formel enn vi er vant med, nemlig \(\Delta s^2=\Delta t^2 - \Delta x^2\). Konsekvensene av det er at den lengste avstanden mellom to punkter i romtid er den rette linja mellom punktene!!

Til slutt s? vi litt p? prinsippet om maksimal aldring, som sier at legemer som ikke p?virkes av krefter f?lger den verdenslinja som gir st?rst egentid. Da f?lger det at legemer som f?lger den rette verdenslinja mellom to hendelser f?r st?rst egentid enn legemer som f?lger andre verdenslinjer mellom de samme hendelsene.?

Wow, det var ikke verst! Og det kun fra et enkelt romkappl?p! Fra det veldig store skal vi n? g? til det veldig sm?, nemlig et s?tt lite n?ytron... Sjekk her!!

?